專題08線段和角

嫌內(nèi)容早知道

今第一層鞏固提升練（9大題型）

目錄

題型一直線、射線、線段的相關(guān)概念.............................................................1

題型二線段和直線的基本性質(zhì)問題...............................................................2

題型三角的表示方法............................................................................4

題型四方位角、鐘面角問題.....................................................................5

題型五求一個角的余角、補角...................................................................8

題型六尺規(guī)作線段或角..........................................................................8

題型七與線段及線段中點有關(guān)的計算............................................................11

題型八與余角、補角有關(guān)的計算................................................................14

題型九與角平分線有關(guān)的計算問題..............................................................17

今第二層能力提升練

臺第三層拓展突破練

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題型一直線、射線、線段的相關(guān)概念

例題：（23-24七年級上?天津?qū)幒?期末）下列直線、射線、線段中，能相交的是（）

【答案】A

【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別

【分析】本題考查了直線、射線、線段.熟練掌握直線兩端都可以無限延長，射線有一個端點，可向一邊

無限延長，線段不可延長是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直線兩端都可以無限延長，射線有一個端點，可向一邊無限延長，線段不可延長逐項判斷即可.

【詳解】解：由題意知，A中直線CD與直線48能相交，故符合要求；

B中射線CD與直線不能相交，故不符合要求；

C中射線CD與線段不能相交，故不符合要求；

D中線段CD與線段2B不能相交，故不符合要求；

故選：A.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?河南平頂山?期末）如圖，對于圖中直線的描述，正確的是（）

A.圖中有直線羽5B.圖中有直線

C.直線與直線。〃交于點。D.直線。4與直線加交于點。

【答案】D

【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別

【分析】本題考查的是直線的表述方法，直線與直線的交點的含義，根據(jù)直線的表示方法逐一判斷即可.

【詳解】解：圖中有直線加，直線"，直線04,直線02,

直線心與直線”交于點O,直線0/與直線"?交于點。，

■■A,B,C錯誤，不符合題意；。正確，符合題意；

故選：D.

2.（23-24七年級上?福建三明?期末）下列關(guān)于作圖的語句中，正確的是（）

A.畫射線48=10cmB.畫直線。8=10cm

C.畫線段MN,在線段"N上任取一點AD.以點〃為端點畫射線

【答案】C

【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別、畫出直線、射線、線段

【分析】本題考查射線、直線和線段定義與作圖，根據(jù)射線、直線和線段定義與作圖逐項判斷即可得到答

案，熟記射線、直線和線段定義與作圖是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：/、根據(jù)射線定義，射線一端無限延長，不可能得到射線48=10cm,該選項表述錯誤，不符

合題意；

2、根據(jù)直線定義，射線兩端無限延長，不可能得到直線08=10cm,該選項表述錯誤，不符合題意；

C、畫線段在線段女W上任取一點A說法正確，符合題意；

D、根據(jù)射線定義，射線從固定端點出發(fā)，向另一端無限延長，以點〃為端點畫射線M4,而不是以點M

為端點畫射線4W,該選項表述錯誤，不符合題意；

故選：C.

題型二線段和直線的基本性質(zhì)問題

例題：（23-24七年級上?廣東汕頭?期末）如圖1,4、2兩個村莊在一條河/（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要

建一座碼頭，使它到/、2兩個村莊的距離之和最小.如圖2,連接48,與/交于點C,則C點即為所求的

碼頭的位置，這樣做的理由是（）

AA

經(jīng)過一點有無數(shù)條直線B.兩點確定一條直線

兩直線相交只有一個交點D.兩點之間，線段最短

【答案】D

【知識點】兩點之間線段最短

【分析】本題考查線段的性質(zhì)，理解兩點之間線段最短的性質(zhì)是正確判斷的前提.根據(jù)線段的性質(zhì)進行判

斷即可.

【詳解】解：A,3兩個村莊在一條河/（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到/、8兩個村莊

的距離之和最小，圖2中所示的C點即為所求的碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點之間，線段最短，

故選：D.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能

彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學知識是.

【答案】兩點確定一條直線

【知識點】兩點確定一條直線

【分析】本題主要考查直線的性質(zhì)，掌握直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直線的性質(zhì):

兩點確定一條直線即可得.

【詳解】解：能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學知識是：兩點確定一條直線，

故答案為：兩點確定一條直線.

2.（23-24七年級上?重慶南岸?期末）如圖：已知從/地到2地共有五條路，小紅應(yīng)選擇第路,

用數(shù)學知識解釋為：.

⑤

【答案】③兩點之間，線段最短

【知識點】兩點之間線段最短

【分析】根據(jù)題意，連接兩點的所有的線中，應(yīng)選連接A、B的線段，根據(jù)線段的性質(zhì)，兩點之間線段最短

即可.此題為數(shù)學知識的應(yīng)用，考查知識點是兩點之間線段最短.

【詳解】解：依題意，

從A地到B地共有五條路，小紅應(yīng)選擇第③路，用數(shù)學知識解釋為兩點之間，線段最短.

故答案為：③,兩點之間，線段最短

題型三角的表示方法

例題：（23-24七年級上?貴州六盤水?期末）下列四個圖形中，能用Zl,NO,N/O8三種方法表示同一個

角的是（）

【答案】B

【知識點】角的表示方法

【分析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可，解題的關(guān)鍵正確理解

角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有

一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角.

【詳解】解：A、因為頂點。處有四個角，所以這個角不能用/I,40,表示，故本選項錯誤；

B、因為頂點。處只有一個角，所以這個角能用/I,N。，//O8表示，故本選項正確；

C、因為頂點。處有三個角，所以這個角不能用Nl,ZO,//O8表示，故本選項錯誤；

D、因為頂點O處有兩個角，所以這個角不能用N1,/。，/NOB表示，故本選項錯誤；

故選：B.

【變式訓練】

1.（23-24七年級下?山東淄博?期末）下列圖中的Z1也可以用/。表示的是（）

【答案】A

【知識點】角的表示方法

【分析】本題考查了角的表示方法；

角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有

一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角.角還可以用

一個希臘字母（如/a,4,4、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字（/I,Z2...）表示，據(jù)此進行分析即可.

【詳解】解：4/1可以用/。表示，符合題意；

5./1可以用//0C表示，但不能用/。表示，不符合題意;

C.21可以用/NOC表示，但不能用N。表示，不符合題意;

D/1可以用/8OC表示，但不能用/。表示，不符合題意;

故選：A.

2.（23-24七年級上?貴州安順?期末）如圖，下面的說法正確的是（）

力.點尸在直線加上B.直線”和〃相交于點。

C.N1可以表示成或NOD.射線。4和射線/。表示同一條射線

【答案】B

【知識點】直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別、角的表示方法

【分析】本題主要考查了角的表示方法，射線和直線的相關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：/、點尸不在直線機上，原說法錯誤，不符合題意；

B、直線機和〃相交于點O,原說法正確，符合題意；

C、N1可以表示成不可以表示成/O,原說法錯誤，不符合題意；

D,射線。/和射線/。表示的不是同一條射線，原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

題型四方位角、鐘面角問題

例題：（24-25七年級上?全國?期末）如圖，點/在點。的北偏東60。方向上，點3在點。的南偏西30。方

向上，則的度數(shù)為一.

南

【答案】150。/150度

【知識點】與方向角有關(guān)的計算題

【分析】本題考查了與方向角有關(guān)的運算，先根據(jù)題意得出NFQ4=60。，得出44。￡=30。，根據(jù)

//02=/2。6+/￡06+44。石代入數(shù)值，進行計算，即可作答.

【詳解】解：如圖：

南

,??在點。的北偏東60。方向上，點2在點。的南偏西30。方向上，

ZFOA=60°,ZBOG=30°,

ZAOE=90°-60°=30°,

■：ZBOG=30°,NEOG=90°,

ZAOB=30°+90°+30°=150°,

故答案為：150。.

【變式訓練】

1.（23-24六年級下,山東煙臺?期末）如圖，點A,B,。分別表示手繪地圖中實踐基地、公園、學校的大體

位置.經(jīng)測量44。8=65。，公園在學校的北偏東27。方向，則實踐基地在學校的方向.

實踐A

屈地\B

\______r公的

【答案】北偏西38°

【知識點】方向角的表示

【分析】本題主要考查了方位角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出角度之間的和差關(guān)系.根據(jù)角度之間的和差

關(guān)系，計算//OC的度數(shù)，即可解答.

【詳解】解：；//。8=65。，ZBOC=27°,

NAOC=NAOB-NBOC=65°-27°=38°,

■■實踐基地在學校的北偏西38。方向，

故答案為：北偏西38。.

妙地\!R

x.?/公團

\jd/

\\AI//

\（）

Yi

2.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時

鐘的分針與時針所成的鈍角的度數(shù)為度.

【知識點】鐘面角

【分析】本題考查鐘面角，整個圓分為12個大格，每個大格30度，下午1點30分時，時針與分針所成的

鈍角含4.5個大格，由此可解.

【詳解】解：下午1點30分時，時針與分針所成的鈍角含4.5個大格，每個大格30度，

因此時鐘的分針與時針所成的鈍角的度數(shù)為：4.5x30=135（度），

故答案為：135.

3.（23-24七年級上?福建福州?期末）如圖，8時整，鐘表的時針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)是°.

【知識點】鐘面角

【分析】本題考查了鐘表里的旋轉(zhuǎn)角的問題，根據(jù)鐘表表盤被分成12大格，每一大格為30。，由8時整,

即分針和時針之間有4大格，即可求解.

【詳解】解：???鐘表表盤被分成12大格，

,每一大格為設(shè)360°=30°,

8時整，即分針和時針之間有4大格，

二8時整，鐘表的時針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)是4x3（r=120。，

故答案為：120.

題型五求一個角的余角、補角

例題：（23-24七年級上?湖北孝感?期末）48。6,7"的余角是,它的補角是.

【答案】41°53153"131°53'53"

【知識點】求一個角的余角、求一個角的補角、與余角、補角有關(guān)的計算

【分析】本題主要考查了余角和補角.熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵.計算時要注意度、分、秒是60進

制.余角定義：如果兩個角的和等于90度（直角），就說這兩個角互為余角；補角定義：如果兩個角的和

等于180度（平角），就說兩個角互為補角.

根據(jù)互余的兩個角的和等于90。，互補的兩個角的和等于180。，分別列式計算即可得解.

【詳解】48。6,7"的余角是:90°-48°6'7"=41°53'53";

48°6'7"的補角是：1800-48°6,7,,=131°53'53".

故答案為：41°53'53",131°53'53".

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?江蘇連云港?期末）已知/&=68。42',則的余角為.

【答案】21°18,

【知識點】角度的四則運算、求一個角的余角

【分析】本題考查了對余角的理解和運用，如果兩個角互余，那么這兩個角的和為90。.根據(jù)余角的意義:

/a的余角為90。-代入求出即可.

【詳解】解：???/&=68。42',

.??/a的余角為90。一68。42'=21。18'.

故答案為：21。18'.

2.（23-24七年級上?河北承德?期末）ZA=30°30',則24的余角為°,//的補角為

【答案】59,5149.5

【知識點】求一個角的余角、求一個角的補角

【分析】本題考查余角和補角的性質(zhì)定理，根據(jù)余角和補角的定義解題即可.熟練掌握余角和補角的定義

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???乙4=30。30',

?,?乙4的余角等于90°-乙4=90°-30°30'=59°30'=59.5°；

的補角等于180。-44=180。-30。30'=149°30,=149.5°,

故答案為59.5；149.5.

題型六尺規(guī)作線段或角

例題：(23-24七年級上?甘肅慶陽?期末)如圖，平面上有四個點4叢C,。，讀下列語句，并畫出符合下列

所有要求的圖形.

?A

?B

*D

C

⑴畫射線AD,連接8C,并與射線AD相交于點。；

⑵畫直線CD.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【知識點】畫出直線、射線、線段

【分析】本題主要考查直線和射線的畫法，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)題意準確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)連接并延長，連接BC,并與射線/。相交于點。即為所求；

(2)連接并向兩端延長即為所求.

【詳解】(1)如圖所示；就是所求作的射線，3c就是連接的線段,點。就是交點;

X(2)如圖所示，。就是求作的直線.

X【變式訓練】

1.(22-23六年級下?山東淄博?期末)已知：/a,

求作：ZAOB,AOB=3Z/3-Za.

要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法.

畫圖：

【答案】見解析

【知識點】尺規(guī)作角的和、差

【分析】先作/EOC=/4,在這個角的外部分別作==然后作/BOE=/a,則

NAOB=3N0-Na.

【詳解】如圖所示，即為所求.

【點睛】此題考查的是基本作圖，掌握利用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵.

2.（23-24七年級上,新疆喀什?期末）如圖，在平面上有4,B,C,。四點，請按照下列語句畫出圖形.

D*

A'

*C

B

⑴畫直線48；

⑵畫射線2D；

⑶連接8,C；

⑷線段NC和線段。8相交于點。

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

⑶見詳解

⑷見詳解

【知識點】畫出直線、射線、線段

【分析】本題主要考查了作圖，作直線，射線，線段，以及兩線段的交點等作圖知識.

（1）過點/、2作直線，要向兩方延伸；

（2）過2、。作射線，向。點方向延伸，3點方向不延伸：

（3）就是作線段5C；

（4）連接/C、8。交點標注為O；

【詳解】（1）解：直線”如下圖所示:

（2）解：射線8。如下圖所示：

(3)解：線段8C如下圖所示：

(4)解：線段ZC和線段相交于點。如下圖所示:

題型七與線段及線段中點有關(guān)的計算

例題：(24-25七年級上,全國?期末)追本溯源

題(1)來自于課本中的定義，請你完成解答，利用定義完成題(2).

(1)如圖1,點M把線段4B分成相等的兩條線段與"5,點M叫做線段48的一，AM=MB=_AB.

III

AMB

圖1

拓展延伸

(2)如圖2,線段4C上依次有￡),B,E三點，AD=^DB,E是3C的中點，BE=^AC=2.

IIIII

ADBEC

圖2

①求線段力B的長；

②求線段DE的長.

【答案】(1)中點；；；(2)①/B=6；(2)DE=6

【知識點】線段的和與差、兩點間的距離、線段中點的有關(guān)計算

【分析】本題主要考查了兩點間的距離，線段的和與差運算，中點的定義等知識點，熟練利用線段的和差

是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段中點的定義即可得到答案；

(2)①根據(jù)BE與/C的關(guān)系可得/C的長度,再根據(jù)線段的中點定義可得答案;②根據(jù)線段的和差可得。8

的長，利用線段的和差可得答案；

【詳解】⑴???點M把線段分成相等的兩條線段與彼，

???由中點定義知，點/叫做線段N3的中點，

：.AM=MB=-AB,

2

故答案為：中點，

（2）①?.?B￡=（ZC=2,

，AC=5BE=5x2=10,

???E是BC的中點，

.?.BC=2BE=2x2=4,

??.AB=AC-BC=lO-4=6；

（2）vAD^^DB,

22

：.DB=-AB=-x6=4,

33

DE—DB+BE=4+2=6.

【變式訓練】

1.（23-24六年級下?山東東營?期末）如圖，點M在線段上，線段與/〃的長度之比為5:4,點N為

線段的中點.

IIII

ANMB

⑴若N8=27cm,求3N的長.

⑵在線段上作出一點E,滿足3M=3E3,若EB=t,請直接寫出A8的長（用含/的代數(shù)式表示）.

【答案】⑴21cm；

,27

⑵丁

【知識點】線段中點的有關(guān)計算、兩點間的距離、列代數(shù)式

【分析】本題主要考查了兩點間的距離、列代數(shù)式，熟練掌握線段中點的定義，線段之間的數(shù)量轉(zhuǎn)化是解

題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)即1:月"=5:4,設(shè)W=5xcm,=4xcm,根據(jù)線段和的關(guān)系列方程求出X,再根據(jù)線段中點

定義求出MN,進而得到8N的長；

4

⑵根據(jù)期:/"=5:4,推得再根據(jù)已知條件，等量代換后得出

49

AB=AM+BM^-BM+BM^-BM,進而得出用含/的代數(shù)式表示N3的長.

【詳解】（1）解：由題知：BM:AM=5:4,設(shè)3jW=5xcm,AM=4xcm,

BM+AM=9x（cm）,

AB=27cm,且NB=BM+AM,

/.BM+AM=5x+4x=9x=27,

???x=3,

AM=12cm,BM=15cm.

,??點N是線段AM的中點，

:.MN=—AM=6cm,

2

BN=BM+MN=15+6=21cm；

(2)?：BM:AM=5:4,

4

???AM=-BM,

5

illii

ANMEB

?；MB=3EB,EB=t,

MB=3t,

49

AB=AM+BM=-BM+BM=-BM,

55

9r27

4B=—x3/=—t.

55

2.(23-24七年級上?湖南婁底?期末)如圖.線段/3=20,C是線段的中點，。是線段2c的中點.

Iill

ACDB

⑴求線段ND的長；

⑵在線段N2上有一點￡,CE=±BC,求的長.

【答案】⑴15；

(2)4￡=8或12

【知識點】線段中點的有關(guān)計算

【分析】本題考查了線段的和差以及中點的有關(guān)運算.

(1)現(xiàn)根據(jù)中點的意義得到NC=8C=10,CD=\BC=5,再由線段的和關(guān)系，即可作答；

2

(2)分當點E在點C左側(cè)時和當點E在點C右側(cè)時兩種情況求解即可.

【詳解】(1)???線段/2=20,C是線段的中點，

“。=3。=10,

是線段8C的中點，

CD=-BC=5,

2

:.AD=AC+CD=\5:

(2)v5C=10,

：.CE=^BC=2,

當點E在點C左側(cè)時：AE=AC-CE=^-,

當點E在點C右側(cè)時：AE=AC+CE=\2.

綜上：/E=8或12.

題型八與余角、補角有關(guān)的計算

例題：（23-24七年級上?云南紅河?期末）如圖，點/、。、3在同一直線上，ZBOD=70°,QD平分

ZBOC,OF平分ZDOE,ZAOF=30°.

⑴求NC。b的度數(shù)；

⑵判斷//OE與Z/OC是否互余，并說明理由.

【答案】⑴10。

⑵是，理由見解析

【知識點】角平分線的有關(guān)計算、與余角、補角有關(guān)的計算

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算：

（1）角平分線求出,20C,平角求出/CO尸即可；

（2）求出//OE與//OC的度數(shù)，根據(jù)余角的定義，進行判斷即可.

【詳解】（1）解：???/8。。=70。，OD平分/2OC,

ZBOC=2ZBOD=140°,

ZCOF=180°-ZAOF-ZBOC=10°；

（2）是,理由如下:

???ZBOD=70°,OD平分NBOC,

ZCOD=ZBOD=70°,

ZCOF=10°,ZAOF=30°,

ZAOC=NCOF+NAOF=40°,ZDOF=ZCOD+ZCOF=80°,

?；OF平分NDOE,

ZEOF=ZDOF=80°,

ZAOE=ZEOF-ZAOF=50°,

ZAOE+ZAOC=90°,

:2AOE與N4OC互余.

【變式訓練】

1.（23-24七年級上?天津津南?期末）與NCOD互為補角，OE、。下分別平分/80C與//OD（題

目中的涉及的角均指小于平角的角）.

圖1圖2

⑴如圖1,當點2、。、C三點在一條直線上，

①請找出圖中與相等的一個角，并說明理由；

②若/4OB的度數(shù)比/COD的度數(shù)的一半小36。，求//OC的度數(shù).

⑵如圖2,當點8、0、C三點不在一條直線上，求NEO尸的度數(shù).

【答案】⑴①理由見解析；②//OC=144。；

⑵/E0尸=90。.

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）、與余角、補角有關(guān)的計算、角平分線的有關(guān)計算

【分析】題目主要考查角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的計算，理解題意，結(jié)合圖形求解是

解題關(guān)鍵.

⑴①根據(jù)等角的補角相等即可得出結(jié)果；②設(shè)/COD=x,則，/。2=氐-36。，根據(jù)題意列出方程求

解即可；

（2）根據(jù)角平分線得出，==結(jié)合圖形進行等量代換求解即可.

【詳解】（1）解：①NBOD=NAOB,

NAOB+NCOD=180,/BOD+ZCOD=180°,

：.NAOB=/BOD；

②設(shè)/COD=x,則N/O8=gx-36°,

.-.x+-x-36°=180°,

2

.?,x=144°,NAOB=36°,

ZAOC=180°-//OB=180°-36°=144°；

（2）???OE.。戶分別平分/BOC與N/OD,

ZEOC=-ZBOC,NAOF」ZAOD,

22

ZEOF=ZCOE+ZAOF-ZAOC=^ZBOC+^AOD-ZAOC=^ZBOC+ZAOD）-ZAOC=^{ZAOB+ZCOD'）=^\?,G°=i）0°.

2.（23-24七年級上?河南許昌?期末）如圖，點。為直線42上一點，將一個直角三角板的直角頂點放

在點。處，射線。。平分

圖I圖2

(1),若/CON=18。，貝!

⑵在圖（1）中，若NCON=a,求的度數(shù)（用含&的式子表示）；

⑶將圖（1）中的直角三角板。繞頂點。旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，若邊在直線的上方，另一邊ON

在直線48的下方，試探究/40M和NCON之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由.

【答案】⑴36。

（2）ZAOM=2a；

⑶NAOM=24CON.

【知識點】角平分線的有關(guān)計算、與余角、補角有關(guān)的計算

【分析】本題主要考查的是余角與補角，角的計算、角平分線的定義的運用.

（1）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)&0M=0,則=180。-〃，根據(jù)角平分線的定義得到

NMOC=；NBOM=1(180°-/?)=90°-1^,根據(jù)余角的性質(zhì)得到

ZCON=AMON=^MOB=90。一190。一；?）=；尸，于是得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：由已知得/MOC=90。一NCON=72。,

；OC平分ZB（W,

ABOM=2NMOC=144°,

AAOM=180°-NBOM=180°-144°=36°；

故答案為：36°；

(2)解：由己知得NMOC=90。-NCON=90。-i,

OC平分ZBOM,

：.ABOM=24Moe=180°-2a,

AAOM=180°-ABOM=180°-(180°-2a)=2a:

(3)解：結(jié)論：ZAOM=2ZCON,

理由如下：設(shè)NAOM=/3,則/B(W=180。-",

?；OC平分ZB(W,

ZMOC=|ZBOM=1(180°-/?)=90°-1^,

???AMON=90°,

ZCON=AMON-1MOB=90°-(90。-；尸］=g4,

ZAOM=2ZCON.

題型九與角平分線有關(guān)的計算問題

例題：(24-25七年級上,遼寧?期末)如圖，已知OC、是內(nèi)的兩條射線，OE平分//OC,OF

平分NBOD.

⑴若NN08=132。，ZCOD=22°,求/￡。廠的度數(shù)；

(2)若NEO尸=c,ACOD=p,求的度數(shù).(用含&、/的代數(shù)式表示)

【答案】⑴77。

⑵2a-￡

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：

(1)先求出//0C+N80D的度數(shù)，再由角平分線的定義推出/COE+/。。尸的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差

關(guān)系可得答案；

(2)先求出/COE+/DO尸的度數(shù)，再由角平分線的定義推出N/OC+/8。。的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差

關(guān)系可得答案.

【詳解】(1)解：???N/O8=132。，ZCOD=22°,

ZAOC+ZBOD=ZAOB-ZCOD=110°,

OEZAOC,OF平濟NBOD,

NCOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,

22

.-.ZCOE+ZDOF=-ZAOC+-ZBOD^55°,

22

ZEOF=ZCOE+NDOF+ZCOD=77°.

(2)W：■：AEOF=a,ACOD=p,

ACOE+ZDOF=ZEOF-ACOD=a-/3,

???。￡平分//。。,OF平分/BOD,

??.Z.AOC=2/COE,ZBOD=2ZDOF,

???ZAOC+ZBOD=2ZCOE+2ZDOF=2a-2,，

??.ZAOB=ZAOC+ZBOD+ZCOD=2a-/3.

【變式訓練】

1.(23-24七年級上?河北廊坊?期末)三角尺43尸的直角頂點尸在直線上，點/,5在直線C。的同側(cè).

HH

CPDc/*D

圖G圖②

⑴如圖①，若//PC=40。，求/2PO的度數(shù)；

(2)如圖②，若「M平分2/PC,PN平分NBPD,求/MPN的度數(shù).

【答案】⑴48尸。=50°

Q)NMPN=135。

【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算

【分析】本題考查了角平分線，與三角板有關(guān)的角度計算.明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知4尸3=90。，ZBPD=1800-ZAPC-ZAPB,計算求解即可；

(2)由角平分線可得ZBPN=-ZBPD.由N/PC+NAPD=180。-N/PB=90。，可得

22

ZAPM+NBPN=45°,根據(jù)ZMPN=ZAPM+乙BPN+ZAPB,計算求解即可.

【詳解】(1)解：由題意知乙4尸8=90。.

NBPD=180°-/APC-ZAPB=50°,

:"BPD=50°.

(2)解：：尸河平分，4PC,PN平分NBPD,

ZAPM=-ZAPC,ZBPN=-ZBPD.

22

ZAPC+ZBPD=180°-ZAPB=90°,

；.NAPM+NBPN=45°,

：.ZMPN=ZAPM+ZBPN+ZAPB=45°+90°=135°,

；.NMPN=135°.

2.(23-24七年級上?陜西渭南?期末)【問題背景】已知0c是內(nèi)部的一條射線，且Z4O8=34OC.

【問題再現(xiàn)］(1)如圖①，若4408=120。，平分//OC,ON平濟NAOB,求NMON的度數(shù)；

【問題推廣】⑵如圖②，N4OB=90°,從點。出發(fā)在28OC內(nèi)引射線QD,滿足

ZBOC-ZAOC=ZCOD,若平分“OD,求NBOAf的度數(shù)；

【拓展提升】(3)如圖③，在//OC的內(nèi)部作射線OP,在/BOC的內(nèi)部作射線。。，若/COP：

/BOQ=1：2,求乙4。尸和NC。。的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)40°；(2)45°；(3)2ZAOP=ZCOQ.

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算

【分析】本題考查了角度和差的計算，角平分線的定義，

(1)根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系和角平分線定義求出和4ON的度數(shù)，再將兩個角的度數(shù)相加即可求

解；

(2)根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系和角平分線定義求出，80C和/C(W的度數(shù)，再將兩個角的度數(shù)相減即可求

解；

(3)角含有a的式子表示出2440c=/30C,再計算出N/O尸和NC。。的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1):NAOB=3N4OC,ZAOB=120°,

:.ZAOC=-xl20°=40°.

3

又,.?ON平分/40C,0N平分NA0B,

ZAOM=-ZAOC,ZAON=-ZAOB,

22

.?.N/(W=40°+2=20°；

//ON=120。+2=60°,

AMON=ZAON-ZAOM=60°-20°=40°；

(2)?:ZAOB=90°,ZAOB=3ZAOC,

.■/OC=90°+3=30°；

Z50C=90°-30°-60°.

ZCOD=ZBOC-N4OC=60°-30°=30°.

又?「(W平分ZCOD,

ZCOAf=-ZCOD=-x30°=15°,

22

NBOM=NBOC-ZCOM=60°-15°=45。；

(3)設(shè)NCOP=a,則N8O0=2a.

ZA0B=3ZA0C,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=3ZAOC-ZBOC,

/.2ZAOC=ZBOC.

:.2(//OP+ZCOP)=ZCOQ+ZBOQ,

:.2(ZAOP+a)=ZCOQ+2a,

2ZAOP=ZCOQ.

-------------------------------------------------------------------------

一、單選題

1.（23-24七年級上?全國?期末）在三角形48c中，若//的補角是85。，的余角是65。，則/C的度

數(shù)為（）

A.60°B.65°C.80°D.85°

【答案】A

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、與余角、補角有關(guān)的計算

【分析】本題考考查了補角和余角的知識，幾何中角度的計算，理解補角和余角的性質(zhì)是解答本題的基

礎(chǔ).根據(jù)補角和余角的性質(zhì)求出力/和,即可求出/C.

【詳解】解：??,一/的補角是85。，的余角是65。，

NA=180°-85°=95°,ZB=90°-65°=25°,

.?,ZC=180°-95°-25°=60°,

故選：A.

2.（23-24七年級上?安徽合肥?期末）如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只

能彈出一條墨線，能解釋這一實際應(yīng)用的數(shù)學知識是（）

A.兩點確定一條直線

B.兩點之間線段最短

C.垂線段最短

D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】A

【知識點】兩點確定一條直線

【分析】本題考查的是直線的性質(zhì)在實際生活中的運用，根據(jù)直線的性質(zhì)"兩點確定一條直線"來解答即可.

【詳解】解：經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，此操作的依據(jù)是：兩點確定一條直線.

故選：A.

3.（24-25七年級上,全國?期末）如圖，點。是線段AB的中點，點C是線段力。的中點，若/8=6cm,則線

段CD的長度是（）cm.

IllI

ACDB

A.2B.3C.1.5D.2.5

【答案】C

【知識點】線段中點的有關(guān)計算、線段的和與差

【分析】本題考查線段的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，進行解答，即可.

【詳解】解：?.?點。是線段48的中點，

：.AD=BD=-AB,

2

,?,點C是線段4。的中點，

,-.AC=CD=-AD,

2

.-.AC=CD=-AD=-x\-AB\=-AB,

22（2J4

,/AB=6cm,

.-.CD=^5=^x6=1.5（cm）.

故選：C.

4.（23-24七年級上?河北廊坊?期末）如圖，從點。處觀測點/，點。的方向，下列說法中錯誤的是（）

點/在點。的北偏東30。方向上瓦點。在點。的東南方向上

C.點/在點。的北偏東60。方向上。.點。在點。的南偏東45。方向上

【答案】A

【知識點】方向角的表示

【分析】本題考查了方向角的表示，解題的關(guān)鍵是要掌握辨別方向的方法；

根據(jù)點4點。所在的位置，可得到方向角，即可得到答案.

【詳解】解：由圖可得：

點/在點。的東偏北30。方向上，

???點/在點。的北偏東60。方向上，

二選項/錯誤，符合題意；

選項C正確，不符合題意；

???點D在點。的東南方向上，點D在點O的東偏南45。方向上，

???點D也在點。的南偏東45。方向上，

選項8、。均正確，不符合題意；

故選：A.

5.（23-24七年級上?新疆喀什?期末）如圖，直線N8,CO相交于點。，射線平分2/OC,

NNOM=90°,若/CON=55。，則的度數(shù)為（）

【答案】B

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算

【分析】易求出/COM=35。，根據(jù)角平分線定義得出=/COM,即可得出答案.本題考查了垂直

定義，角平分線定義等知識點，能求出/C（W的度數(shù)和求出=是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：'：ZMON=90°,ZCON=55°,

ZCOM=90°-55°=35°,

:射線■平分N/OC,

ZAOM=ZCOM=35°,

故選：B.

二、填空題

6.（23-24七年級上?四川宜賓?期末）若//=53。20，，則//的補角的度數(shù)為

【答案】126。40'

【知識點】求一個角的補角

【分析】本題考查了補角的知識，根據(jù)互補的兩角之和為180。，解答即可.

【詳解】解：???乙4=53。20',

44的補角的度數(shù)為180°-53。20'=179。60'-53。20'=126°40,,

故答案為：126°40'.

7.（24-25七年級上?全國?期末）一個角的余角等于這個角的補角的;，則這個角為度.

【答案】45

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）、與余角、補角有關(guān)的計算

【分析】本題考查余角和補角的概念以及運用.設(shè)這個角的度數(shù)是x,這個角的補角為（180*x）,余角為

（90°-x）.根據(jù)“一個角的余角等于這個角的補角的g"列方程求解即可.互為余角的兩角的和為90。，互為

補角的兩角之和為180。.解題的關(guān)鍵是能準確的從題中找出角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計算出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)這個角的度數(shù)是x,

依題意，得：90°-x=1（180°-x）,

解得：x=45。，

???這個角為45度.

故答案為：45.

8.（24-25七年級上?全國?期末）如圖，鐘表上時針與分針所成角的度數(shù)是.

【答案】120。/120度

【知識點】鐘面角

【分析】本題主要考查了鐘面上的角度計算，了解鐘面的結(jié)、明確每份的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)鐘面一周為360。，被分成了12等份，每份的度數(shù)是360。+12=30。，依此即可求出4時的時針與分針

所成的角度即可.

【詳解】解:如圖：鐘表上時針與分針所成角的度數(shù)是4,30。=120。.

故答案為：120。.

9.（24-25七年級上?全國?期末）已知線段線段CD=1,線段。在線段上由點/向點2

從左向右移動（點C不與點/重合，點。不與點8重合），若設(shè)線段/C=x,記圖中所有線段的長度之和

為S,則$=.(用含a,x的代數(shù)式表示)

-A

,4C_DH

【答案】3a+l

【知識點】兩點間的距離

【分析】本題考查了兩點間的距離，關(guān)鍵是正確計算所有線段的長度之和.S=/C+a)+8D+/D+CB+/B,

可得S的含x的代數(shù)式表示.

【詳解】解：S=AC+CD+BD+AD+CB+AB=3AB+CD,

貝US=3a+l,

故答案為：3a+l.

10.(23-24七年級上?浙江衢州?期末)一根繩子N8長為20cm,C,。是繩子上任意兩點(C在。的

左側(cè)).將NC,BD分別沿C,。兩點翻折(翻折處長度不計)，A,3兩點分別落在上的點E,F

處.

(1)當CD=12cm時，E,尸兩點間的距離為.

(2)當E,尸兩點間的距離為2cm時，CD的長為.

■上

AR

【答案】4cm11cm或9cm

【知識點】線段的和與差、兩點間的距離

【分析】本題考查了線段的和差，兩點間距離，翻折，分類討論思想；

(1)由已知/C+5D=8cm,翻折后/C+5D=CE+。尸<C。，則E,廠兩點間的距離為CD-(CE+。尸)，

由此即可求解；

(2)分兩種情況：AC+BD<CDRAC+BD>CD,即可求解.

【詳解】解：(1)AB=20cm,CD=12cm,

?,.AC+BD=AB-CD=8cm,

由于翻折，如圖，則/C=BD=DF,

/C+BD=CE+DF=8cm<CD=12cm,

??.E,尸兩點間的距離為CD-(CE+DF)=n-8=4(cm)；

iiiF?i

故答案為：4cm；

(2)當/C+8O<CD時，如圖，

rew__ss

由于翻折，則/C=CE,BD=DF,

由圖知，AE+EF+BF=20,即2CE+2+2。尸=20,

:.CE+DF=9,

：.CD=CE+DF+EF=9+2=ll(cm)；

當+時，如圖，

圖囑解露窿,

貝!J/E+BE-E尸=20,即2。￡+2。9一2=20,

：.CE+DF=i\,

.-.CD=CE+DF-EF=11-2=9(cm)；

綜上，CD的長為11cm或9cm.

故答案為：11cm或9cm.

三、解答題

11.(22-23七年級上?廣東深圳?期末)如圖所示，已知48=24cm,點M是線段42的中點，點C把線段MB

分成MC:C8=2:1的兩部分，求線段NC的長.請補充完成下列解答：

I_______________________??_________?

AM('B

解：因為M是線段48的中點，AB=24cm,

所以/M=A/B=AB=cm.

因為AfC:C5=2:l,

所以MC=MB=cm.

所以NC=AM+=cm+cm=cm.

【答案】y,12,I，8,MC,12,8,20

【知識點】線段中點的有關(guān)計算、兩點間的距離

【分析】本題考查了兩點間的距離，利用線段中點的性質(zhì)得出線段的比得出MC是解題關(guān)鍵.根據(jù)線

段中點的性質(zhì)，可得根據(jù)線段的比，可得MC,根據(jù)線段的和差，可得答案.

【詳解】解：:河是線段48的中點，AB=24cm,

/.AM=MB=-AB=12cm.

2

?/MC.CB=2:1,

:.MC=-MB=8cm.

3

?「AC=AM+MC,

/.^C=12+8=20(cm),

故答案為：~,12,—,8,MC,12,8,20.

12.(23-24七年級上?云南昭通?期末)如圖，點。在直線上，OD是/4OC的平分線，OE是NCOB的

平分線.

C

O

⑴求NDOE的度數(shù)；

⑵如