2025年廣東省深圳市中考數學適應性試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.月餅是中秋節的美食代表，承載著深厚的中華文化底蘊.如圖所示是一個月餅盒，其俯視圖為（）

B.

D.

2.方程1）=0的根是（)

A.)=()B.r=l

D.=Q,x,=-1

3.透視是一種繪畫技巧，通過視平線和消失點的關系來表現物體的立體感和空間感.如圖是運用透視法繪

制的一個圖案，已知48〃CDi!EF,-則些的值為（）

4.地面上鋪滿了正方形的地磚（40cmx40cmI,現在向這一地面上拋擲半徑為5cm的圓碟.為了估計圓碟

與地磚間的間隙相交的概率，數學興趣小組進行試驗，得到了數據：

拋擲總次數501003005008001000

圓碟與地磚間的間隙相交的次數2945133219353440

第1頁/共7頁

圓碟與地磚間間隙相交的頻率0.5800.4500.4430.4380.4410.440

由此可估計圓碟與地萬專間的間隙相交的概率大約為（）

A.0.42B,0.44C,0.50D.0.58

5.玻璃瓶中裝入不同量的水，敲擊時能發出不同的音符.實驗發現，當液面高度』C與瓶高48之比為黃

金比（約等于0.618）時（如圖），可以敲擊出音符“sol”的聲音.若48=10cm,且敲擊時發出音符

”的聲音，則液面高度4C約為（）

A.3.82cmB.5cniC.6.18cmD.7.2cm

6.小明用兩根小木棍/C,BD自制成一個如圖所示的“X形”測量工具，/C與BD交于點。，

OA=OB,OC=OD,OB=3OD,現將其放進一個錐形瓶，經測量，CO=3cm,則該錐形瓶底部的

內徑AB的長為（）

DC

7.某超市銷售一種文創產品，每個進貨價為15元.調查發現，當銷售價為20元時，平均每天能售出50個;

而當銷售價每降低1元時，平均每天就能多售出5個.超市要想使這種文創產品的銷售利潤平均每天達到

220元，設每個文創產品降價x元，則可列方程為（）

A.120-15-.r）（50+5x）=220

B.120-15+.v）150+5.v|=220

C.（20-15-v|（50-5.v|=220

D.-2015-v||50-5xi=22O

第2頁/共7頁

k

8.如圖，已知一次函數『-x+M的圖象與反比例函數『二一(&>0)的圖象相交于A,8兩點.當機的值

X

由4逐漸減小到Y時，關于線段.48的長度，下列判斷正確的是()

A.由大變小B.由小變大C.保持不變D.有最小值

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.

9若a=2卜，則苫=.

10.矩形兩邊長分別為3cm和4cm,則矩形的對角線長為.

11.已知。是方程廣一I=3的一個根，則代數式1+2。+2025的值為.

12.露營越來越受大眾喜愛.如圖是一個帳篷的示意圖，其高OE=2m,某時刻帳篷頂端E在陽光下的影

子為點凡1OF,OF交48于點G,0G=lm,在同一時刻，附近一根長為hn的標桿在地面的影

長為2r,則FG為

實物圖

13.如圖，在正方形.48C0中，E為48上一點，將繞點。按逆時針方向旋轉9。\得到AOC'F,

連接￡F交C。于點G.若8E4,DG=5,則X。的長為

三、解答題：本題共7小題，共61分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

第3頁/共7頁

14.（1）解萬程：1-6.V?5二0；

（2）小明在解關于x的方程「?6.1?c=Q時，過程如下：

第1步：移項,得1?6.1二-c，

第2步：變形，得V—61二-c,

第3步：設陽=±H=x-3,即.”m+3,代入上式得（用+3）（朋-3）=-c,

2

所以=即M：=9-「

第4步：兩邊開平方，得〃7二士J9—c，

第5步：代入X=附+3,得x二3±4-t,即*=3+,9-c,4=3-J9-c.

你認為小明的做法從第步開始出現錯誤，原因是.

15.某校開展以“新時代深圳精神”為主題的演講比賽.“新時代深圳精神”概括凝結為16個字：“敢闖敢

試、開放包容、務實尚法、追求卓越”，這四個主題依次用字母A,B,C,。表示.將A,B,C,。分別

寫在四張完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗勻.每位選手隨機從中抽出一張卡片，并按照抽到的

主題進行演講.

（1）小明抽到演講主題為“追求卓越”的概率是;

（2）小穎從中抽出一張卡片，記下字母后放回.重新洗勻后，小亮再從中抽出一張卡片，求他們演講主題

相同概率.

16.某校在科技節開幕式上，計劃用一塊正方形空地進行無人機表演，從這塊空地上劃出部分區域作為安全

區（如圖），原空地一邊減少了4”，另一邊減少了2r，剩余空地為起飛區.設原正方形空地的邊長為AIT

1<4B

（1）起飛區的邊48的長為（用含x的代數式表示）；

第4頁/共7頁

(2)若起飛區的面積為120mL求原正方形空地的邊長.

17.光照強度是指單位面積上所接受可見光的光通量，簡稱照度(Lux智能玻璃可以通過自動調節其透明

度而使室內達到合適的照度.學習小組通過查閱資料，發現照度,Lux)是透明度x1%|的反比例函數，其

圖象如圖所示.

y/(Lux)

6000

5000

4000

3000

]\^(30,2000)

2000

1000

O102030405060x/(%)

(1)求出y與x之間的函數表達式；

(2)君子蘭承載著傳統文化中高貴典雅、溫和有禮等寓意.它適宜在照度10003/x至WOOL1H的室內

生長，那么智能玻璃的透明度x應控制在什么范圍內？請說明理由.

18.如圖，在A,48c中，.48=,4G為A』8c的外角的平分線，BF1AG,垂足為尸，點

。為8(,上一點，連接OF，交AB于點。?

(1)在不添加新的線的前提下，請增加一個條件：,使得四邊形,4尸8。為矩形，并說明理由；

(2)若四邊形,4/8。為矩形，請用尺規作圖的方法作一個菱形.48PC，使8c為菱形的一條對角線.(保

留作圖痕跡，不寫作法)

19.綜合與實踐

【發現并提出問題】

在進行綜合與實踐活動時，學習小組發現可以將一張特殊的平行四邊形硬紙片剪拼成一個有蓋的直四棱柱

形盒子(無損耗無重疊)，在制作過程中，學習小組提出了一個問題：制作的盒子的高與四邊形硬紙片的邊

長存在怎樣的數量關系？

【分析并解決問題】

探究一：盒子的高與正方形硬紙片的邊長的數量關系

第5頁/共7頁

(1)以正方形。48c的頂點o為坐標原點，01，0C所在的直線為坐標軸建立如圖1所示的平面直角坐

標系，此時點2的坐標為(4,4),再以正方形。.48(、的兩條對角線交點尸為位似中心，畫一個正方形

DEFG,使它與正方形。48(,位似，且相似比為1:2,然后按圖2的方式將正方形紙片048C沿虛線剪

開，可拼接成如圖3所示的四棱柱形有蓋盒子.

圖1圖2圖3

探究二：盒子的高與菱形硬紙片的邊長的數量關系

(2)按探究一的方式將圖4中的菱形硬紙片制作成了如圖5所示的四棱柱形有蓋盒子.在菱形48co中,

若=/DAB=60°,則盒子的高廢為；(用含。的代數式表示)

【推廣并創新應用】

探究三：盒子的高與矩形硬紙片的邊長的數量關系

(3)如圖6,矩形硬紙片.48。。中，,48=加，="，將該紙片沿虛線剪開，把所得的四個陰影部分

紙片再剪拼成一個長方形蓋子，并與剩余部分一起拼接成一個四棱柱形有蓋盒子，求盒子的高(用含

有m,n的代數式表示)

20.定義：菱形一邊的中點與它所在邊的對邊的兩個端點連線所形成的折線，叫做菱形的折中線.例如，如

圖1，在菱形.4BC0中，E是C。的中點，連接〔'E.8E,則折線4E8叫做菱形.4BCD的折中線，折線

的長叫做折中線的長.

已知，在菱形38co中，,48=a,E是CO的中點，連接11：.

第6頁/共7頁

圖1圖2

(1)如圖1,若。=8,NC=60°,求折中線4E8的長；

(2)如圖2,若/4E8=/C,請探究折中線,4E8的長與菱形的邊長a之間滿足的等量關系式，并說明

理由；

(3)若a=8,且折中線,4￡8中的4E或/右與菱形.48。。的一條對角線相等，求折中線力E8的長.

第7頁供7頁

2025年廣東省深圳市中考數學適應性試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.月餅是中秋節的美食代表，承載著深厚的中華文化底蘊.如圖所示是一個月餅盒，其俯視圖為（）

從正面看

【解析】

【分析】本題考查簡單幾何體的俯視圖.理解三視圖的意義是正確判斷的前提.

根據俯視圖是從物體的上面看得到的圖形，可得答案.

【詳解】解：該幾何體的主視圖是:

2.方程=0的根是（）

A.r=0B..V=1

C.，-0,.V,=1D..II,=-1

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程解法是解題的關鍵.

由題意可得x=0或x_1=0,于是得解.

第1頁/共20頁

【詳解】解：由題意可得：

1=（）或x1=0,

-I,-0,.v;=1,

故選：C.

3.透視是一種繪畫技巧，通過視平線和消失點的關系來表現物體的立體感和空間感.如圖是運用透視法繪

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用該定理、找準對應關系是解題的關鍵.根據平

行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【詳解】解：?；，48//CD//EF,

?AC-BD

TE~~DF'

AC3

CE2

BD3

——=-,

DF2

故選：A

4.地面上鋪滿了正方形的地磚（40cmx40cmi,現在向這一地面上拋擲半徑為5cm的圓碟.為了估計圓碟

與地磚間的間隙相交的概率，數學興趣小組進行試驗，得到了數據：

拋擲總次數501003005008001000

圓碟與地磚間的間隙相交的次數2945133219353440

圓碟與地方專間的間隙相交的頻率0.5800.4500.4430.4380.4410.440

由此可估計圓碟與地磚間的間隙相交的概率大約為（）

第2頁/共20頁

A.0.42B.0.44C.0.50D.0.58

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，熟練掌握根據頻率估計概率的方法是解題的關鍵，根據頻率估

計概率即可.

【詳解】解：根據試驗數據得：當試驗次數逐漸增大時，圓碟與地磚間的間隙相交的頻率在0.44左右，

，可估計圓碟與地磚間的間隙相交的概率大約為0.44.

故選：B

5.玻璃瓶中裝入不同量的水，敲擊時能發出不同的音符.實驗發現，當液面高度』C與瓶高,48之比為黃

金比（約等于0.618）時（如圖），可以敲擊出音符“s。/”的聲音.若.48=10cm,且敲擊時發出音符

”的聲音，則液面高度約為（）

A.3.82cmB.5cmC.6.18cmD.7.2cm

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵.根據黃金分割的定義進行計算即

可.

【詳解】解：由題知，

因為液面高度從C與瓶高48之比為黃金比，且.48=10cm,

所以JC=0.6l8/8=6.18（cm）,

故選：C

6.小明用兩根小木棍4c,BD自制成一個如圖所示的“X形”測量工具，』C與BD交于點。，

。』=08,OC=OD,08=3OD,現將其放進一個錐形瓶，經測量，CD=3cm,則該錐形瓶底部的

內徑AB的長為（）

第3頁/共20頁

a

A.6cmB.9cmC.12cmD.15cm

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，首先根據和ADOC都是等腰三角形且

QD4D

ZDOC=250.4,可證A/08sA00C,根據相似三角形對應邊成比例可得=-=3,根據

ODCD

CD=3cm可求AB的長度.

【詳解】解：：0A=OB,0C=0D,

和aOOC都是等腰三角形,

vZD0C=/.BOA,

,■^AOB^tDOC,

■：OB=30。，

OBAB,

——=——=3,

ODCD

又；CD=3cm,

?3*

.?3-3,

.48=9cm,

故選：B.

7.某超市銷售一種文創產品，每個進貨價為15元.調查發現，當銷售價為20元時，平均每天能售出50個;

而當銷售價每降低1元時，平均每天就能多售出5個.超市要想使這種文創產品的銷售利潤平均每天達到

220元，設每個文創產品降價x元，則可列方程為()

A.'2015-v|(50+5.v)=22O

B.|20-15-Ail50+5x1=220

C.(20-15-v|(5O-5.r|=22()

D.(20-15+x(50-5x)=220

第4頁/共20頁

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出方程即可.

【詳解】解：由題意，可列方程為：|2O-15-x）（5O+5.r）=22O；

故選A.

k

8.如圖，已知一次函數rx+卅的圖象與反比例函數「=一">0）的圖象相交于A,B兩點.當機的值

X

由4逐漸減小到Y時，關于線段48的長度，下列判斷正確的是（）

A.由大變小B.由小變大C.保持不變D.有最小值

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，反比例函數一次函數的交點關于原點對稱是解題

關鍵.根據一次函數過原點，48的長度最小可得答案.

【詳解】解：：一次函數rx+m的圖象與反比例函數.1，=*（仁>0）的圖象相交于A,B兩點，當初的

X

值由4逐漸減小到Y時，線段48的長度先變小，再變大，當一次函數過原點時，IB的長度最小，

二線段AB的長度有最小值.

故選：D.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.

9.若a=2b,則?=____.

b

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了代數式求值，比例的性質，把“=23整體代入即可求解.

…a2b、

【詳解】解：a=2h,則：=7=2,

hh

故答案為：2.

第5頁/共20頁

10.矩形的兩邊長分別為3cm和4cm,則矩形的對角線長為.

【答案】5cm

【解析】

【詳解】解：?.?矩形的邊長分別為3和4,

二.該矩形的對角線長=斤二7=5，

故答案為：5.

根據勾股定理即可得到結論.

本題考查了矩形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

11.已知。是方程「「I='：的一個根，則代數式」：.2。+2（17的值為.

【答案】2028

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，巧用整體思想是解題的關鍵.

將K=a代入方程，再結合整體思想即可解決問題.

【詳解】解：*是方程「*h=3的一個根，

??..-2a=3）

；?J+2a+2025=3+2?！?2028.

故答案為：2028.

12.露營越來越受大眾喜愛.如圖是一個帳篷的示意圖，其高OE=2m,某時刻帳篷頂端E在陽光下的影

子為點、F,OE1OF,OF交于點G,OG=lm,在同一時刻，附近一根長為h”的標桿在地面的影

長為2r，則FG為.

E

實物圖示意圖

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查相似三角形應用，平行投影.關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例.

第6頁/共20頁

相似三角形的對應邊成比例得到0￡:0F=1:2,求出OF=4m,即可得到FG的長.

【詳解】解：由題意得：0￡OF=1:2,

v0E=2,

OF=4,

fG=OF-0G=4-1=3(m).

故答案為：3.

13.如圖，在正方形乂8CO中，E為48上一點，將繞點。按逆時針方向旋轉得到AOCF,

連接￡廣交C0于點G.若8E=4,DG=5,則X。的長為

【答案】6

【解析】

【分析】設.4。==8C=C。=K,表示出"=AB-BE=x-A,CG=CD-DG=X5,

CF=.4E=x-4,8F=8C+CF=X+JT-4=2X-4,然后證明出FGC^FES,得到仁=”,

BEBF

然后代入解方程即可求解.

【詳解】?.四邊形.48。屣正方形

.?設AD=AB=BC=CD=x

-：8E=4,DG=5,

AE=AB-BE=x-4,CG=CD-DG=X-5

:將繞點。按逆時針方向旋轉90。，得到A0CF,

CF=AE=x-4

：.BF=BC+CF=.v+i-4=2.r-4

AB'1'CD

FG"FEB

CGCFBt1A-5x-4

BEBF42.V-4

解得i=6或x=3(不符合題意，舍去)

第7頁/共20頁

經檢驗，1=6是原方程的解

4。的長為6.

故答案為：6.

【點睛】此題考查了正方形的性質，旋轉的性質，解分式方程和一元二次方程，相似三角形的性質和判定

等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點.

三、解答題：本題共7小題，共61分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

14.(1)解方程：F-6K?5=Q;

(2)小明在解關于x的方程「-6I-c="時，過程如下：

第1步：移項，得「-6.if=-＜，

第2步：變形，得=-c,

第3步：設="|『I=一3，即1=刑+3,代入上式得(m+3)(附-3)=-c,

所以附：=即防-=9-c，

第4步：兩邊開平方，得二士J9—c，

第5步：代入*=m+3,得I=3士小-f，即』=3+V9-c,x2=3-y]9-c-

你認為小明的做法從第步開始出現錯誤，原因是.

【答案】(1)為=5,工=1；(2)4,9-c可能小于0,而負數沒有平方根.

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法

(1)利用因式分解法把方程轉化為x-5=0或x1=0,然后解兩個一次方程即可；

(2)由于"-c可能小于0,所以m：=9-(1不能兩邊開方.

【詳解】解：(1)x:-6x+5=0,

|x-5)|x-l|=0,

x5=0或x-1=0,

所以.5=5,工=1；

第8頁/共20頁

(2)小明的做法從第4步開始出現錯誤，原因是9-c可能小于0,而負數沒有平方根.

故答案為：4,9-可能小于0,而負數沒有平方根.

15.某校開展以“新時代深圳精神”為主題的演講比賽.“新時代深圳精神”概括凝結為16個字：“敢闖敢

試、開放包容、務實尚法、追求卓越”，這四個主題依次用字母A,B,C,。表示.將A,B,C,。分別

寫在四張完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗勻.每位選手隨機從中抽出一張卡片，并按照抽到的

主題進行演講.

(1)小明抽到演講主題為“追求卓越”概率是；

(2)小穎從中抽出一張卡片，記下字母后放回.重新洗勻后，小亮再從中抽出一張卡片，求他們演講主題

相同的概率.

【答案】⑴1；

I

⑵4

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求事件發生的概率，熟練掌握列表法與樹狀圖法及概率公式是解題

的關鍵.

(1)直接根據概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能的結果數和他們演講主題相同的結果數，再利用概率公式可得出答案.

【小問1詳解】

解：小明抽到演講主題為“追求卓越”的概率是\,

故答案為：.;

4

【小問2詳解】

由題意，列表為：

ABCD

A(44)(&4)(CZ)屹⑷

B(48)(C8)

C(4Q(GC)

第9頁/共20頁

D（4。）(CD)

共有16種等可能的結果，他們演講主題相同的有4種結果,

所以他們演講主題相同的概率媼=;

16.某校在科技節開幕式上，計劃用一塊正方形空地進行無人機表演，從這塊空地上劃出部分區域作為安全

區（如圖），原空地一邊減少了4”，另一邊減少了2r,剩余空地為起飛區.設原正方形空地的邊長為NT

B

△△

△

安

無人機

△全

區起飛區

△△

△△△△△I2

（1）起飛區的邊X8的長為（用含x的代數式表示）；

（2）若起飛區的面積為120m',求原正方形空地的邊長.

【答案】（1）（X-*,

（2）原正方形空地邊長為14m.

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：

（1）根據題意，列出48的代數式即可；

（2）根據題意列出方程，解方程即可.

【小問1詳解】

解：根據題意，起飛區的邊X8的長為（X4lm,

故答案為：（x—4）；

【小問2詳解】

解：根據題意可得：（x-2）（x-4）=120,即1-6.112=（1，

解得：K=14,t=-V舍去）.

答：原正方形空地的邊長為14m.

第10頁/共20頁

17.光照強度是指單位面積上所接受可見光的光通量，簡稱照度(Lux智能玻璃可以通過自動調節其透明

度而使室內達到合適的照度.學習小組通過查閱資料，發現照度Lux)是透明度的反比例函數，其

圖象如圖所示.

y/(Lux)

6000

5000

4000

3000

11X^(30,2000)

2000

1000

O102030405060x/(%)

(1)求出y與x之間的函數表達式；

(2)君子蘭承載著傳統文化中的高貴典雅、溫和有禮等寓意.它適宜在照度10003/K至3000孔、的室內

生長，那么智能玻璃的透明度x應控制在什么范圍內？請說明理由.

(2)20<x<60,理由見解析.

【解析】

【分析】(I)設y與x之間函數表達式為F=上,把(30,20001代入卜=&即可得到結論;

xx

f60000

(2)把「川。。和3000分別代入y=-得，即可得到結論.

本題考查了反比例函數的應用，正確地求出反比例函數的解析式是解題的關鍵.

【小問1詳解】

k

解：設y與x之間的函數表達式為尸=一

把(30,2000)代入卜='得，k=30x2000=60000,

?「與X之間的函數表達式為J=-

【小問2詳解】

解：智能玻璃的透明度X應控制在20S1460范圍內,

60000

理由：把「=IQ00和3000分別代入『=------得，

x=——=60,x=--------=20,

10003000

，智能玻璃的透明度x應控制在20<x<60范圍內.

第11頁/共20頁

18.如圖，在A,48c中，.48=,.4G為A』BC的外角/BXE的平分線，BF1AG,垂足為產，點

。為8C上一點，連接OF,交AB于點。.

（1）在不添加新的線的前提下，請增加一個條件：,使得四邊形.4尸8。為矩形，并說明理由；

（2）若四邊形1尸8。為矩形，請用尺規作圖的方法作一個菱形48PC,使8c為菱形的一條對角線.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）1BC（答案不唯一），理由見解析；

（2）見解析.

【解析】

【分析】（1）添加：18（'（答案不唯一））.，根據等腰三角形的性質可證4G8C,根據平行線的性質

可證乙=NFBD=/4D8=90,根據有三個角是直角的四邊形是矩形，可證四邊形」尸8。為矩形；

（2）延長AD到P，使得DPAD,連接8P,CP,根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可知四邊

形」8PC是菱形且8C為菱形的一條對角線.

【小問1詳解】

解：（1）添加：4D-8（.（答案不唯一，

理由：；.48=JC,

:./.ABC=ZC,

■：￡EAB=ZJSC+ZC,

vAG平分/￡48,

；./.BAG=/.ABC,

...1G||S（',

vBFLAG,

BF1BC,

-：AD1.BC,

：.Z4F8=￡FBD=Z.4D/J=90

第12頁/共20頁

二四邊形AFBD是矩形;

【小問2詳解】

解：如下圖所示，在射線AD上截取40-DP，

連接8P、CP,

四邊形」8PC即為所求.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，矩形的判定和性質，等腰三角形的性質,

菱形的判定等知識，解決本題的關鍵是熟練的掌握矩形和菱形的判定定理，依據判定定理添加條件.

19.綜合與實踐

【發現并提出問題】

在進行綜合與實踐活動時，學習小組發現可以將一張特殊的平行四邊形硬紙片剪拼成一個有蓋的直四棱柱

形盒子（無損耗無重疊），在制作過程中，學習小組提出了一個問題：制作的盒子的高與四邊形硬紙片的邊

長存在怎樣的數量關系？

【分析并解決問題】

探究一：盒子的高與正方形硬紙片的邊長的數量關系

（1）以正方形。48。的頂點。為坐標原點，0.4,0C所在的直線為坐標軸建立如圖1所示的平面直角坐

標系，此時點B的坐標為（4,4）,再以正方形O48C的兩條對角線交點尸為位似中心，畫一個正方形

DEFG,使它與正方形。48C位似，且相似比為1:2,然后按圖2的方式將正方形紙片O48C沿虛線剪

開，可拼接成如圖3所示的四棱柱形有蓋盒子.

請在圖1中畫出正方形DEFG,此時盒子的高為；

圖1圖2圖3

第13頁/共20頁

探究二：盒子的高與菱形硬紙片的邊長的數量關系

(2)按探究一的方式將圖4中的菱形硬紙片制作成了如圖5所示的四棱柱形有蓋盒子.在菱形48co中,

若.""a,ZDAB=60°,則盒子的高鹿為;(用含。的代數式表示)

【推廣并創新應用】

探究三：盒子的高與矩形硬紙片的邊長的數量關系

(3)如圖6,矩形硬紙片.48。。中，，48=w,JO=/I,將該紙片沿虛線剪開,把所得的四個陰影部分

紙片再剪拼成一個長方形蓋子，并與剩余部分一起拼接成一個四棱柱形有蓋盒子，求盒子的高(用含

有7",n的代數式表示)

【答案】(1)圖見解析，1(2)見(3)-

82ni+2n

【解析】

【分析】本題考查了圖形的位似，正方形的性質，菱形的性質，解直角三角形等;

(1)按要求作出位似圖形，即可求解;

(2)由位似的性質得.4P=0P,解RtA.408和Ri，』P0，即可求解；

(3)四個陰影部分四邊形是四個全等的正方形，由正方形的性質得。G=XF二4P二P0=,設

DG="二=P0=8E=I,則E0=。,FG=mlx,由盒子得底部面積和蓋子面積可得

4.v2=(m2x|(〃2.v：l,即可求解；

掌握位似圖形的畫法，正方形的性質、菱形的性質，能熟練解直角三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：(1)如圖1,

第14頁/共20頁

圖1

正方形DEFG即為所求；

???正方形DEFG與正方形。,48。相似比為1:2,

..PE:PB=]：2,

PE=BE,

???點8的坐標為(4,4|,

.??￡(3,3),

二?盒子的高丸為1；

故答案為：1；

???四邊形.4BCD是菱形,

BD1AC,

ABAC=-/.DAB

2

=1x60。=30。，

2

；.0A-ABBAD

-a?cos30°

后

=--a，

7

第15頁/共20頁

OP1

—=—,

OA2

.-.OP=AP

1加6

——OA-----o，

PQ=-AP=—a

28

故答案為：—a

8

四個陰影部分四邊形是四個全等的正方形,

;DG=="=P0=8E,

設DG=IF=IP=P0=BE=I,

貝ijE0=。-2r,FG=m2x,

由盒子得底部面積和蓋子面積可得，

4x2=(m-2x)(w-2.v),

mn

x=----------

2/w+In

mn

：.PQ

2m+2n

20.定義：菱形一邊的中點與它所在邊的對邊的兩個端點連線所形成的折線，叫做菱形的折中線.例如，如

圖1,在菱形.48C0中，E是C。的中點，連接彳E.8E,則折線4E8叫做菱形.48CO的折中線，折線

.4E8的長叫做折中線的長.

已知，在菱形48co中，.48=a,E是CO的中點，連接11：.

第16頁/共20頁

A

圖1圖2

(1)如圖1,若。=8,NC=60°,求折中線4E8的長；

(2)如圖2,若44E8=ZC,請探究折中線的長與菱形的邊長a之間滿足的等量關系式，并說明

理由；

(3)若a=8,且折中線為E8中的4E或/正,與菱形.48C0的一條對角線相等，求折中線力E8的長.

【答案】(1)4e+46;

(2)折中線4E8的長等于4E+8E=二二,理由見解析;

2

(3)折中線，4￡