2025年山東濟南中考數學一輪復習教材考點復習

反比例函數的圖象與性質學生版

知識清單梳理

知識點一反比例函數的概念及表達式

1.一般地，如果兩個變量％,y之間的對應關系可以表示成Ck

為常數，左W0）的形式，那么稱y是％的反比例函數.其中反比例函

數的自變量％的取值范圍是的全體實數.

【溫馨提示】反比例函數表達式（攵W0）也可以寫成孫=左或

1的形式.

知識點二反比例函數的圖象與性質

2.反比例函數丁=人（30）的圖象是，它有兩個分

JX

支且關于對稱.

3.反比例函數的圖象與性質

左的符號左＞0左＜0

（草圖）

所在象

圖象特

圖象無限接近坐標軸，但與坐標軸永不相交，即yWO

在每一象

增減性限內，y在每一象限內，y隨％的增大而

隨％的增

大而____

關于直線y=x,y=-%成對稱；關于

對稱性一

成中心對稱

彳溫馨提示】(1)反比例函數中，y隨％的大小而變化的情況，應

分工＞0與％＜0兩種情況討論，而不能籠統地說成“左＜0時，y隨工

的增大而增大”；

(2)在同一直角坐標系中，若正比例函數與反比例函數圖象有交點，

則兩個交點關于原點對稱.

知識點三反比例函數k的幾何意義

4.從反比例函數(左為常數，左W0)的圖象上任意一點向兩坐標

軸作垂線段，兩垂線段與坐標軸圍成的矩形面積

為.

如圖，S矩形OMPN=PMPN=lyl」％l=l盯1=1左I,同理可得

S&OPM=S&OPN=2二I,xyI-2-II.

知識點四反比例函數表達式的確定

5.(1)待定系數法

①設所求反比例函數的表達式為(30)■,

②找出圖象上的一點尸(a,b)代入中；

③確定反比例函數表達式y=y.

（2）利用反比例函數中比例系數上的幾何意義求解：若題中已知面

積時考慮用人的幾何意義，由面積得I%I,再結合圖象所在象限判

斷上的正負，從而得出左的值，代入表達式即可.

知識點五反比例函數與方程、不等式的關系

6.反比例函數與方程、不等式的關系

一次函數與反比例函數

My=ax+b

示意圖

函數與（y=a%+匕，

方程組的解為一次函數）=以+8（aWO）的圖

方程（y=x

（組）象與反比例函數y=￡（kWO）圖象的交點坐標值

函數與①不等式的解集為X或

不等②不等式的解集為XA<X<0或X>XB.

X

式（組）羽，切分別為點A,B的橫坐標

高頻考點過關

考點一反比例函數的圖象與性質

1.（2023濟南）已知點A（-4,州），B（-2,竺），C（3,心）

都在反比例函數>=：（左<0）的圖象上，則y1,丁2，的大小關系為

（）

A.y3<y2<yiB.yiVyjV”

C.y3<y\<yiD.y-2.<y?,<y\

2.（2024章丘一模）點A（a,3）,B（b,—2）,C（c,1）在反

比例函數y=?的圖象上，貝Ua,b,c的大小關系是（）

A.c<a<.bB.c<.b<.a

C.a<.b<.cD.b<a<c

3.

（2024槐蔭二模）如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在

木桿的中點。并將其吊起來，在中點。的左側距離中點025cm（￡i

=25cm）處掛一個重9.8N（Fi=9.8N）的物體，在中點O的右側

用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態.彈簧秤與中點O的距離

L（單位：cm）及彈簧秤的示數尸（單位：N）滿足包=尸11.以￡

的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系.則尸關于L的

函數圖象大致是（）

考點二反比例函數的圖象與一次函數圖象結合

4.（2021濟南）反比例函數…）圖象的兩個分支分別位于

第一、三象限，則一次函數丁=丘一左的圖象大致是（）

XxL

A.B.

5.（2024商河一模）反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數

y=kx+b（W0）的圖象的圖象大致是（）

考點三反比例函數上的幾何意義

6.（2024高新二模）如圖，在平面直角坐標系中，點尸在反比例函

數y=￡（%>0）的圖象上，點A,5在入軸上，且尸4,P5,PA交y

軸于點C,AO=BO=BP.若^ABP的面積是4,則k的值是（）

A.1B.2C,V3D.|

7.（2023天橋一模）如圖，直線A5交工軸于點C,交反比例函數y

=|（左>0）的圖象于A,5兩點，過點5作軸，垂足為。，

連接CD.若S^BCD=l，則k的值為.

考點四確定反比例函數的表達式

8.（2024鋼城一模）如圖，已知在平面直角坐標系％0y中，點A在

%軸的負半軸上，點5在y軸的負半軸上，tanNA5O=3,以AB為邊

向上作正方形A5CD若圖象經過點。的反比例函數的表達式是y=|,

則圖象經過點D的反比例函數的表達式是.

9.（2024槐蔭、萊蕪、南山聯考）如圖，在平面直角坐標系中，點A

（0,2）,B（1,0）,ZABC=90°,BC=2AB,若點。在函數y

=-（x>0）的圖象上，則上的值為（）

X

A.6B.8C.10D.12

考點五一次函數、反比例函數與方程、不等式的關系

10.（2024萊蕪模擬）若將直線y=—4%+10向下平移機個單位長度

與雙曲線y=3合好只有一個公共點，則機的值為（)

A.2B.18

C.—2或18D.2或18

（歷城三校聯考）如圖，反比例函數（）的圖象與

11.2023JXx>0

一次函數y=a%+8的圖象交于點A（1,6）和點5（3,2）.當依

+b<乙時，則X的取值范圍是（）

X

A.l<x<3B.%<1或%>3

C.0<x<lD.O<%<1或%>3

達標演練檢測

1.（2024天橋一模）反比例函數（aWO）與一次函數丁=依一。

在同一坐標系中的圖象可能是（）

2.（2024市中一模）若點A（-1,以），B（2,/），C（4,g）

在反比例函數y=勺左>0）的圖象上,則以,”,”的大小關系是（）

A.》2〉》3>竺B.y3>yi>y\

C.yi>y2>》3D.y\>y-3>yi

3.（2024天橋二模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形A5CD是

平行四邊形，點4的坐標是（一2,。），點5的坐標是（一3,0）,

頂點A,。分別在反比例函數y=—（（X<0）和>=￡（%>。）的圖象

上，則上的值為（）

A.6B.4C.2D.-4

4.

如圖，在直角坐標系中，一次函數竺=%—2與反比例函數的圖

象交于A,5兩點，下列結論正確的是（）

A.當x>3時,yi<y2

B.當％<—1時，yi<yi

C.當0<%<3時，yi>y2

D.當一1<%<0時，

5.（2024天橋二模）已知反比例函數丁=亍的圖象經過一、三象限,

則實數k的取值范圍是.

6.如圖，在平面直角坐標系％2y中，函數（左為大于。的常數，

%>0）圖象上的兩點A（xi,yi）,B（必/），滿足％2=2%I,△ABC

的邊4。〃入軸，邊軸.若△0A5的面積為6,則△45。的面

積是.

7.如圖，直線y=與雙曲線”=色在第一象限內交于A，B兩

點，已知A(1,m)，B(2,1).

(1)求心的值及直線A8的表達式;

(2)根據函數圖象，直接寫出不等式的解集.

提分微專題1反比例函數中的面積問題

模型一一個反比例函數中的面積問題

類型一：同一象限內運用k的幾何意義

初始圖形衍生圖形

(AO=AB)SAABO=IkI

AOE=S四邊形CDBES&AOB=S四邊形ACD5

（S矩形OABC-S四邊形。式BE）

跟蹤練習

如圖，直線AB交工軸于點。，交反比例函數y=T（。>1）的圖象

于A,5兩點，過點5作軸，垂足為Z）,若以BCD=5,則Q

的值為（）

A.8B.9C.10D.11

2.oT―C—r如圖，4,5是雙曲線（x>0）上的兩點，連接

OA,OA過點A作ACJ_x軸于點C,交05于點。.若。為AC的中

點，△AO。的面積為3,點5的坐標為(m,2),則根的值

為.

如圖，直線AB與反比例函數(%>0)的圖象交于A,5兩點,

已知點A的坐標為(6,1),的面積為8,則點5的坐標

為.

類型二不同象限內運用k的幾何意義

初始圖形衍生E織形

匕

避A?

ABC=1左1

P

X

A

SxAPP'=21左1

5AAOB~^~i，A

《

$△COD

Vf;

=\k\w

=

S口AMBN2\k\

4

F____________________

SAAOB—SAAOC+SABOC=

|ocIyA-yBI

SbAOB=S△AOD~^~5ABOD=

1

-ODIXA-XBI

2

跟蹤練習

如圖，在平面直角坐標系中，過原點0的直線交反比例函數y=:的

圖象于A,B兩點,軸于點C,△ABC的面積為6,則上的值

為.

5.如圖，點尸(加，1),點0(-2,n)都在反比例函數y=￡的圖

象上，過點尸分別向％軸、y軸作垂線，垂足分別為點N.連接

OP,0Q,尸。.若四邊形OMPN的面積記作邑，APO。的面積記作

S2,則()

A.Si:8=2：3B.Si：S2=l：1

C.Si：§2=4：3D.S1：S2=5:3

模型二兩個反比例函數中求面積

初始圖形衍生圖形

Tf2MTJ良9

CODxco\x

S矩形ABCD=IABO—'△ABC

S四邊形OOBE=Iki|——Iki|

SXDBE=Ikl|——Ikl|——S四邊形AEOb

跟蹤練習

6.如圖，點A在反比例函數y=（的圖象上，點5在反比例函數y=

結勺圖象上，點C,。在％軸上.若四邊形A5CD是正方形，且面積

X

為9,則上的值為（）

A.11B.15C.-11D.-15

7.如圖，雙曲線G：y=，和。2：y=—,A是G上一點，分別過點4

作軸，ACLy軸，垂足分別為3,C,AB,AC與。2分別交于

點D,E,若四邊形ADOE的面積為4,則ki-k2=.

<y

c

BO\

8.如圖，點A在反比例函數(kWO)圖象的一支上，點5在反

比例函數》=—/圖象的一支上，點C,。在入軸上.若四邊形A5CZ)

是面積為9的正方形，則實數k的值為.

yk

c\

如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點O是坐標原點，點。在y軸

上，點5在反比例函數y=:(％>0)的圖象上，點A在反比例函數y

=-(x>0)的圖象上.若平行四邊形。45。的面積是7,則左

X

2025年山東濟南中考數學一輪復習教材考點復習

反比例函數的圖象與性質教師版

知識清單梳理

知識點一反比例函數的概念及表達式

1.一般地，如果兩個變量X,y之間的對應關系可以表示成（左

為常數，左W0）的形式，那么稱y是％的反比例函數.其中反比例函

數的自變量」的取值范圍是不為0的全體實數.

【溫馨提示】反比例函數表達式y=（（左W0）也可以寫成孫=左或

》=履—1的形式.

知識點二反比例函數的圖象與性質

2.反比例函數尸/修。）的圖象是雙曲線,它有兩個分支且關

于原點對稱.

3.反比例函數的圖象與性質

左的符號左＞0左＜0

圖象

（草圖）

所在象第一、

第二、四象限

限三象限

圖象特

圖象無限接近坐標軸，但與坐標軸永不相交，即yWO

征

在每一象

限內，y

增減性隨％的增在每一象限內，y隨％的增大而增大

大而減

小

關于直線y=%,y=一%成軸對稱；關于原點成中

對稱性

心對稱

【溫馨提示】(1)反比例函數中，y隨X的大小而變化的情況，應

分工＞0與％＜0兩種情況討論，而不能籠統地說成“左＜0時，y隨工

的增大而增大”；

(2)在同一直角坐標系中，若正比例函數與反比例函數圖象有交點，

則兩個交點關于原點對稱.

知識點三反比例函數k的幾何意義

4.從反比例函數丁=乙(左為常數，左W0)的圖象上任意一點向兩坐標

JX

軸作垂線段，兩垂線段與坐標軸圍成的矩形面積為IkI.

如圖，S矩形OMPN=PMPN=\y\-\x\=\xy\=\k\,同理可得

11

SAOPM=S^OPN=~IxyI=-IA;I.

tvtv

OMxMOx

知識點四反比例函數表達式的確定

5.(1)待定系數法

①設所求反比例函數的表達式為y=X(20)；

JX

②找出圖象上的一點尸(a,b)代入y=￡中；

③確定反比例函數表達式

(2)利用反比例函數中比例系數上的幾何意義求解：若題中已知面

積時考慮用人的幾何意義，由面積得IkI,再結合圖象所在象限判

斷左的正負，從而得出左的值，代入表達式即可.

知識點五反比例函數與方程、不等式的關系

6.反比例函數與方程、不等式的關系

一次函數與反比例函數

示意圖

函|與VCLXIb，

方程組的解為一次函數y=a%+b（aWO）的圖

方程（了=嚏

（組）象與反比例函數（左W0）圖象的交點坐標值

函數與①不等式的解集為％<%A或0V%V%B;

不等②不等式乙<。%+。的解集為XA<X<0或X>XB.

X

式（組）辦，取分別為點A,5的橫坐標

高頻考點過關

考點一反比例函數的圖象與性質

1.（2023濟南）已知點4（-4,竺），B（-2,/），C（3,g）

都在反比例函數（左V0）的圖象上，則yi,”，”的大小關系為

（C）

A.y3V/2<竺B.yiVy3V/2

C-yi<yi<yiD.y2Vy3Vy

2.(2024章丘一模)點4(a,3),B(b,—2),C(c,1)在反

比例函數丁=字的圖象上，則。，兒c的大小關系是(D)

A.c<.a<.bB.c<.b<.a

C.a<b<cD.b<a<.c

3.

4。L

/

（2024槐蔭二模）如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在

木桿的中點。并將其吊起來，在中點。的左側距離中點025cm（￡i

=25cm）處掛一個重9.8N（Fi=9.8N）的物體，在中點O的右側

用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態.彈簧秤與中點O的距離

L（單位：cm）及彈簧秤的示數尸（單位：N）滿足以上

的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系.則尸關于上的

函數圖象大致是（B）

C04550Z,(cm)D3550"""￡(cm)

考點二反比例函數的圖象與一次函數圖象結合

4.（2021濟南）反比例函數g0）圖象的兩個分支分別位于

第一、三象限，則一次函數y=依一左的圖象大致是（D）

5.（2024商河一模）反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數

y=kx+b（W0）的圖象的圖象大致是（D）

O/~~/O

C.dD.

考點三反比例函數上的幾何意義

6.（2024高新二模）如圖，在平面直角坐標系中，點尸在反比例函

數y=￡（%>0）的圖象上，點A,5在入軸上，且尸4,P5,PA交y

軸于點C,AO=BO=BP.若^ABP的面積是4,則k的值是（B）

A.1B.2C.V3D.-

2

7.（2023天橋一模）如圖，直線A5交工軸于點C,交反比例函數y

=|（左>0）的圖象于A,5兩點，過點5作軸，垂足為。，

連接CD若&BCD=|,則左的值為5.

考點四確定反比例函數的表達式

8.（2024鋼城一模）如圖，已知在平面直角坐標系％2y中，點A在

%軸的負半軸上，點5在y軸的負半軸上，tanNA5O=3,以A5為邊

向上作正方形45CD.若圖象經過點。的反比例函數的表達式是y=|,

則圖象經過點D的反比例函數的表達式是y=一.

9.（2024槐蔭、萊蕪、南山聯考）如圖，在平面直角坐標系中，點4

（0,2）,B（1,0）,ZABC=9Q°,BC=2AB,若點。在函數y

（）的圖象上，則上的值為（）

=X-x>0C

A.6B.8C.10D.12

考點五一次函數、反比例函數與方程、不等式的關系

10.（2024萊蕪模擬）若將直線y=—4%+10向下平移機個單位長度

與雙曲線丁=1合好只有一個公共點，則機的值為（D）

A.2B.18

C.—2或18D.2或18

11.（2023歷城三校聯考）如圖，反比例函數（x>0）的圖象與

X

一次函數y=Q%+b的圖象交于點A（1,6）和點5（3,2）.當ox

+b<乙時，則％的取值范圍是（D）

X

A.l<x<3B.%<1或%>3

C.0<x<lD.O<%V1或%>3

達標演練檢測

1.（2024天橋一模）反比例函數（aWO）與一次函數丁=依一。

在同一坐標系中的圖象可能是（A）

2.（2024市中一模）若點4（-1,以），B（2,/），C（4,g）

在反比例函數（左>0）的圖象上，則y,冷的大小關系是

（A）

A.y2>y^>yiB.yi>yi>y\

C.y\>yi>y?,D.y\>y^>y2

3.（2024天橋二模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形A5CD是

平行四邊形，點4的坐標是（一2,。），點5的坐標是（一3,0）,

頂點4,。分別在反比例函數y=—：（x<0）和y=（（%>。）的圖象

上，則k的值為（C）

A.6B.4C.2D.-4

4.

如圖，在直角坐標系中，一次函數”=%—2與反比例函數的圖

象交于4,5兩點，下列結論正確的是（B）

A.當x>3時,yi<y2

B.當％<—1時，/1<》2

C.當0<%<3時，以>?

D.當一1<%<0時，

5.（2024天橋二模）已知反比例函數y=?的圖象經過一、三象限，

則實數k的取值范圍是3>1.

6.如圖，在平面直角坐標系％Oy中，函數（左為大于。的常數，

%>0）圖象上的兩點A（xi,yi）,B（必以），滿足％2=2即，△ABC

的邊AC〃％軸，邊5C〃y軸.若△OAB的面積為6,則△人與。的面

積是2.

7.如圖，直線以=近%+。與雙曲線在第一象限內交于A，B兩

點，已知A(1,m)，B(2,1).

(1)求左2的值及直線A3的表達式；

(2)根據函數圖象，直接寫出不等式的解集.

解：(1)二,點B(2,1)在雙曲線上，

.\%2=2,...雙曲線的表達式為

?.?點A(1,m)也在雙曲線竺=：上，，m=2,.,.A(1,2).

?.?直線過A(1,2),B(2,1)兩點，

%+b=2,解得叱，

、2七+5=1,

，直線45的表達式為yi=—%+3.

(2)根據函數圖象得不等式y2>yi的解集為0<%<1或x>2.

提分微專題1反比例函數中的面積問題

模型一一個反比例函數中的面積問題

類型一：同一象限內運用k的幾何意義

S^ABCD=IkI

5AABC=^IkI

(AO=AB)SAABO=IkI

5AAOE=S四邊形CDBES^A08=S四邊形ACD5

S&OAF=S&0CE=3IkI

1

&（S矩形QABC一S四邊形OFBE）

跟蹤練習

如圖，直線A3交工軸于點。，交反比例函數丁=亍（。>1）的圖象

于4,5兩點，過點5作班），y軸，垂足為O,若&BCD=5,則a

的值為（D）

A.8B.9C.10D.11

2.如圖，A,5是雙曲線（x>0）上的兩點，連接。4,OA過點

4作軸于點C,交05于點。.若。為AC的中點，△AOD的

面積為3,點5的坐標為（相，2）,則m的值為6.

3.

如圖，直線AB與反比例函數（x>0）的圖象交于A