四川成華區某校2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數列{an}的前n項和為Sn，且A．18 B．24 C．27 D．542．已知函數f(x)=x3+A．(?1,+∞)上單調遞增 B．C．R上有三個零點 D．(?∞,3．已知直線y=kx+1與曲線f(x)=alnx+b相切于點P(1,A．2lnx+3 B．lnx+3 C．24．現有4名大學生利用假期去3個山村參加扶貧工作，每名大學生只去1個村，每個村至少1名大學生，則不同的分配方案共有（）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種5．已知函數f(x)=ln(1+xA．(?∞,0)∪(1,C．(?∞,?2)∪(0,6．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2=5，a7=15，記數列{1SnA．12 B．34 C．1 7．已知0<xA．x1exC．x1lnx8．已知函數f(x)=ln(x?1)，g(x)=x+1，若f(xA．5?2ln2 B．3+2ln2 C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列語句敘述正確的有（）A．數列{anB．若數列{an}滿足：a1C．等差數列{an}中，Sn是其前n項和，a3=3aD．公差非零的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3=2S10．已知函數f(x)在R上可導，且f(x)的導函數為f'A．若f'(x)+f(x)>0對?x∈RB．若f'(x)?f(x)<0對?x∈RC．若f'(x)+f(x)>1對?x∈RD．若f'(x)?f(x)<1對?x∈R11．已知函數f(x)=x?3A．方程f[f(x)]=3B．方程2fC．?m∈(?∞,0)，方程D．?n∈(1,+∞)，方程三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某圓柱的側面展開圖的周長為12cm，若其體積最大時，圓柱的高為cm.13．已知等差數列{an}滿足a3=S3=3，Sn14．關于x的不等式aeax?2lnx≤2四、解答題：本題共5小題，共7分分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知函數f(x)=ln（1）若m=2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；（2）求函數f(x)在[1,16．已知拋物線C：x2=2py(p>0)過點A(2,1)，點B為直線y=?2上的動點，過點B向曲線C引兩條切線，切點分別為M，17．三棱錐A?BCD中，AC=AD=CD=22，AB=1，BC=5，（1）求平面ACD和平面ABD夾角的余弦值；（2）點P為棱CD（不含端點）上的動點，求直線AP與平面ABD所成角的正弦值的取值范圍.18．數列{an}、{bn}滿足：a2=1，an+1（1）求數列{an}（2）若?n∈N*，都有λ?1（3）求數列{an?bn19．函數f(x)=ae（1）當a=2ee（2）當x>0時，有f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；（3）求證：e+e12

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為等差數列{an}滿足a3+a72．【答案】D【解析】【解答】解：函數f(x)=x3+當x∈(?∞,?1)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；

當x∈(13,+∞)時，f'A、由上述分析可知函數f(x)在(?1,B、由上述分析可知函數f(x)在x=?1處取得極大值，故B錯誤；C、f(?3)=?27+9+3+3=?12<0，f(?1)=4>0，因為函數f(x)在(?∞,所以f(x)在(?∞,?1)有一個零點，又因為f(13)>0綜上所述，f(x)在R上只有一個零點，故C錯誤；D、由上述分析可知函數f(x)在(?∞,故答案為：D.【分析】求導，利用導數研究其單調性，最值和零點即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：曲線f(x)=alnx+b，則f'因為f(1)=a×ln1+b=k×1+1=3，所以k=2，b=3，故所以f(x)=2ln故答案為：A.【分析】求導，利用導數的幾何意義，斜率和切點建立方程求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：先將4名大學生，分為三組，有2人一組，則有C4再將3組分配到3個山村，有6×A故答案為：C.【分析】先將4名大學生，分為三組，再分配到三個山村，結合排列求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：函數f(x)=lnf'當f'(x)<0時，x∈(?∞,當f'(x)>0時，x∈(0,因為f(?x)=ln[1+(?x)由f(2x+1)<f(x?1)，可得f(|2x+1|)<f(|x?1|)，于是|2x+1|<|x?1|，即(2x+1)2化簡得x2+2x<0，解得?2<x<0，即故答案為：D.【分析】求導，利用導數判斷函數f(x)的單調性和奇偶性，從而由函數的單調性與奇偶性解不等式即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，因為a2=5，a則Sn=n故數列{1Sn}=1又因為n∈N?，可得因為對?n∈N?都有Tn<k恒成立，所以k≥3故答案為：B.【分析】設等差數列{an}的公差為d，求得d，利用等差數列的求和公式求得1Sn7．【答案】C【解析】【解答】解：令f(x)=xex，g(x)=xe顯然x<1，f'(x)>0，即f(x)而x<?1,g'(x)<0，x>?1，g'(x)>0，即所以f(x易知lnx1<且g(x由于lnx1,lnx2與?1如其中有0<x1=故答案為：C.【分析】構造函數f(x)=e8．【答案】A【解析】【解答】解：設f(x1)=g(x2)=t，則f(x1)=ln(x1?1)=t，解得x1=et+1，g(x2)=x2+1=t，解得x2=t-1，

則x1?2x2=et+1-2t+2=et-2t+3，令9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、數列{an}B、因為an+1=2an?3(n∈所以數列{an?3}是首項為1，公比為2的等比數列，所以aC、設等差數列{an}公差為d，因為a3=3a1，a2=3a1?1，所以a1+2d=3a1，D、設等差數列{an}公差為d，因為a所以a1+2d=2(5a1+10d)所以an=2n?6，Sn=n2?5n，則故答案為：BC.【分析】根據充分條件，必要條件定義即可判斷A；將構造等比數列，即可求得數列{an}的通項公式即可判斷B；將已知條件轉化為關于a1,d的兩個方程，組成方程組，解方程組可得a1,d，用前n項和公式可以求得S10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、若f(x)+f'(x)>0故g(x)在R上單調遞增，eB、f'(x)?f(x)<0，對?x∈R恒成立，設h(所以f(?1)C、若m(x)=exf(x)?ex，則mD、f'(x)?f(x)?1<0對?x∈R恒成立，設n(x)=f(x故答案為：BCD．【分析】由題意，分別構造函數g(x)=exf11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由f(x)=x?3x2?x?2(x≠2且x≠?1)，有f(x)xf(x)=0時，方程①有一個實數根，f(x)≠0時，Δ=[f(x)+1]2?4f(x)[?2f(x)+3]=[9f(x)?1][f(x)?1]，f(x)<19f(x)=19或f(x)=1時，方程①有一個實數根，19A、令f[f(x)]=f(x)?3f2(x)?f(x)?2=f(x)=0時，方程有一個實數根，f(x)=53時，方程有兩個實數根，所以B、2f2(x)?5f(x)+2=0即[2f(x)?1][f(x)?2]=0，解得f(x)=而f(x)=12時，方程沒有實數根，f(x)=2時，方程有兩個實數根，所以C、f[f(x)]=f(x)?3f2(x)?f(x)?2=m<0時，f(x)對應有兩個值，f(x)?3[f(x)?2][f(x)+1]<0，f(x)求得f(x)<?1或2<f(x)<3，每一個f(x)的值都對應兩個實數根，所以?m∈(?∞,0)，方程D、f[f(x)]=n>1，f(x)有兩個值，不妨讓f(x)對應的值一個在(19,1)，一個在(1,+∞)則f(x)=13或32故答案為：ACD.【分析】將f(x)=x?3x212．【答案】2【解析】【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則2πr+l=6，0<r<3圓柱的體積V=πrV'=12πr?6π2r2=6πr(2?πr)當r∈(0,2π)時，當r∈(2π,3π所以當r=2π時，體積取得最大值，此時故答案為：2.【分析】根據題意條件圓柱的體積，將體積轉化為底面半徑的函數，再利用導數求函數的最大值時，對應的底面半徑，以及圓柱的高.13．【答案】4【解析】【解答】解：設等差數列的首項為a1，公差為d，因為a3=S3=3，所以a1+2d=33由Sn≥klnn?2n，得n2當n≥2,n∈N設g(x)=x2lnx，x>1，g'(x)=x(2則g(n)=n2lnn，當n≥2,n∈N即k≤4ln2，所以k的最大值為4ln2故答案為：4ln【分析】根據題意求等差數列的前n項和Sn，再將不等式參變分離，k≤14．【答案】(?∞【解析】【解答】解：不等式aeax?2lnx≤2ln2設函數f(x)=xex,x>0，f'而axeax≤2xln2x，即f(ax)≤f(ln2x)，則ax≤ln2x設g(x)=ln2xx，g當x∈(0,e2)時，當x∈(e2,+∞)時，所以當x=e2時，g(x)取得最大值2e，即a≤2e故答案為：(?∞,【分析】不等式變形為axeax≤ln2xeln15．【答案】（1）解：當m=2時，f(x)=lnx+2x定義域為故f'(1)=1?2=?1，故切線方程為y?2=?(x?1)，即x+y?3=0.???（2）解：函數f(x)=lnx+mx，則當m≤1時，f'(x)≥0，f(x)的增區間為[1,當1<m<e時，若1<x<m時，f'(x)<0，若m<x<e時，所以f(x)的單調遞減區間為[1,m]，單調遞增區間為[m,當m≥e時，f'(x)≤0，所以f(x)的減區間為[1,e]，f(x)min=f(e)=1+me，

綜上所述：當m≤1時，f(x)的增區間為[1,e]，f(x)min=f(1)=m；

當1<m<e時，f(x)的單調遞減區間為[1,【解析】【分析】（1）將m=2代入，求導，求斜率根據點斜式求解切線方程即可；（2）求導，分m≤1，1<m<e和m≥e討論函數的單調性求最小值即可.16．【答案】解：易知x2=4y，設M(x拋物線y=x24，y'=1因為B(m,?2)在直線l上，所以整理有：x12所以x1，x2為x2因為KMN=y1?所以y?(m22故直線MN過定點(0,【解析】【分析】易知拋物線的方程，求導求得斜率，根據點斜式求得直線的方程，聯立直線與拋物線方程，消元由韋達定理可得x1+x17．【答案】（1）解：以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，

設正方體的棱長為2，則A(0,0,0)，B(0,1AC=(2,2,0)設面ACD的法向量為m=(x1令x1=1，則y1=?1,設面ABD的法向量為n=(x2令x2=1，則y1=0設平面ACD和平面ABD所成角為θ，cosθ=|（2）解：設DP=λDC(0<λ<1)則AP=(2,2λ,2?2λ)，設直線AP與平面ABD令t=1λ(t>1)【解析】【分析】（1）以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，利用空間向量法求兩平面的夾角即可；（2）設DP=λDC(0<λ<1)，直線AP與平面ABD18．【答案】（1）解：設an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y)即an+1因為a1=?1，所以a1又因為3Sn=作差得3(Sn所以{bn}是首項為1，公比為?（2）解：Sn=2因為?12≤(?1所以2λ+1≥1λ?12所以λ的取值范圍是[0,（3）解：因為an所以Tn所以?作差得，3=?1?=?所以Tn?【解析】【分析】（1）由遞推公式求解數列的通項公式即可；（2）根據等比數列的求和公式先求Sn，再根據不等式列出關于λ（3）由（1）的結論，利用錯位相減法求和即可.19．【答案】（1）解：當a=2ee時，f(x)=2eeex?lnx?1定義域為(0,+∞)，f'(x)=2