第05講正弦定理

T模塊導航AT素養目標A

模塊一思維導圖串知識1.通過閱讀課本知識的學習弄懂余弦定理的形式

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)與證明方法，提升公式變形技巧，靈活掌握余弦

模塊三核心考點舉一反三定理

模塊四小試牛刀過關測2.在熟練學習基礎知識的基礎上，會運用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題,并能夠靈活應

用

3模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理

知識點1正弦定理

(1)正弦定理的描述

①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

②符號語言：在AABC中，若角A、3及C所對邊的邊長分別為。，b及c,則有，二=上=

smAsinBsinC

（2）正弦定理的推廣及常用變形公式

在A4BC中，若角A、3及C所對邊的邊長分別為。，b及c,其外接圓半徑為R,貝!]

cabCi

-=----=--=2R

sinAsinBsinC

?asmB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csmA；

（§）sinA:sinB:sinC=<2:/?:c

abca+b+ca+ba+cb+c入門

④-----=-----=-----=-------------------=------------=------------二------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤④a=2RsinA,b=2RsinB9c=2RsinC（可實現邊到角的轉化）

cihc

⑥⑤sinA=——，sinB=——，sinC=——（可實現角到邊的轉化）

2R2R2R

知識點2解決幾何問題的常見公式

三角形面積的計算公式：

①S=^x底x高；

2

（2）S=-a&sinC=-acsinB=-Z?csinA；

222

③S=；（a+人+c）廠（其中，。，仇c是三角形ABC的各邊長，廠是三角形ABC的內切圓半徑）；

nhr

④S=（其中，”,仇。是三角形ABC的各邊長，R是三角形ABC的外接圓半徑）.

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：已知兩角及任意一邊解三角形

1.（2024高三?全國?專題練習）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,若c=l,

a=也，C=￡，貝！IsinA=（）

6

A.—B.1C.1D.也

223

【答案】A

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理計算即可.

73_iA

【詳解】根據正弦定理上「三，得而I=-T，解得sinA=.

sinAsinCsin—2

故選：A.

【變式1-1］（24-25高三上?山西呂梁?階段練習）在VA2C中，已知°=6，b=5,A=60。，則角B的

值為（）

A.45°或135°B.45,C.135!D.30°或150°

【答案】B

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理得到sinB值，再根據得到3<A,即可求解.

又0。<8<180。，且6<。，

:.B<A,則角B的值為45。.

故選：B.

【變式1-2］（23-24高一下?山東臨沂?期末）記VABC內角A,B,C所對的邊分別是b,c,已知°=代,

7T

b=2,A=j貝!）sin3=（）

4

L?—

3

【答案】C

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】根據給定條件，利用正弦定理列式計算即得.

77?兀

【詳解】在VA5c中，由正弦定理三=二，得「in/?在,吊/一40n.

GmAIJolilLJ———!——

V3一百一3

故選：C.

IT

【變式1-3］（24-25高三上?重慶?階段練習）在VA3C中內角A,民C所對的邊分別為a,6,c,且A=：,a=l,

c=g,貝！JcosC=

【答案】；或-：

乙2

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】根據已知條件和正弦定理可得角C,從而得到cosC的值.

cav_____

【詳解】在VABC中由正弦定理可知三=工，所以sinC一.兀，

sinCsinAsin—

解得sinC=在，因為C為VABC的內角,

2

所以C=60?；駽=120。，

所以cosC=,或cosC=--

22

故答案為：;或

乙2

考點二：三角形解的個數

2.（2024高三?全國?專題練習）在VABC中，已知6=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況

是（）

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個數不確定

【答案】C

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】根據正弦定理計算出sin8,結合正弦值的范圍判斷.

bc

【詳解】由正弦定理得

sinBsinC

則sinB=更爪=上三=白>1，

c20

故B不存在，即滿足條件的三角形不存在.

故選：C

【變式2-11（23-24高一下?福建南平?期中）在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,a已知

a=2,6=2石,4=5,則此三角形（）

O

A.無解B.一解C.兩解D.解的個數不確定

【答案】C

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

22^/3

【分析】由正弦定理可得F=嬴萬，進而可求可得結論.

sin—

6

,2_26r-

【詳解】由正弦定理二7=二，得一^=嬴了，解得Sing=義，

sinAsmBsin—2

6

因為人，所以A<3,

jr27r

又因為B?（0,?）,所以B=m或3=胃，

故此三角形有兩解.

故選：C.

【變式2-21（多選）（23-24高一下?江蘇揚州?期末）在VA5c中，角A氏c所對的邊為a6、c,根據下列

條件解三角形，其中僅有一解的有（）

A.a=4,6=5,c=6B.A=30°,B=45°,c=5

C.a=-\/3,b=2,A=45°D.a=3,b=2,C=60°

【答案】ABD

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】對于A,B,D,根據三角形全等，易得三角形的形狀唯一確定，故解唯一；對于C,可用正弦定理，

結合正弦函數的圖象，說明符合條件的三角形有兩解.

【詳解】對于A,三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正

確；

對于B,三角形中，已知兩個角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正

確；

對于C,由正弦定理，堆—=/—可得，sinB=^=—,因6＞a,則3＞A,

sin45°sinBV33

因sinB="＞正，結合正弦函數的圖象可知角8有兩解，故C錯誤；

32

對于D,三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.

故選：ABD.

【變式2-3］（23-24高一下?廣西?階段練習）在VABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c=2后,

B=7＞且VABC有兩解，則人的取值范圍為.

O

【答案】（占,2近）

【知識點】正弦定理判定三角形解的個數

【分析】根據三角形有兩解，結合圖形列出限制條件可得答案.

【詳解】依題意得csin3＜人＜c,因為C=2A/7,B=T＞所以，'＜6＜2A/7.

o

故答案為：（",2?）

考點三：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形

3.（24-25高二上?甘肅武威?開學考試）在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,C=30。,

c=5fa=S9貝!|cosA=()

【答案】B

【知識點】正弦定理解三角形

4

【分析】由正弦定理可求得sin4=不，進而由同角的平方關系可求COSA.

a85

【詳解】在VABC中，由正弦定理可得,即=10,

sinAsinCsinAsin30°

4I

解得sinA=《>5,且不等于0,

當A為銳角時，cosA=Vl-sin2A=|,

當A為鈍角時，cosA=-71-sin2A=—|.

3

綜上所述：cosA=±-.

故選:B.

【變式3?1】（23-24高一下?江蘇宿遷?期中）已知VABC中，a=?6b=2,B=^9則角A的值是（)

o

717171__45兀71__42兀

A.-B.-C.一或一D,一或一

636633

【答案】D

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】利用正弦定理計算可得.

【詳解】因為。=2b，6=2,B=9

6

,2A2r-

由正弦定理上7=入，即高久=丁，解得sinA=Xl,

sinAsmB—2

又a>b,則所以所以A=或A=g.

故選：D

TT

【變式3-2】（243高二上?江蘇常州?階段練習）V"C中,角A叱所對的邊分別為“也,,已知C="

b=6，c=2,貝悌B大小為

【答案】7

0

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】根據給定條件，利用正弦定理求解即得.

【詳解】在VABC中，利用正弦定理占二仁，得bsinC^Sin41,

sinBsinCsin8=---------==-

c22

由5<c,得3<C=2,所以B=S

46

故答案為：

6

【變式3?3】（23?24高一下?天津河北?期中）已知VABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,則a=2,

JI1

B=—9cosA=—,則/?=.

【答案】巫

4

【知識點】正弦定理解三角形

【分析】由cosA求sinA,再利用正弦定理可求解.

【詳解】因為cosA=1,所以sinA=Jl—cos2A=逑,

在VA3C中，由正弦定理可得」=上，又a=2,3=g,cosA=（，

sinAsmB33

所以布=解得b=±g=半.

-sin72V24

JJ

故答案為：亞.

4

考點四：判斷三角形的形狀

|\［例4.（23-24高一下?湖南張家界?期中）在VABC中，2。$山呷=c-6（a,6,c分別為角A,民C的對邊），

則VA3C的形狀可能是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【知識點】sin2x的降塞公式及應用、用和、差角的正弦公式化簡、求值、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】利用正弦定理化邊為角，再結合降塞公式及兩角和的正弦公式化簡即可得解.

A

【詳解】因為Zcsil?1=c—b,

.2Ac-b1-cosAc-b.b

所以sin2=：—,即nn---=^—,BnnPcosA=-,

72r2c22cc

由正弦定理可得cosA=里絲，

sinC

所以cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,得cosCsinA=0,

在VABC中sinAwO,所以cosC=0,

又0<C<兀，所以c=］,即三角形為直角三角形.

故選：B.

【變式4-1］（23-24高一下?重慶?期中）已知。也c分別是VABC三內角A,民C的對邊，且滿足

asinC+acosC=b+c,則VABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【知識點】正、余弦定理判定三角形形狀、輔助角公式

【分析】利用正弦定理及輔助角公式結合三角形中角的范圍計算即可.

【詳解】根據正弦定理知

sinAsinC+sinAcosC=sinJ3+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,

所以sinC（sinA-cosA-1）=0,

在三角形中ACe（O,兀）nsinC>0,

所以sinA-cosA-l=0nsin〔A—=,

則=即A為直角.

故選：B

【變式4-2］（23-24高一下?江蘇無錫?階段練習）在VABC中，若asinB=?cosA,S.a2+c2=b2+ac>

那么VABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C,等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【知識點】余弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應用、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出A,再由余弦定理求出B,從而得解.

【詳解】因為asinB=WbcosA,由正弦定理可得sinAsinB=幣sinBcosA,

又5￡（0,兀），所以sin5〉0,所以sinA=GeosA,則tanA=豆，

又Ae（O,兀），所以A=1,

^a2+c2=b2+ac,由余弦定理cosB='「+廠_廳=&

2aclac2

又3?0,兀），所以2=；,

所以c=1,則VABC為等邊三角形.

故選：D

【變式4-3］（24-25高一下?全國?隨堂練習）在VABC中，若lg（sinA+sinC）=21gsin3-lg（sinC-sinA）,

則此三角形是三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.

【答案】直角

【知識點】對數的運算性質的應用、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】利用對數的運算性質得到lg（sinA+sinC）=lg'^—,進而得到sin甘+sinC=‘五B’

sinC-sinAsinC-sinA

再對其進行變形，然后利用正弦定理即可.

【詳解】因為lg（sinA+sinC）=21gsinB—lg（sinC—sinA）,

所以lg(sinA+sinC)=1g----------------

'7sinC-sinA

因為>=lgx在定義域內單調遞增，

所以sinA+sinC=

sinC-sinA

即sin?C—sin2A=sin2B,

所以洛—。2=",

即。2=/+凡

所以VABC為直角三角形.

故答案為：直角.

考點五：利用正（余）弦定理求范圍或最值

“例

5.（2024高三上?河南?專題練習）在VABC中，AC=b,AB=c,NA4c=120。，若Z）為2C的中

點，且AD=3,則6+c的最大值為

【答案】12

【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、數量積的運算律

【分析】依題意可得蒞=：（南+蔗），再根據數量積的運算律得到k+c?-歷=36,最后由基本不等式計

算可得.

【詳解】由題意得通=g（荏+/），

貝(］啟=^AB2+AC2+2AB-AC)=1(&2+C2-^C)=9,故+°2一歷=36,

bc1

ijr36=0+c)2-3bc>(b+c)2-3x(——)2=-0+c)2,

24

即Z?+c<12,當且僅當Z?=c=6時取等號，故Z?+c的最大值為12?

【變式5-1］（23-24高一下?重慶?期末）在銳角VABC中，內角A,B,。的對邊分別為用b,c,已知

c-cosA=（2b-a）cosC.

⑴求NC的值;

⑵求f的取值范圍.

b

【答案】（i）c=m

⑵加

【知識點】三角恒等變換的化簡問題、正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

【分析】（1）根據正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換即可求解，

（2）根據正弦定理，結合三角函數的性質即可求解.

【詳解】（1）由（28—a）cosC=ccosA及正弦定理得：（2sinB—sinA）cosC=sinCcosA.

/.2sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA,可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sin5,

vCG（0,7i）,sinB^0,且VABC是銳角三角形，

ITT

cosC=—,可得：C=-.

23

⑵,.C=^,.,A+B=^-,B=^-A.

7T27r7t兀C兀

vO<A<-,v0<——B<-,.\—<B<—.

232'62

tanB>—

3

sinf--B/3i

——cosB+—sinB

asinA(322

bsin5sinBsinB22tanBPF

【變式5?2】（23?24高一下?吉林長春?階段練習）已知VABC的內角AB,C的對邊分別為〃，瓦。，且滿足

2a—c=2bcosC.

⑴求B的大小

（2）若a=2,AD是VABC的中線，求AD的最小值.

【答案】（1）Y

（2）T

【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范

圍

1兀

【分析】（1）由正弦定理和sin4=5111瓦05。+85厭111。得到8$3=/,結合5￡（0,兀）求出B=—?

（2）先求出3￡>=1,在△ABZ）中，由正弦定理得AO=—————，故當/BAD=工時，求出最小值.

2sinNBA。2

（詳解】（1）由正弦定理得2a-c=2ZTCOSC=>2sinA—sinC=2sinBcosC,

又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

故2sin5cosc+2cos5sinC—sinC=2sinBcosC,

即2cos_BsinC-sinC=O,

又?！辏?,兀），故sinCwO,

故2cos3=1,cosB=—,

2

又Be（O㈤,故吟;

（2）因為a=2,AD為VABC的中線，

所以即=1,

又8=（，

1

在△ABD中，由正弦定理得二——=——，BP.7isinABAD>

sinBsin/BADsin—

百

故AO=

2sinZBAZ）

故當/A4D=工時，AD=—且一取得最小值，最小值為4。=走.

22sinABAD2

【變式5-31（23-24高三上?浙江嘉興?期末）在VABC中，角A,3,C的對邊分別為a",c,其中sin8=2sinA,

c=2a+l.

（1）若。=3,求VABC的面積；

⑵若VA3C為鈍角三角形，求”的取值范圍.

【答案】⑴4君

（2）1<。<2+若

【知識點】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長

的最值或范圍

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到cosC=-!和sinC=t5,利用三角形面積公式求出答案；

99

（2）由三角形三邊關系求出利用cosC<0計算出2-6<a<2+右，從而得到答案.

【詳解】（1）由sin3=2sinA及正弦定理，貝！Jb=2a.

o2._[2i

當a=3時，b=6,c=7,由余弦定理，cosC=--------------=——，

2x3x69

從而sinC=拽，此時VABC的面積5=2而sinC=4囪.

92

（2）由于Z?=2a,c=2a+l,由三角形三邊關系可得a+>>c,即紜〉2a+l,

解得a>l.

由于C為VABC的最大內角，故cosC="+4"一（一+1）<0,

4。

即解得2-6<。<2+氐

由于。>1,貝！Jl<a<2+6.

考點六：綜合運算正（余）弦定理解三角形

|\[例6.（24-25高三上?上海?階段練習）在VABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c.已知

2ccosA=2b—a.

⑴求角C的大??；

⑵設Af為AB邊的中點，若c=n，a-b=l,求|w|的大小.

【答案】（1號

⑵2

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形

【分析】（D用正弦定理將邊化角，再用兩角和的正弦公式化簡即可求出cosC=g,進而可得角C的大小;

（2）用余弦定理結合題目所給條件可求出而及1+〃，再用向量即可求解.

【詳解】（Dv2ccosA=2Z7-a,

?.2sinCcosA=2sinB-sinA,

/.2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA,

2sinCbosA=2sinAcosC+2cosAsinC-sinA,

?.2sinAcosC=sinA,

,/sinAw0,/.cos。=g

?.■Ce(0,7r),.\C=^.

(2)在AABC中，由余弦定理得|ABF=kcF+|8C|2-2.|4CHBC|cosC,

6—Z?2+—ab,

又因為。-b=l,

所以4+6一2"=1,

聯立解得康=5,+。2=11,

因為M為A8邊的中點，所以2G彳=在+西，

所以4印閆的2+|西2+2同同cosC,

即4|麗|2=尸+。2+仍=11+5=16,

所以|加卜2.

7TQ

【變式6-1］(24-25高三上?天津?階段練習)在VABC中內角A,民C所對邊分別為a,b,c,若8="?=什,

則sinA+sinC=()

A.-B.72C.—D.在

222

【答案】C

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形

11Q

［分析］利用正弦定理得sinAsinC=1,再利用余弦定理有a2+c2=^-ac,再利用正弦定理得到sin%+sin2C

的值，最后代入計算即可.

【詳解】因為2="2=機，則由正弦定理得sinAsinC=gsin2B=g.

o

由余弦定理可得：=G-2+C2—CIC=—CLC,

4

22131313

即：a+c=-acf根據正弦定理得sin2A+sin2C='sinAsinC=」，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因為AC為三角形內角，貝!|sinA+sinC>0,貝！)sinA+sinC=.

2

故選：C.

【變式6-2](2024高二下?安徽?學業考試)VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,。，VA5C的面

積為38,且6=1,C=W，則邊c=()

43

A.7B.3C.77D.V13

【答案】C

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】由三角形面積公式求得。，再由余弦定理得到J

【詳解】由S='absinC=Lqxlxsin女=,解得。=3,

JKC22344

由余弦定理得="+從-2abcosC=32+/-2x3xlxcos2=7,所以c=

故選：C.

【變式6-3](24-25高三上?天津?期中)在VABC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,已知

bcosC=(2tz-c)cosB.

⑴求角8的大??；

(2)設a—2,c=3

(i)求6的值；

(ii)求sin(2A-8)的值.

【答案】(1)8=5

(2)(i)b=不；(ii)巫

14

【知識點】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形

【分析】(1)由正弦定理進行邊角互化，再運用正弦的和角公式求得cosB=；,根據角8的范圍可求得答

案；

(2)(i)運用余弦定理求得6；(ii)再運用正弦理求得sinA,利用同角三角函數間的關系，正弦的二倍

角公式，以及兩角差的正弦公式可求得答案.

【詳解】（1）因為床OSC=（2Q—C）COS3,

由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,

則sin（5+C）=2sinAcosB,

因為在VABC中，A+B+C=7U9

所以sin（B+C）=sin（兀一A）=sinA,

則有sinA=2sinAcosB,

因為A,3￡（0,兀），所以sinAwO,cos5=；,

故3=1；

JT

（2）（i）由（1）知：B=-,在VA8C中，因為a=2,c=3,

由余弦定理可得：b2=〃+<?-2accosB=4+9一2*2x3x；=7，

則6=近.

nh

(ii)在VABC中，由正弦定理可得：

sinAsinB

2_V7

所以S3需考，

即sinA百,

~2

因為所以A<B'則A為銳角'所以8sA=廬俞二平'

則sin2A=2sinAcosA=

7

cos2A=cos2A-sin2A=—,

7

4A/311636

所以sin(2A-5)=sin2AcosB-cos2AsinB=_______\z_________y-----------------------

727214

【變式6?4】(24-25高三上?甘肅白銀?期中)在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,。，且

〃sinB=bsin2A.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若6。求cosC.

【答案】(1)A=

⑵孚

【知識點】二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結合二倍角的正弦公式即可得解；

（2）根據余弦定理結合已知求出。，瓦。之間的關系，再利用余弦定理即可得解.

【詳解】（1）因為asinB=bsin2A,所以由正弦定理得sinAsinB=siiiBsin2A,

因為5?0,兀）,所以sinfiwO,

所以sinA=sin2A,則sinA=2sinAcosA,

因為sinAwO,所以cosA=—,

2

又因為。＜4＜兀，所以A=1；

(2)(24=；,；.由余弦定理可得/=62+。2—2/8$[,，62一/=歷一。2,

又62-/=L02,,-.bc-c2^-c2,:.b=-c,

222

二/=戶」/='2,即"五°,

242

79

-c2+—c2百

...cosC—fj?44/2

2ab2AA7

22

考點七：求三角形面積

7.（2024?廣東?模擬預測）在VABC中，內角A,民C的對邊分別為a,b,c.已知

cos2A=cosBcosC-sinBsinC.

⑴求角A的大?。?/p>

⑵已知a=6,c=2石.求VABC的面積.

【答案】（1）A=1

（2）673

【知識點】逆用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應用、余弦定

理解三角形

【分析】（D由兩角和的余弦公式化簡結合二倍角的余弦公式即可求出cosA的值，進而可求角A；

（2）由余弦定理可得人,再利用三角形面積公式即可求出.

【詳解】（1）因為cos2A=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=cos（萬一A）=-cosA,

即2cos2A-1=-cosA,解得cosA=；或cosA=-1.

因為在VABC中，OvAv兀,

所以A=*

(2)在VA5c中，由余弦定理/=62+C2_2》《:OSA,

得6?=/72+(2A/3)2-4X/3Z?X1,

整理得-24=0,

由6>0,解得6=46,

所以VABC的面積為SABC=—^csinA=-X4A/3X2V3X^-=6A/3.

?ABC222

【變式7-1](24-25高二上?江蘇南京?期中)記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

cosC+ccosA=2/7cosA.

(1)求A；

⑵若a=2,b+c=4,求VABC的面積.

【答案】(1)A=]

⑵石

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】(D利用正弦定理邊化角即可求解；

(2)利用余弦定理和面積公式求解.

【詳解】(1)因為acosC+ccosA=2/?cosA,邊化角可得，

sinAcosC+sinCcosA=2sin3cosA,

即sin(A+C)=2sinBcosA,

又因為sin(A+C)=sin(7i-B)=sinB,

KBe(0,7T),sinB>0,

所以cosA=；,因為Ae((U),所以A=*

222

(2)由余弦定理，a=b+c-2bccosA9

所以〃+/一歷=4,即S+c/一3兒=4,所以慶=4,

所以VABC的面積為：6csinA=G.

【變式7-2](24-25高三上?貴州?期中)在VABC中，內角式3,C的對邊分別是。,b,J已知a=3,b=5,

sinC+gcosC=0.

⑴求c；

(2)求sinA+sin3的值；

(3)求VA3C的面積.

【答案】⑴7；

⑵逑；

7

I"-------?

4

【知識點】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解

三角形

【分析】（I）由題設可得c=q,應用余弦定理求邊長；

（2）由正弦定理有sinA=走“，sinB力b,即可求結果；

1414

（3）應用三角形面積公式求面積即可.

27r

【詳解】⑴由sinC+gcosC=0,得tanC=S因為?！辏?,冗）,所以。=彳，

根據余弦定理得c=J"+"一2abcosC=^9+25-2x3x5cos=7.

6Z_Z?_C_7_14「廠

（2）根據正弦定理，得sinAsin3sinC73百，貝（lsinA=Nq,sinB=—b9

--1414

（3）NABC的面積SABC--absinC=—x5x3x^-=.

△ABC2224

【變式7?3】（2024?陜西寶雞?二模）已知VA5C的內角A,B,。所對的邊分別為。，b,。，且

y/3sinA+cosA=2.

（1）求角A；

（2）若〃=。為邊BC邊上一點，AD為NR4C的平分線，且AD=1,求VABC的面積.

【答案】⑴4=]

⑵與

2

【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形

【分析】（D利用三角恒等變換的知識求得A.

（2）利用三角形的面積公式、余弦定理列方程,，求得兒，進而求得三角形ABC的面積.

【詳解】（1）由V5sinA+cosA=2,即sin]AT

因為A<0,兀），所以A+覆.目，

所以A+g=g,得A=g.

623

jr

(2)由AD為254C的平分線，^ZBAD=ZCAD=-,

6

因為ABC=S&ABD+S&ACD，

匚匕15I7.711.711,1.71

所以一sin—=—ex1lxsin——F—Z7xlxsin—,

232626

即Cbc=b+c9①

由余弦定理得/=Z72+c2-2bccos；,

即k+。2一A=6,②

由①②，得bc=2,

所以SAABC=^csiny=^-.

考點八：根據三角形面積求參數

8.（24-25高三上?湖北?階段練習）在VABC中，內角A,B,C的對邊長分別為”,b,

2(a-c)sincos=Z?sinB-csinC.

（1）若6=2,求VABC面積的最大值;

JT_

（2）若A=§,在VABC邊AC的外側取一點。（點。在VABC外部），使得DC=1,DA=2,且四邊形ABCD

的面積為1■百+2,求ZADC的大小.

4

【答案】⑴百

吟

【知識點】求含sinx（型）函數的值域和最值、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定

理解三角形

17T

【分析】（D根據題意，利用正弦定理化簡得"+02-62=華，由余弦定理求得cosB=；,得到B=W，

23

再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進而求得面積的最大值；

（2）^ZADC=0（O<0<7t）,利用余弦定理和VA2C為正三角形，求得梟死。，列出方程，即可求解.

【詳解】（1）由2（a-c）sincos=6sin2—csinC

22

因為3+。=兀一A,可得（。一c）sinA=/?sin5—csinC,

又由正弦定理得（。一C）Q=02即〃2+°2_。2=ac

由余弦定理得cosB==+/-"=’，

2ac2

因為0<3<兀，可得8=；,所以/ABC=；,

在VABC中，由余弦定理得〃=a2+c2-2a-c-cosZABC,

即4=a?+/—々.c22ac—ac=ac，當且僅當。=c=2時取等號，

所以％1sc=ga.c.sin/ABCvgx4x#=G

所以VABC面積的最大值為百.

(2)Z.ADC=0(0<6<it),貝1]S-ACD=gDA?DCsind=sin。，

在AADC中，由余弦定理得AC?MDT+DC?-27M.DCcosOuS—dcosd,

TTTT

由(1)知，ZA2C=w且A=§,所以VA5c為正三角形，

所以5/=乎3=涉-限os。,

nJ^SABCD=sin6(+|A/3-A/3cos6?=2sin^-y\|V3=|A/3+2,

故sin，q]=l,因為0<。<兀，所以e-t=g，可得*軍.

I3J326

【變式8?1】（24?25高二上?北京平谷?期中）在VABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

bcosA+acosB=41ccosC，VABC的面積為4.

⑴求角。的大小；

（2）若a=2,求邊長c.

【答案】（1）C=7

（2）C=2A/5

【知識點】逆用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、

余弦定理解三角形

【分析】（D根據已知由正弦定理得至！IsinC=esinCeosC,根據C的范圍可得答案；

（2）利用S=4和已知得到6的值，然后結合余弦定理得到c的長度.

【詳解】（1）根據已知由正弦定理得sinBeosA+sinAcosB=&sinCcosC，

得到sinC=^2sinCcosC，

因為0<C<7t,所以