2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試（新高考II卷03）

全解全析

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合/=卜|=Jl-x?卜B=[yy=^則/口2=()

A.B.卜-"Ml1

C.{x|0<x<l}D.

【答案】B

【分析】求函數(shù)的定義域和值域求集合，再由集合的交運(yùn)算求集合.

【詳解】由1-工220,得-1W1,故/=卜|一1WXW1}.

由P=x2_g,得故

貝I]=WxW11.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i+z=0,貝丘的虛部為（）

11

A.-B.——C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】首先求出z進(jìn)而得出三，再根據(jù)虛部的概念即可得出答案.

【詳解】由(Z-l)i+Z=O,得Z(l+i)=i,得2=上=正0=匕1,所以故［的虛部為

1+i22222

故選：B

3.一組數(shù)據(jù)1812,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位數(shù)是()

A.10B.12C.4D.3

【答案】c

【分析】應(yīng)用百分位數(shù)定義求25%分位數(shù).

【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為L(zhǎng)3,4,6,7,9,10,11,12,18,共10個(gè)數(shù),

所以10義25%=2.5,則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為4.

故選：C

4.若非零向量獲滿足2同=3囚=卜-2可,則向量&在B上的投影向量為()

【答案】A

【分析】令2同=3問=歸-24=左，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得cos.%-*,進(jìn)而求投影向量.

［詳解］令2同=3間=口一2同=左,且歸-2可=a-^a-b+^b=k2,

所以勺-2產(chǎn)?cosG，―+±后2=甘，可得cos(a［)=一二,

43\/9'/24

所以向量&在B上的投影向量為|a|cos(a,——金~

''\b\22416

故選：A

5.己知函數(shù)“x)=asin，x(a>0),若存在實(shí)數(shù)t,使得對(duì)任意xwR,恒有〃力+/(一力=3,則"司的

最小正周期為()

3兀

C.—D.

3~2

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)/(x)+/?-x)=3、余弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出”的值，利

用三角函數(shù)的最小正周期公式求出結(jié)果.

【詳解】由/(尤)=asin2ax=~~—cos2ax

22

由存在實(shí)數(shù)t,使得對(duì)任意xeR,恒有/(x)+/(f-x)=3,

所以〃X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,

aQ27rTT

所以?=：，得0=3,故/'（x）的最小正周期為三=g.

222a3

故選：B

22

6.已知雙曲線4=1伍〉0,6>0）的左焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)〃,

ab

與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P,若（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），2\FM\=\MP\,則雙曲線C的離心率為（）

人屈口而「Mn而

?-----D.-----L?-----J-）?---

2222

【答案】D

【分析】用應(yīng)仇。表示相關(guān)線段長(zhǎng)，根據(jù)已知及點(diǎn)線距離公式、雙曲線定義得到6的關(guān)系，利用雙曲線的

離心率公式求出結(jié)果.

:【詳解】如圖，不妨令尸在第一象限，

因?yàn)椋╓，/,所以直線OM的方程為

a

\-bc\

又Fi,。），所以點(diǎn)尸到直線四的距離為號(hào)==b

?

因?yàn)?所以|MP|=2b,故|尸盟=36.

設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為連接尸尸，

由雙曲線的定義知|尸尸|=36-2a,易得cosZPFF'=cosZMFO=-,

3

在APFF'中，由余弦定理得-=（36）+（2c）―（3._2a）,解得6=2。.

c2x3bx2c

故雙曲線C的離心率e=f=F^=浮.

故選：D

7.已知連續(xù)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,若/(x+A=/(x)+〃#+2中-2,且/(1)=4,則函數(shù)＞=/(x)+x

的圖象的對(duì)稱軸為直線()

A.x—B.x—C.x—1D.x——1

22

【答案】D

【分析】令g(x)=/(x)+x得g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy-2,應(yīng)用特殊值及排除法確定正確選項(xiàng).

【詳解】由題設(shè)〃x+y)+(x+y)=〃x)+x+小)+歹+2中-2,

令g(x)=/(%)+無，貝l]g(x+y)=g(x)+gO)+2^-2,且g⑴=5,

若x=y=O,則g(0)=2g(0)-2ng(0)=2,顯然g(0)wg⑴，A排除；

^x=-y=-l,則g(0)=g(D+g(-1)-4ng(-1)=1,顯然g(0)wg(-l),B排除；

若x=y=l,則g(2)=2g(l)=10,顯然g(0)*g(2),C排除；

故選：D

8.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔

2024

a

子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列｛6｝用遞推的方式有如下定義：％=%=1，。“+2=見+1+。”.則2i-Q2024a2025=

i=l

()

A.0B.1C.2024D.2025

【答案】A

【分析】將已知等式向所求式轉(zhuǎn)化，在4+2=4+1+。〃的等號(hào)兩邊同時(shí)乘以〃〃+i，構(gòu)造包含平方的等式，利用

累加法求解.

aa=aa

【詳解】由“〃+2=。〃+1十%，得n+2n+ln+\+%%,即n+\~”〃+2%+1—，

aaaaaa

所以a；=a3a2一。2al，l=a4a3一a3a2，4=54一43，

。2024=。2025“2024—“2024“2023'

以木目力口彳等。2+〃3+,?,+%024=Q2025a2024一〃2025a2024-4，

2024

所以4-42024a2025=。2024—。2025。2024=0.

z=l

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若Q>6>0,c>0,則下列不等式正確的是

b2b+cb+c

A.a-b>\n-B.—<-----<----

aa2a+ca+c

C.ab>baD.efl>b

【答案】ABD

【分析】利用不等式及對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷A；作差法判斷B；特殊值法判斷C；構(gòu)造y=e'-x-1,利用導(dǎo)數(shù)得

到e<2x+l>x判斷D.

【詳解】A：因?yàn)樨恖Jq—b>0,0<-<l,所以ln2<0,故a-6>in?,正確.

aaa

b2b+c_b(2a+c)-a(2b+c)c(b-a).b2b+c

B：由--------=------------------<0,即an一<-----,

a2a+ca(2a+c)a(2a+c)a2a+c

2b+cb+c_(a+c)(2b+c)—(b+c)(2〃+c)c(b-a)?2b+cb+c

田=----------<0,得ZF=t-----<----

2a+ca+c(2a+c)(a+c)(2a+c)(a+c)------2a+ca+c

…、b2b+cb+c

所以一——<——，正確.

a2a+ca+c

C：令。=4,b=2,則錯(cuò)誤.

D：y=^-x-1,則y'=e"-l,故xvO時(shí)y'<0,x>0時(shí)歹'〉0,

所以y=e'—x—1在（-叫0）上遞減，在（o,+8）上遞增，故y次°—0-1=0,

即e"2x+l>x,而Q>b>0,所以e">a>6,正確.

故選：ABD

/、fx+\,x<a

10.己知函數(shù)/X=八，則下列說法正確的是（）

[exlnx,x>0

A.若a=0,則/（x）>0的解集為

B.若"-1,則函數(shù)/（尤）有2個(gè)零點(diǎn)

C.若/卜）的值域?yàn)镽,則。的取值范圍為卜2,0]

【答案】ACD

【分析】分區(qū)間求出不等式〃x）>0的解集，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)“X）在（0,+8）上的單調(diào)性，然

后作出函數(shù)/（力在（0,+8）上的大致圖象及直線y=x+l,數(shù)形結(jié)合判斷B、C；利用/及函數(shù)

的單調(diào)性判斷D.

【詳解】A：若Q=0,當(dāng)時(shí)，由x+l>0,得一1<XKO,

由exlnx>0,得％>1,故不等式解集為(-1,0］U(1,+。)，正確.

B：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=exlnx,則/<x)=e(hu+l),

當(dāng)0<%<2時(shí)，p(x)<0,當(dāng)時(shí)，fz(x)>0,

ee

故〃X)在，j上單調(diào)遞減，在［,+e］上單調(diào)遞增，

乂/'［j=T,且當(dāng)尤.CT時(shí)，/(x)f0,當(dāng)xf+8時(shí)，/(x)f+8,

函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示,

數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)x>0時(shí)，/(X)只有1個(gè)零點(diǎn),

若。<-1,則xWa時(shí)，/(x)沒有零點(diǎn),

所以。<-1,函數(shù)/(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤.

C：根據(jù)B知，函數(shù)/(無)在(0,+8)上的值域?yàn)椋?1,+8),

若f(x)的值域?yàn)镽,則/⑺在(-8,可上的值域(-8,。+1］應(yīng)包含(-叫-1),

貝得。2-2,又。40,故。的取值范圍為［-2,0］,正確.

,―心e［1e11

D：由題意知/1=］xlnz=jlnj=/不，

\1JII乙乙\乙J

由于:<:<:，/(x)在\，+8］上單調(diào)遞增，

所以/出"圖,貝嗚G正確?

故選：ACD

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-4耳。。中，點(diǎn)?是線段8㈤的中點(diǎn)，Q是底面/4GA上一動(dòng)點(diǎn)

(異于點(diǎn)G),則下列結(jié)論正確的是()

D\

A.直線/q與。□所成角的正切值為乎

B.直線GQ與平面0耳。所成角的余弦值的最大值為也

3

C.若BQ=?,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為［兀

D.若。4+0G=4,則。的軌跡是圓的一部分

【答案】AC

【分析】由題設(shè)知即與。2所成的角，進(jìn)而求其正切值判斷A；分析結(jié)論，問題化為求直線

與平面。用口所成角的正切值的最小值，根據(jù)已知確定直線G0與平面所成角的平面角，進(jìn)而求其正

切值最小值，即可得余弦最大值判斷B；根據(jù)已知得點(diǎn)。軌跡以耳為圓心，血為半徑的圓的;，判斷c；

利用橢圓的定義判斷D.

【詳解】A：由題得故/4/Q即與所成的角，

B：直線GQ與平面。耳“所成角的余弦值最大時(shí)，其所成的角最小，即正切值最小,

所以原問題轉(zhuǎn)化為求直線CAQ與平面C耳2所成角的正切值的最小值.

由題意知，直線G0與線段與2始終有交點(diǎn),

設(shè)該交點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影為O,如圖2,

連接OH,ACX,則ZOHQ即直線QQ與平面CBR所成的角.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，知人。耳。是邊長(zhǎng)為20的正三角形，且4。,G三點(diǎn)共線，

o為AC用9的中心且O為線段/G上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，

所以O(shè)G=；/G=子.

因?yàn)閠anNO"G=第，所以的最大時(shí)，即點(diǎn)打與點(diǎn)片（或，）重合時(shí)，直線GQ與平面。弓2所成角的

OH

正切值最小.

連接附,則。4=與，故3/°叫L=常=?，則（cos/o“GL=g，錯(cuò)誤-

c：連接⑸。，由平面4片GA，且40U平面4月5。1，所以

2

在RM84。中，BtQ=^BQ-BB；=41，所以點(diǎn)。軌跡以耳為圓心，0為半徑的圓的;，

故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為工x2兀x0=Yl兀，正確.

42

D：由于a+0￡=4,且4>4G=2石，所以點(diǎn)。軌跡以4。為焦點(diǎn)的橢球面的一部分，錯(cuò)誤.

故選：AC

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知點(diǎn)（1,4）在拋物線。：了="2上，則拋物線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離的最小值為.

【答案】）/0.0625

16

【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的定義及性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（1,4）在拋物線。:了=加上，所以。=4,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=3,

由拋物線的定義知，拋物線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，

因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為無=-1,所以拋物線上點(diǎn)（x,力到焦點(diǎn)距離等于x+J,

1616

因?yàn)閤20，所以％+之0，

1616

故拋物線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離的最小值為

16

故答案為：—

16

13.一個(gè)大型電子設(shè)備制造廠有A和8兩條生產(chǎn)線負(fù)責(zé)生產(chǎn)電子元件.已知生產(chǎn)線A的產(chǎn)品合格率為95%,

生產(chǎn)線8的產(chǎn)品合格率為90%,且該工廠生產(chǎn)的電子元件中60%來自生產(chǎn)線A,40%來自生產(chǎn)線瓦現(xiàn)從該

工廠生產(chǎn)的電子元件中隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，則該電子元件在檢測(cè)不合格的條件下來自生產(chǎn)線A的概率

是.

【答案】|

【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.

【詳解】隨機(jī)抽取一個(gè)電子元件，設(shè)。="抽取的電子元件不合格”，E="抽取的電子元件來自生產(chǎn)線A”,

尸="抽取的電子元件來自生產(chǎn)線夕'，則尸（￡）=0.6,P仍）=0.4,

P(D|E)=0.05,尸(0尸)=01.

由全概率公式得尸（D）=P（E）P（D|E）+尸仍）尸（。伊）=0.6x0.05+0.4x0.1=0.07

P(E)P(D|E)0.6x0.05_3

故P(E|0=

-P(D)-0.07"7,

3

故答案為：

14.若不等式lnx+e'+』2ax+lna恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

x

【答案】（0,e]

【分析】應(yīng)用特殊值x=l結(jié)合不等式恒成立得。的取值范圍為（0,e],再證明0<a?e時(shí)不等式

liu+e*+Lzax+lna恒成立，即可得答案.

X

【詳解】由題，當(dāng)x=l時(shí)e+lNa+lna恒成立，即a+lna—e—lV0恒成立，

函數(shù)”（x）=x+lnx-e-l在定義域上為增函數(shù)且4e）=0,故”的取值范圍為（0,e].

下面證明：當(dāng)0<aWe時(shí)不等式lnx+e*+L2ax+lna恒成立.

令/（a）=ax+lna-lnr-ex--（0<a<e）,只需證/（〃）4。恒成立，

因?yàn)?'所以/（。）在（0,e]上單調(diào)遞增，

a

故/（e）=ex+l-lnx-e%,

4^g（x）=ex+l-lwc-ex--（x>0）,則只需證g（x）40,

易知g'(x)=e------ex+—=——+(^e-e令g'(x)=O，得x=l,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'（x）>0,g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，g'（x）<0,g（x）單調(diào)遞減.

故g（x）Wg（l）=0,得證.所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,e].

故答案為：（0,日

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

--1jsinC=sin(J+2C).

在銳角三角形/3C中，。，4c分別為內(nèi)角4氏。所對(duì)的邊，且

（1）求角3；

（2）若a=2,求ZUBC周長(zhǎng)的取值范圍.

【解析】1）由題意得（a-c）sinC=csin（3_C）,（1分）

則由正弦定理得(siiL4—sinC)sinC=sinCsin(B—C),（2分）

由于sinCwO,所以siM-sinC=sin(3—C),

所以sin(B+C)—sinC=sin(fi-C),所以cos5sinC—sinC=-cos^sinC....................................................（4分）

由于sinCwO,所以2cosB=l,得cos5=；.

又5.0,"故5=三兀

(6分)

3

/c、Qbc,曰7asinB2sinBasinC_2sinC

（7分）

SIIL4sinnsinCSIIL4SIIL4sin4si*

2

貝！Jf\A.BC的周Q+Z)+C=2H-------(sin5+sinC)=

sirU

6+2sinlZ+^省(1+cos/)73

_0+siM+geos/_3+-----------------=3H---------

cV3+2sinCcsinA（9分）

2+--------------=2+=2H--------------------------tad'

sirUsirUsiiL42

Q<A<-

2

由△/5C為銳角三角形，得〈；,所以Ze(10分)

0<C=--A<-

32

7171A

則力,tan—G(11分)

12542

所以3+百<a+6+c<6+26,（12分）

故△N8C周長(zhǎng)的取值范圍是（3+后,6+2石）...............................................................................................(13分)

16.（15分）

某商場(chǎng)為了吸引顧客，舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中有大小相同的紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的球各5個(gè),

規(guī)定顧客每次消費(fèi)滿500元即可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出3個(gè)球，然后根據(jù)摸出

的球的顏色獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金（單位：元）：若摸出的3個(gè)球顏色完全相同，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金100元；若

摸出的3個(gè)球顏色均不相同，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元；若摸出的3個(gè)球中有2個(gè)球的顏色相同，則獲得

三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元.

（1）記隨機(jī)變量X為顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的獎(jiǎng)金金額，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望精確到0.01）;

（2）假設(shè)每位顧客最多只抽獎(jiǎng)一次，現(xiàn)從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取3人，求3人中恰有2人的獎(jiǎng)金金

額為20元的概率.

【解析】（1）由題意可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為100,50,20.

C32

產(chǎn)(X=100)=4xT=

。2057

Cc；c；c；25

p(X=50)=

57

P(X=20)=2C,C；J

C2019

故隨機(jī)變量X的分布列為

X1005020

22510

P

575719

.........................................................................................................................................（6分）

7751070S0

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=100x5+50x豆+20、石二3-^35.96.........................................（8分）

（2）由（1）知若從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取1人，則這個(gè)人的獎(jiǎng)金金額為20元的概率為:，獎(jiǎng)金

19

9

金額為50元或100元的概率為歷，...................................................（11分）

故若從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取3人，這3人中恰有2人的獎(jiǎng)金金額為20元的概率為

<10?：；92700

119JX19-6859...................................................................................................................................（15分）

17.(15分)

如圖1,直角梯形N8CO中，AD//BC,BCLCD,/。=3,CD=2,BC=4,E為/O上靠近A的三等

分點(diǎn)，將ADEC沿EC翻折至APEC,且平面PECJ■平面A8CE,3PF=2PB，如圖2.

⑴求證：CPLEF；

(2)求二面角A-EF-C的余弦值.

【解析】(1)在題圖1中，取5c的中點(diǎn)連接則的l/=CN=2,

因?yàn)镚W7/ED,CM=DE=DC,EDVDC,

所以四邊形皮＞CW為正方形，則ENLBC.

在題圖2中，連接5E,貝IU2CE是以3c為底邊的等腰三角形,

由題知CE=2應(yīng)，貝l]BE=20,所以BE。+EC2=BC?,所以BE_LEC,................................................（2分）

因?yàn)槠矫媸珽C_L平面/3CE,平面MCA平面/3CE=EC,3Eu平面/BCE,

所以BE,平面PEC,又CPu平面尸EC,所以BELCP.............................................................................（4分）

又CP1PE,aPEcBE=E,PE,BEu平面APE,所以CP1平面APE..........................................（6分）

由于EFu平面APE,所以CP_LEE(7分)

(2)如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,￡C所在直線分別為x,y軸，過點(diǎn)E與平面/8CE垂直的直線為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系,

P

A

則E（0,0,0）,C（0,272,0）,P（Q,0吟,8（2后,0,0）,Ag一學(xué),0,..........................................（8分）

￡C=（0,272,0）,￡4=1^,-^,ol

故麗=（2后，一衣一⑹,

J2亞'―?46V2叵

由于3麗=2萬，所以尸彳-,*,則斯=（9分）

33）

40V272

m?EF=0-----x+y+z=0n

設(shè)平面也C的法向量為麗=（XJ,2）,貝1|，一，即；3------33

m-EC=02。=0

令x=l,則z=-4,所以麗=（1,0,-4）（11分）

4近^^272

-------QH------nd------c=0

n-EF=0333

設(shè)平面FEA的法向量為n=（…則亢忘=。’即

近凡n

----a-------b=0

I22

令a=l,貝玲=l,c=-5,所以方=（1,1,一5）（13分）

,,一一m-n217病

故cos加,〃=KE

\m\-\n\717x727-51

易知二面角4-M-C為鈍二面角，所以二面角4-M-C的余弦值為-撞1......................................（15分）

51

18.（17分）

22

已知橢圓E:云+%=l（a>6>0）,直線尤=。與了=-6交于點(diǎn)A,過橢圓E上一點(diǎn)P（非頂點(diǎn)）作E的切

線與直線x=a和了=-6分別交于點(diǎn)民C.

⑴若尸（-2,1）,求處取得最小值時(shí)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓E的右頂點(diǎn)為直線與了軸交于點(diǎn)N,直線8N與直線>=-6交于點(diǎn)。，直線CN,DN,

,111

ZN的斜率分別為左，h，%,求證：晨成等差數(shù)列.

/\41

【解析】⑴由于尸（一2,1）在橢圓￡上，所以......................................（1分）

4121

i1=-+-y>2-—-—,得...........................................................（3分）

abab

2i

當(dāng)且僅當(dāng)一=7，即a=2逝,6=逝時(shí)，而取得最小值........................................（4分）

ab

故而取得最小值時(shí)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1........................................（5分）

82

（2）根據(jù)尸不是橢圓的頂點(diǎn)可知直線8c的斜率存在且不為0,

-b-m7

所以5（〃,左〃+加），C丁T（6分）

y=kx+m

22,得僅2Q左2b2+2/屆XQ(加2一〃)=0,(*)

由<■xy+2+2

V+F=1'

由于直線8。與橢圓E相切，所以A=0,

BP4a4k2^-4a2(b2+a2k2)(m2-b2)=O,得病=a*+廿,................(8分)

所以（*）式可化為病/+2/而x+a72=o,gp（mx+a2k）=0,得尤=-巴幺，故尸［----,一|....（9分）

\7m\mm）

Q

由題，得M（a,0）,所以心^=7-=-^~一:，

ak@ayak+m）

m

故直線PM的方程為夕=一-J——T（x一"），

ayak+m）

令x=0,得"故N0,^^

ak+m[ak+m

b2

ka+m-ak+m_(""+加)-b

所以=2左'（11分）

aa^ak+m)

所以直線5N的方程為歹=2左（工一。）+左〃+加,

人7,口-b-ka-mka-m-b

令y=-6,得%二---------+a=------------

2k2k

所以。個(gè)”『，-“.易知A(a,-b),

|丁c-b-mka-m-b./八、

由于貓+%-2%=。+--------------=0,所以/+%=2虧.............................(13分)

7t+b7t+b7t+b

設(shè)N(0j),故左1=,左2=，々3=，(14分)

~XC~XD~XA

故J_+____%f._-2xp__2%D_Q

+....(16分)

k1左3k2t+bt+bt+bt+b

111

故廠，廠，1成等差數(shù)列(17分)

隊(duì)左2左3

19.(17分)

已矢口函數(shù)/(%)=2、2-xlnx+(2a-1)x+1.

(1)若。=；，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

⑵若/(尤)有兩個(gè)零點(diǎn)七,無2(王<龍2).

Ci)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)求證：xt+x2<■

【解析】(1)當(dāng)。=；時(shí)/(工)=2工2-工111^+1且xe(0,+co),貝lj/<x)=4x-lnx-l.................(1分)

令〃z(x)=4x-lnx-1,貝[]/(X)=4_L=M-,

當(dāng)時(shí)，m,(x)<0,加(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe]；,+oo1時(shí)，m(x)>0,5(x)單調(diào)遞增.................................................(2分)

故加(x)2加(：j=ln4>0,即/(x)>0,則〃x)在(0,+的上單調(diào)遞增，.........................(3分)

故“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+紇)，無單調(diào)遞減區(qū)間...........................................(4分)

(2)(i)由題意知/'(x)=x(2x—lnx+L+2a-l],

令g(x)=2x-lnx+』+2a-l(x>0),則g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)項(xiàng),工2(占<々).........................(5分)

月(上2二二戶二尸1=(1)寧+1),令/⑴為，得》=1,

XXXX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

故g(x)1nln=g⑴=2。+2,...............................(6分)

要使g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則2a+2<0,BPa<-1................................................(7分)

因?yàn)間(e2")=2e2"+4;-l>0,g(-2a)=-2a-ln(-2a)+---l>-2(?-(-2a-l)+---1=—>0,且

e—2Q—2Q—2。