離散數學課后試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列哪個集合是無限集合？

A.{1,2,3,...}

B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3}

D.{1,2,3,4,5,...}

2.設集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，則A∩B=？

A.{1,2,3}

B.{3}

C.{1,2,4,5}

D.空集

3.設集合A={x|x∈N且x>5}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A∪B=？

A.{x|x∈N}

B.{x|x∈N且x>5}

C.{x|x∈N且x<5}

D.空集

4.設函數f(x)=x^2，則f(3)=？

A.6

B.9

C.12

D.15

5.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

6.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

7.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A×B=？

A.{(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)}

B.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

C.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4)}

D.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(2,4)}

8.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A-B=？

A.{1,2,3,4}

B.{4}

C.{1,2,3}

D.空集

9.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

10.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)=？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,3),(2,4),(3,2)}

D.{(2,1),(3,2),(4,3),(1,3),(2,4)}

二、填空題（每題3分，共30分）

1.設集合A={1,2,3}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A∪B=_________。

2.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A-B=_________。

3.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)=_________。

4.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)=_________。

5.設函數f(x)=x^2，則f(3)=_________。

6.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A×B=_________。

7.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A∩B=_________。

8.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)=_________。

9.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)=_________。

10.設函數f(x)=x^2，則f(3)=_________。

三、判斷題（每題2分，共20分）

1.設集合A={1,2,3}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A∪B={1,2,3,4,5}。（）

2.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A-B={4}。（）

3.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

4.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

5.設函數f(x)=x^2，則f(3)=9。（）

6.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A×B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}。（）

7.設集合A={1,2,3,4}，集合B={x|x∈N且x<5}，則A∩B={1,2,3,4}。（）

8.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的逆關系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

9.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，則R的等價關系R^(-1)={(2,1),(3,2),(4,3)}。（）

10.設函數f(x)=x^2，則f(3)=9。（）

四、簡答題（每題5分，共25分）

1.簡述集合論的基本概念，包括集合、元素、子集、真子集、集合的運算（并集、交集、差集）等。

2.解釋什么是關系，以及關系的性質（自反性、對稱性、傳遞性）。

3.描述函數的定義和性質，包括函數的定義域、值域、像、原像等。

4.解釋什么是圖，以及圖的表示方法（鄰接矩陣、鄰接表）。

5.簡述圖的基本概念，如頂點、邊、路徑、環、連通性等。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：對于任意兩個集合A和B，如果A∩B=?，則A和B互不相交。

2.證明：對于任意集合A，A與其補集A'的并集等于全集U。

六、綜合應用題（每題15分，共30分）

1.設集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x∈N且x<6}，求A∪B、A-B、A∩B、A×B。

2.設關系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆關系R^(-1)和等價關系R^(-1)。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.答案：A

解析思路：無限集合包含無窮多個元素，選項A表示自然數集合，是無限集合。

2.答案：B

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同時屬于A和B的元素，只有元素3同時屬于兩個集合。

3.答案：A

解析思路：A∪B表示集合A和集合B的并集，即屬于A或B的元素，包含所有自然數。

4.答案：B

解析思路：直接計算f(3)=3^2=9。

5.答案：B

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素，得到逆關系{(2,1),(3,2),(4,3)}。

6.答案：D

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素，得到逆關系{(2,1),(3,2),(4,3)}，同時包含原關系中的元素。

7.答案：D

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡爾積，包含所有可能的有序對。

8.答案：B

解析思路：A-B表示集合A中不屬于B的元素，即除了4以外的所有自然數。

9.答案：B

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素，得到逆關系{(2,1),(3,2),(4,3)}。

10.答案：D

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素，得到逆關系{(2,1),(3,2),(4,3)}，同時包含原關系中的元素。

二、填空題答案及解析思路：

1.答案：{1,2,3,4,5}

解析思路：A∪B表示集合A和集合B的并集，包含所有屬于A或B的元素。

2.答案：{1,2,3}

解析思路：A-B表示集合A中不屬于B的元素，即除了4以外的所有自然數。

3.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

4.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

5.答案：9

解析思路：直接計算f(3)=3^2=9。

6.答案：{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,4)}

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡爾積，包含所有可能的有序對。

7.答案：{1,2,3,4}

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同時屬于A和B的元素。

8.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

9.答案：{(2,1),(3,2),(4,3)}

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

10.答案：9

解析思路：直接計算f(3)=3^2=9。

三、判斷題答案及解析思路：

1.錯誤

解析思路：A∪B包含元素1，但不在集合B中，所以A和B不一定互不相交。

2.錯誤

解析思路：A-B只包含4，不包含1，2，3，所以A-B不等于A。

3.正確

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

4.正確

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

5.正確

解析思路：直接計算f(3)=3^2=9。

6.正確

解析思路：A×B表示集合A和集合B的笛卡爾積，包含所有可能的有序對。

7.正確

解析思路：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同時屬于A和B的元素。

8.正確

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

9.正確

解析思路：R^(-1)表示關系R的逆關系，交換關系中的元素。

10.正確

解析思路：直接計算f(3)=3^2=9。

四、簡答題答案及解析思路：

1.答案：集合論的基本概念包括集合、元素、子集、真子集、集合的運算（并集、交集、差集）等。集合是由元素組成的整體，元素是集合的組成部分，子集是集合的一部分，真子集是子集且不等于原集合，集合的運算包括并集、交集、差集等。

2.答案：關系是集合的元素之間的一種二元關系，具有自反性、對稱性和傳遞性。自反性表示對于集合A中的任意元素x，xRx成立；對稱性表示如果xRy，則yRx成立；傳遞性表示如果xRy且yRz，則xRz成立。

3.答案：函數是集合之間的映射關系，具有定義域、值域、像、原像等性質。定義域是函數輸入元素的集合，值域是函數輸出元素的集合，像是指定義域中的元素通過函數映射后得到的值，原像是指函數輸出值對應的定義域中的元素。

4.答案：圖是由頂點和邊組成的圖形，表示元素之間的聯系。圖的表示方法有鄰接矩陣和鄰接表。鄰接矩陣是一個二維數組，表示圖中任意兩個頂點之間的連接關系；鄰接表是一個表結構，每個表項包含一個頂點和與該頂點相連的所有頂點。

5.答案：圖的基本概念包括頂點、邊、路徑、環、連通性等。頂點是圖中的節點，邊是連接頂點的線段，路徑是連接兩個頂點的邊的序列，環是起點和終點相同的路徑，連通性表示圖中的任意兩個頂點之間都存在路徑。

五、證明題答案及解析思路：

1.答案：證明如下：假設A和B互不相交，即A∩B=?。如果A∩B≠?，則存在元素x同時屬于A和B，這與假設矛盾。因此，A和B互不相交。

2.答案：證明如下：設全集U包含所有可能的元素，A與A'的并集包含A中的所有元素和A'中的所有元素。由于A'是A的補集，A'中的元素不屬于A，所以A與A'的并集等于全集U。

六、綜合應用題答案及解析思路：

1.答案：A∪B={1,2,3,4,5}，A-B={1,2,3}，A∩B={1,2,3,4}