第09講雙曲線及其性質【人教A版2019】·模塊一雙曲線的定義和標準方程·模塊二雙曲線的幾何性質·模塊三課后作業模塊一模塊一雙曲線的定義和標準方程1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：雙曲線在坐標系中的位置標準方程焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系【考點1曲線方程與雙曲線】【例1.1】（2023秋·高二單元測試）方程x2-yA．當θ=B．當θ∈π2C．當θ=D．當θ∈0,π【例1.2】（2023春·全國·高二開學考試）已知曲線C的方程為x22-k-y22k-5=1A．-1<k<5 B．k>52 C．【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習）對于常數a，b，“ab<0”是“方程ax2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲線C的方程為x2k2A．當k=8時，曲線C為橢圓，其焦距為B．當k=2時，曲線C為雙曲線，其離心率為C．存在實數k使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線D．當k=3時，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓x【考點2利用雙曲線的定義解題】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）設F1，F2為雙曲線C：x23-y2=1的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，A．3-2 B．3+2 C．【例2.2】（2023秋·廣東廣州·高三校考開學考試）已知雙曲線Γ:x24-y22=1的左右焦點分別為F1,F2A．5+4 B．25+4 C．2【變式2.1】（2023·高二課時練習）設F1，F2是雙曲線x24-y26=1A．6 B．12 C．610 D．【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線x29-y216=1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x2+y2=9A．-12 B．-1 C．-32 D【考點3雙曲線的標準方程的求解】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習）與橢圓C:y216+A．x2-yC．y22-【例3.2】（2023秋·廣東揭陽·高三校考開學考試）已知雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a>0,A．y24-C．y23-【變式3.1】（2023春·河南洛陽·高二校考階段練習）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,3，F20,-3，P是雙曲線上一點且A．x24-C．y24-【變式3.2】（2023·高二課時練習）如圖，F1，F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，且FA．5x27C．x2-y模塊二模塊二雙曲線的幾何性質1．雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的一些幾何性質：圖形標準方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【考點4利用雙曲線的幾何性質求標準方程】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x2a2-y2bA．x24-C．x216-【例4.2】（2023·四川綿陽·模擬預測）與橢圓x215+y2A．x25-C．x24-【變式4.1】（2023春·四川宜賓·高二校考開學考試）已知雙曲線C與雙曲線y23-x22=1A．y24-C．y28-【變式4.2】（2023秋·云南·高三校聯考階段練習）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為3，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，BA．x28-C．x24-【考點5雙曲線的漸近線方程】【例5.1】（2023春·江西吉安·高二校聯考期末）雙曲線x2-yA．y=±3x B．y=±13x【例5.2】（2023秋·云南大理·高二統考期末）若直線y=2x+1與雙曲線C：x2-A．2 B．12 C．4 D．【變式5.1】（2023·山東菏澤·山東省校考三模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(A．23 B．34 C．26 D．39【變式5.2】（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）如圖所示，點F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,

A．±3 B．±23 C．±13 D【考點6求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【例6.1】（2023秋·四川巴中·高三統考開學考試）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,A．12 B．233 C．2【例6.2】（2023秋·湖北武漢·高三校考階段練習）已知點F是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0,b>0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過FA．(1,+∞) BC．(2,1+2) D【變式6.1】（2023春·湖南長沙·高三校考階段練習）已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，PFA．3 B．3 C．2 D．2【變式6.2】（2023秋·河南許昌·高二統考期末）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1,

A．173 B．375 C．102【考點7雙曲線中的最值問題】【例7.1】（2023春·廣東韶關·高二統考期末）已知點F1，F2是雙曲線C:x2-y23=1的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點F2A．2 B．7 C．3 D．4【例7.2】（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）雙曲線x2m-y2n=1(m>0,A．32 B．2 C．3 D．【變式7.1】（2023·全國·高三專題練習）已知F1，F2為雙曲線C:x2a2-y216=1(a>0)的左?右焦點，點A．237-6 B．10-35 C．【變式7.2】（2023·全國·高二專題練習）已知F1,F2分別為雙曲線x29-y2A．19 B．23 C．25 D．85模塊三模塊三課后作業1．（2023·全國·高二專題練習）當ab<0時，方程ax2A．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線2．（2023秋·高二課時練習）若點M在雙曲線x216-y24=1A．2 B．4 C．8 D．123．（2023秋·高二課時練習）已知點M-2,0,N2,0，動點P滿足PMA．x22-C．x24-4．（2023·江蘇·高二假期作業）已知雙曲線x29-A．兩個雙曲線有公共頂點B．兩個雙曲線有公共焦點C．兩個雙曲線有公共漸近線D．兩個雙曲線的離心率相等5．（2023·全國·高二專題練習）已知A(7,3)，雙曲線C：x24-y25=1的左焦點為F，A．-1 B．2 C．109 D．6．（2023春·陜西安康·高三校考階段練習）已知雙曲線C：x24-y2=1的左焦點為F1，右焦點為F2，點P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點A．34 B．1 C．54 D7．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為A．2,2 BC．(1,3] D8．（2023·四川·校聯考一模）雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為52，直線x-A．±2 B．－1 C．1 D．3

9．（2023·全國·高二專題練習）已知F1，F2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點，C的離心率為5A．-3a,3C．-75a10．（2023·四川瀘州·統考三模）設O為坐標原點，F1，F2是雙曲線H：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點．過F1作圓O：x2+y2=A．x22-C．x2-y11．（2023秋·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是-5,0,5,0,(2)焦點在x軸上，經過點P4,-2和點Q12．（2023·全國·高二專題練習）已知x21-k(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在x軸上的雙曲線；(3)表示焦點在y軸上的雙曲線．13．（2023秋·高二課時練習）已知雙曲線E:x2(1)若m=4，求雙曲線E(2)若雙曲線E的離心率為e∈6214