2017-2018學年北京市朝陽區普通中學九年級（上）月考數學試

卷（10月份）

一、選擇題

1.（3分）如圖，已知圓心角N8OC=78°,則圓周角/BAC的度數是（）

C.39°D.12°

2.（3分）如圖，。。是0。直徑，弦A8_LC。于凡連接8C,DB,則下列結論錯誤的是

（）

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.ZDBC=90°

3.（3分）如圖，AA是0O的弦，AC與OO相切于點3,連接04、OB.若N4AC=70°,

則NA等于（）

4.（3分）如圖，48、4c與。。相切于3、C,NA=50°,點。是圓上異于8、C的一動

點，則NBPC的度數是（）

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°

5.（3分）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。磮D中弧CQ,點。是弧CO的圓心），其

中。。=6（）0米，E為弧CD上一點,且OE_LC。，垂足為F,0F=30汰幾米，則這段彎

路的長度為（）

B.IOOTI米C.4(X)ir米D.300Tl米

6.（3分）如圖，圓。與正方形ABC。的兩邊A3、4Q相切，且OE與圓0相切于E點.若

則。E的長度為何？（)

C.V30D喘

7.（3分）如圖，半徑為5的OA中，弦AC,EQ所對的圓心角分別是NBAC,ZEAD.已

,則弦8C的弦心距等于（）

B.華

C.4D.3

8.（3分）如圖，四邊形A6CD是菱形,ZA=60°,AB=2,扇形6E/的半徑為2,圓心

角為60。，則圖中陰影部分的面積是()

AR

A.等一的B.爸-當C.『日D.『加

9.（3分）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓分別交4AC、AB于。、E兩點,連接BD、

DE.若平分N4BC,則下列結論不一定成立的是（）

A

A.BDLACB.AC-=2AB^AE

C.△人OE是等腰三角形D.BC=2AD

10.（3分）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式分別剪成一個正方形，邊

長都為1，則扇形和圓形紙板的面積比是（）

A.5：4B.5：2C.泥：2D.V5：V2

二、填空題

II.（3分）如圖，在半徑為13的。。中，0C垂直弦AB于點力，交。。于點C,AB=24,

則CD的長是_______.

12.（3分）已知。。的半徑為1,點P與圓心。的距離為d,且方程』-2x+d=0無實數根,

則點P在。O.

13.（3分）已知扇形的半徑為6“〃，圓心角為150°,則此扇形的弧長是cm,扇形

的面積是cm2（結果保留7T）.

14.（3分）如圖，A8是。。的直徑，。是圓心，8c與0。相切于8點，C。交。。于點。,

且BC'=8,CD=4,那么。O的半徑是.

A

15.（3分）如圖，0C是0。的半徑，A8是弦，且。C_LA&點尸在上，N4PC=26°,

則NBOC=

16.（3分）如圖，兩圓圓心相同，大圓的弦4B與小圓相切，48=8,則圖中陰影部分的面

積是.（結果保留IT）

17.（3分）正六邊形ABCQEb的邊長為2cm，點。為這個正六邊形內部的一個動點，則點

P到這個正六邊形各邊的距離之和為C//E

18.（3分）如圖，矩形ABCD中，48=4,8c=3,邊C。在直線/上，將矩形A8C。沿直

線/作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點4位置時，則點A經過的路線長為.

19.（3分）如圖，已知CO的直徑AB=6,E、/為AB的三等分點，M、N為右上兩點,

ZNFB=6（!a,貝q￡M+尸N=.

20.（3分）如圖，點C在以A8為直徑的半圓上，AB=8,NC8A=30°,點。在線段A8

上運動，點E與點。美十AC對稱，DF工DE于點D，并交EC的延長線十點F.卜列結

論：①CE=CE②線段石產的最小值為2的；③蘭4。=2時，EF與半圓相切；④若

點尸恰好落在黃上，則4。=2加；⑤當點。從點A運動到點8時，線段EF掃過的面

積是1673-其中正確結論的序號是____.

ADO

三、解答題

21.如圖，圓內接四邊形ABDC,A8是。。的直徑，OD_L8c于￡

（1）請你寫出四個不同類型的正確結論:

(2)若BE=4,AC=6,求

D

22.如圖，在△A8C中，從。是8c邊上的中線，以A3為直徑的交8C于點。，過。

作MNJ_AC于點M,交43的延長線于點N,過點8作3G_LMN于G.

(1)求證：/XBGDsXDMA；

(2)求證：直線MN是。。的切線.

23.如圖，口718。。中，AB=2,以點A為圓心，A8為半徑的圓交邊8C于點￡,連接。E,

AC,AE.

(1)求證：絲△QCA.

(2)若力E平分NAQC且與。人相切于點￡求圖中陰影部分(扇形)的面積.

24.如圖1,△A4C中，C4=C4,點。在高C〃上，OQ_LC4于點。，OE上CB于點E,

以。為圓心，0。為半徑作OO.

(1)求證：0)0與CB相切于點E；

(2)如圖2,若00過點兒且AC=5,AB=6,連接七從求的面積和tan/BHE

的值.

25.如圖，已知等邊△ABC,AB=\2,以4B為直徑的半圓與8c邊交于點。，過點。作

DF±AC,垂足為F,過點小作垂足為G,連結GD.

(1)求證：?！笔?。。的切線；

(2)求代;的長；

(3)求tanN產GD的值.

2017?2018學年北京市朝陽區普通中學九年級（上）月考數學試

卷（10月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.（3分）如圖，已知圓心角NBOC=78°,則圓周角NBAC的度數是（）

A.156°B.78°C.39°D,12°

【分析】觀察圖形可知，已知的圓心角和圓周角所對的弧是一條弧，根據同弧所對的圓

心角等于圓周角的2倍，由圓心角N8OC的度數即可求出圓周角NR4C的度數.

【解答】解：:圓心角N8。。和圓周角NBAC所對的弧為菽，

???N/MC=2N3OC=』X78°=39°.

22

故選：C.

【點評】此題要求學生掌握圓周角定理，考查學生分析問題、解決問題的能力，是一道

基礎題.

2.（3分）如圖，OC是00直徑，弦A8J_C力于R連接8C,DB,則下列結論錯誤的是

（）

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.N/)BC=90°

【分析】根據垂徑定理可判斷A、&根據圓周角定理可判斷。，繼而可得出答案.

【解答】解：是。。直徑，弦48_LCQ于"，

；?點。是優弧4/3的中點，點C是劣弧A3的中點，

A、AE=BD，正確，故本選項錯誤；

R、AF=BF,正確，故本選項錯誤；

C、OF=CF,不能得出，錯誤，故本選項符合題意；

D、ZDBC=90°,正確，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了垂徑定理及圓周角定理，解答本題的關健是熟練掌握垂徑定理、圓

周角定理的內容，難度一般.

3.（3分）如圖，是00的弦，與OO相切于點以連接04、OR.若N/18C=70°,

則NA等于（）

【分析】由BC與。0相切于點B,根據切線的性質，即可求得NO8C=9（）°,又由/ABC

=70°,即可求得N0BA的度數，然后由04=0B,利用等邊對等角的知識，即可求得

NA的度數.

【解答】解：???8C與0。相切于點B,

C.OBYBC,

工NO4c=90°,

VZ/IBC=70°,

??.NOBA=NO8C-N4BC=90°-70°=20°,

*：OA=OB,

???NA=NO84=20°.

故選：B.

【點評】此題考查了切線的性質與等腰三角形的性質.此題比較簡單，注意數形結合思

想的應用，注意圓的快線垂直于經過切點的半徑定理的應用.

4.（3分）如圖，AB.AC與0。相切于8、C,乙4=50°,點P是圓上異于8、C的一動

點，則/BPC的度數是（)

b

R

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和5（）。

【分析】連接OC，OB，當點P在優弧AC上時，由圓周角定理可求得NP=65°,當點

P在劣弧8c上時，由圓內接四邊形的對角互補可求得N8PC=115°.故本題有兩種情

況兩個答案.

【解答】解：連接OC，OB,則/ACO=NA8O=90°,N8OC=360°-90°-90°-

50°=130°,

應分為兩種情況：

①當點。在優弧〃。上時，ZP=^ZBOC=65°；

2

②當點P在劣弧4c上時，ZBPC=180°-65°=115°；

【點評】本題利用了四邊形的內角和為360度，圓周侑定理，I員I內接四邊形的性質求解.

5.（3分）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（即圖中弧C。，點。是弧。。的圓心），其

中CZ）=600米，上為弧CO上一點，H.OE1CD,垂足為F,。尸=30帖米，則這段彎

路的長度為（）

【分析】設這段彎路的半徑為R米，OF=30帖米，由垂徑定理得CF=」CD=2X600

22

=300.由勾股定理可得OC2：。尸+O尸，解得R的值，進而得出這段孤所對圓心保，求

出瓠長即可.

【解答】解：設這段彎路的半徑為R米

OF=30岫米，

*：OE±CD

Z.CF=AcD=Ax600=300

22

根據勾股定理，得0不=。尸+。尸

即/?2=3002+(3O(h/3)2

解之，得A=600,

：.sinZCOF=FC=1

COI

???NC"=30°，

???這段彎路的長度為：60KX60Q=2O（hT（機）.

180

故詵:A.

【點評】此題主要考查了垂徑定理的應用，根據已知得出圓的半徑以及圓心角是解題關

鍵.

6.（3分）如圖，圓。與正方形A8CD的兩邊A3、4。相切，且。E與圓。相切于E點.若

圓。的半徑為5,且A8=U,則。E的長度為何？（)

6C.V30

【分析】求出正方形4VOM,求出AM長和A。長，根據。E=OM求出即可.

連接。M、ON,

???四邊形4BCZ）是正方形，

：.AD=AB=\\,ZA=90°,

:圓。與正方形的兩邊A8、AQ相切,

AZ（）MA=ZONA=90<,=/A,

?；OM=ON,

???西邊形4VoM是正方形，

：.AM=0M=5,

?「AO和OE與圓0相則，圓。的半徑為5,

，AM=5,DM=DE,

：.DE=\\-5=6,

故選:B.

【點評】本題考查了正方形的性質和判定，切線的性質，切線長定理等知識點的應用，

關鍵是求出AM長和得出DE=DM.

7.（3分）如圖，半徑為5的0A中，弦BC,EO所對的圓心角分別是/84C,ZEAD.已

知OE=6,ZBAC+ZEAD=180°,則弦8c的弦心距等于（）

A.2ZHB.C.4D.3

22

【分析】作/VMBC于從作直徑CT,連結BE先利用等角的補角相等得到/。,4石=

NA4F,再利用圓心角、弧、弦的關系得到DE=BF=6,由AH1BC,根據垂徑定理得

CH=BH,易得4”為ACB/的中位線，然后根據三角形中位線性質得到尸=3.

【解答】解：作4H1BC于"，作直徑CF連結BF,如圖,

VZBAC+ZEAD=I8O°，

而N84C+N8A廣=180°,

：,ZDAE=ZBAF,

ADE=BF>

:?DE=BF=6,

*：AH±BC,

:?CH=BH,

而CA=AF,

，AH為ACB尸的中位線,

：.AH=1BF=3.

2

故選：D.

【點評】本題考查了四周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理和三角形中位線性質.

8.（3分）如圖，四邊形A8C。是菱形，NA=60°,AB=2,扇形BE尸的半徑為2,圓心

角為60°,則圖中陰影部分的面積是（）

A.22￡-加B.22L-返c.1T-返D.K-Vs

3322

【分析】根據菱形的性質得出△DAB是等邊三角形，進而利用全等三角形的判定得出△

ABG會4DBH,得出四邊形G8”Q的面積等于△4BO的面積，進而求出即可.

【解答】解：連接8D,

???四邊形A8c。是菱形，ZA=60°,

AZADC=120°,

/.Zl=Z2=60°,

???△D48是等邊三角形，

?.?48=2,

???△ABD的高為加，

???扇形3所的半徑為2,圓心角為60°,

AZ4+Z5=60°,Z3+Z5=60°,

???N3=N4,

設4。、BE相交于點G,設8F、。。相交于點，，

在aANG和△08”中，

rZA=Z2

<AB=BD，

Z3=Z4

:?△ABG9XDBH（ASA）,

，四邊形GBHD的面積等于△48。的面積，

2

???圖中陰影部分的面積是：S場形的7“切=9°兀x_2--工乂2義的=”-加.

36023

故選：A.

【點評】此題主要考查了扇形的面積計算以及全等三角形的判定與性質等知識，根據已

知得出四邊形EBFD的面積等于的面積是解題關鍵.

9.（3分）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓分別交邊AC、4B于。、E兩點，連接BZX

DE.若B。平分NABC,則下列結論不一定成立的是（）

A

BC

A.BDLACB.AC2=2AB*AE

C.ZVIOE是等腰三角形D.BC=2AD

【分析】利用圓周角定理可得A正確；證明△AOESAAB。，可得出3正確；由8選項

的證明，即可得出C正確；利用排除法可得。不一定正確.

【解答】解：???BC是直徑，

AZBDC=90°,

：.BD1AC,故A正確；

平分NA8C,BD1AC,

???△A8C是等腰三角形，AD=CD,

???四邊形BCDE是圓內接四邊形，

???ZAED=ZACB,

：,AADE^>AABC,

???△八。七是等腰三角形，

：?AD=DE=CD,

?AC=BC=2BC=2AB

**AEDE2DE記，

：.AC2=2A^AE,故8正確；

由8的證明過程，可得。選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理及圓內接四邊形的性質，綜

合考察的知識點較多，解答本題的關鍵在于判斷△A3C和后是等腰三角形.

10.（3分）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式分別剪成一個正方形，邊

長都為I,則扇形和圓形紙板的面積比是（）

D.V5：V2

【分析1先畫出圖形，分別求出扇形和圓的半徑，再根據面積公式求出面積，最后求出

比值即可.

【解答】解：如圖1,連接O。，

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZDCB=ZAB0=9Q°,AB=BC=CD=\,

VZAOB=45°,

：?OB=AB=1,

由勾股定理得：0力;步+產的,

?,?扇形的面積是45兀?（泥）2=昂;

3608

如圖2,連接"8、MC,

???西邊形ABCD是OM的內接四邊形，四邊形ABCD是正方形,

/.ZB/WC=90°,MB=MC,

/.ZMCB=ZMBC=45°,

*/BC=l,

:.MC=MB=返,

2

????！钡拿娣e是TTX（返）2=2^

22

，扇形和圓形紙板的面積比是（"IT）=—.

824

【點評】本題考查了正方形性質，圓內接四邊形性質，扇形的面積公式的應用，解此題

的關鍵是求出扇形和阿的面積，題目比較好，難度適中.

二、填空題

II.（3分）如圖，在半徑為13的。0中，OC垂直弦于點O,交。。于點C,AB=24,

則CD的長是8

【分析】連接OA，先根據垂徑定理求出人。的長，再在RtZXAOQ中利用勾股定理求出

0。的長，進而可得出CO的長.

【解答】解：連接。4,

V0C1AB,AB=24,

：.AD=^AB=\2,

2

在RtZ^A。。中，

???0A=13,4。=12,

???OD=V0A2-AD2=V132-122=5,

???CQ=OC?OQ=13?5=8?

故答案為：8.

【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理.，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形

是解答此題的關鍵.

12.(3分)已知OO的半徑為1,點P與圓心。的距離為止且方程f-2x+d=0無實數根,

則點《在外.

【分析】根據根的判別式的意義得到△=(-2)2-乙d<0,解得[>],然后根據點與圓

的位置關系的判定方法判斷點尸與OO的位置關系.

【解答】解：???方程f-2x+d=0無實數根，

，△=(-2)2-4t/<0,

：.d>\,

而。。的半徑為1，

???點P與0的距離大于圓的半徑,

，點尸在o。外.

故答案為：外

【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設。。的半徑為，?，點P到圓心的距離。尸=d,

則有點戶在圓外Od>r：點尸在圓上=d=八點尸在圓內adv,?.點的位置可以碓定該

點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓

的位置關系.也考查了根的判別式.

13.(3分)已知扇形的半徑為6cm,圓心角為150°,則此扇形的弧長是上」c〃?，扇形

的面積是一15TT。力2(結果保留Q.

2

【分析】根據扇形的弧長公式/=亞旦和扇形的面積=皿旦-分別進行計算即可.

180360

【解答】解：:扇形的半徑為6cm,圓心角為150°,

???此扇形的弧長是：/=15071X6=5TT(C〃。，

180

根據扇形的面積公式，得

,,150TUX62.ez2、

Stn=上丫------=15n(cnr).

360

故答案為：5TT,15m

【點評】此題主要考查了扇形弧長公式以及扇形面積公式的應用，熟練記憶運算公式進

行計算是解題關鍵.

M.(3分)如圖，AA是。。的直徑，O是圓心，AC與相切于A點，CO交OO于點、D,

且BC=8,CD=4,那么OO的半徑是6.

A

【分析】根據切線性質求出NO8C=9()°,設OO的半徑是R,則OC=R+4,8c=8,

OB=R,在中，由勾股定理得出方程網+82=(R+4)2,求出方程的解即可.

【解答】解：Y8C與。0相切于8點，

:.OBLBC,

：?N()BC=90°,

設GO的半徑是R,則OC=R+4,4C=8,OB=R,

在△04C中，由勾股定理得：O?+Bd=oc2,

即/?2+82=(R+4)2,

R=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了方程，切線的性質，勾股定理等知識點，解此題用了方程思想.

15.（3分）如圖，0C是。。的半徑，人8是弦，且0C_LA4,點P在。0上，NAPC=26°,

則NBOC=52

度.

【分析】由OC是。。的半徑，A8是弦，且。C_L48,根據垂徑定理的即可求得：AC=

菽，又由圓周角定理，即可求得答案.

【解答】解：:0C是。。的半徑，是弦，K0C1AB,

???菽=標，

/.ZBOC=2ZAPC=2X260=52°.

故答案為：52.

【點評】此題考查了垂徑定理與圓周角定理.此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的

應用.

16.（3分）如圖，兩圓圓心相同，大圓的弦AB與小圓相切，AB=8,則圖中陰影部分的面

積是一16n.（結果保留n）

【分析】設48與小圓切于點C,連結0C,08,利月垂徑定理即可求得3C的長，根據

圓環（陰影）的面積=7[?。82-弘?0。2=口（OB2-OC2）,以及勾股定理即可求解.

【解答】解：設4B與小圓切于點C,連結OC,OB.

TAB與小圓切于點C,

C.OCYAB,

**?BC-AC——AB——^-8—4.

22

二?圓環（陰影）的面積=TT?OB2-口?0。2=口（OB2-0C2）

又???直角△O8C中，OBJod+BC2

22

，圓環（陰影）的面積=IT?O82-TrOd=7T（。用-。＜:）=TT*BC=16n.

故答案為：I6ir.

【點評】此題考查了垂徑定理，切線的性質，以及名股定理，解題的關鍵是正確作出輔

助線，注意到圓環（陰影）的面積二立y加-死”心口（。^-（爐），利用勾股定理把

圓的半徑之間的關系轉化為直角三角形的邊的關系.

17.（3分）正六邊形A8COE廣的邊長為2口〃，點戶為這個正六邊形內部的一個動點，則點

p到這個正六邊形各邊的距離之和為_

FE

RC

【分析】此題可采用取特殊點的方法進行計算，即當。為圓心時進行計算.

【解答】解：如圖所示，過2作PH±BCT〃，根據正六邊形的性質可知，ZBPC=60°,

即N3P，=-l/8PC=lx60°=30°,8"=28C=2X2=lc/〃：

2222

：.PH=—

tan305

~3~

???正六邊形各邊的距成之和=6尸”=6義“=&/^，〃.

故答案為：必.

GE

【點評】此題比較簡單，解答此題的關犍是根據題意畫出圖形，再由正六邊形及等腰三

角形的性質解答即可.

18.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,邊CD在直線/上，將矩形ABC。沿直

線/作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點Ai位置時，則點A經過的路線長為

CB'

BAi空.......

r

CDACfDtZ

【分析】如圖根據旋轉的性質知，點八經過的路線長是三段：①以90°為圓心角，AD

長為半徑的扇形的弧長；②以90°為圓心角，AB長為半徑的扇形的弧長；③90°為圓

心角，矩形4BCQ對角線長為半徑的扇形的弧長.

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形，AB=4,BC=3,

：,BC=AD=3,ZADC=90°,對角線AC（8。）=5.

???根據旋轉的性質知，ZADA'=90°,AD=A'D=BC=3,

???點A第一次翻滾到點A'位置時，則點A'經過的路線長為：907rxz="

1802

同理，點A'第一次翻滾到點A"位置時，則點A'經過的路線長為：9071X4=2TT.

180

點4"第一次翻滾到點Ai位置時，則點A"經過的路線長為：90兀><5.=衛.

1802

則當點A第一次翻滾到點4位置時，則點A經過的路線長為：更+2TT+且L=6m

22

故答案是：67T.

【點評】本題考查了弧長的計算、矩形的性質以及旋轉的性質.根據題意畫出點A運動

軌跡，是突破解題難點的關鍵.

19.（3分）如圖，己知的直徑A8=6,E、F為A8的三等分點，例、N為標上兩點,

且NMEB=/NFB=60°,則EM+FN=_V^^.

【分析】延長ME交。O尸G,根據圓的中心對稱性可得產N=EG,過點。作O〃_LMG

于〃，連接MO,根據圓的直徑求出0區OM,再解直角三角形求出0”,然后利用勾股

定理列式求出M”，再根據垂徑定理可得MG=2M”，從而得解.

【解答】解：如圖，延長ME交。。于G,

■:E、/為A8的三等分點，NMEB=NNFB=60”,

:.FN=EG,

過點。作O〃_LMG于〃，連接M0,

;。。的宜徑八8=6,

：，OE=OA-AE=2X6-AX6=3-2=1,

23

OM=_1X6=3,

2

VZA/EZ?=60°,

，O"=OK?sin60°=1乂返=返，

22

在Ri/XMO”中，^=7OM2-OH2=

根據垂徑定理，MG=2MH=2X厚=每

即EM+FN=^^.

故答案為：V33-

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，以及解直角三角形，作輔助線并根據

圓的中心對稱性得到尸N=EG是解題的關鍵，也是本題的難點.

20.（3分）如圖，點C在以A8為直徑的半圓匕A8=8,NC84=30°,點。在線段48

上運動，點E與點。關于AC對稱，DFLDE于點D，并交￡C的延長線于點足下列結

論：?CE=CF；②線段E尸的最小值為2的；③當AD=2時，E/與半圓相切；④若

點下恰好落在菽上，則人￡＞一2在；⑤當點。從點八運動到點8時，線段E廠掃過的面

積是16b.其中正確皓論的序號是一①③⑤

【分析】（1）由點￡與點。關于AC對稱“J得CE=CO,再根據_LQE即“Ji止到CE

=CF.

（2）根據“點到直線之間，垂線段最短”可得CQJ_A3時CD最小，由于EF=2CD,

求出CD的最小值就可求出EF的最小值.

（3）連接OC,易證△A。。是等邊三角形，AD=OD,根據等腰三角形的“三線合一”

可求出NACZ）,進而可求出NECO=90°,從而得到￡：尸與半圓相切.

（4）利用相似三角形的判定與性質可證到aoB/是等邊三角形，只需求出8戶就可求出

DB,進而求出4Q長.

（5）首先根據對稱性確定線段掃過的圖形，然后探究出該圖形與△A4C的關系，就

可求出線段EF掃過的面積.

【解答】解：①連接C。，如圖1所示.

???點E與點D關于AC對稱,

：.CE=CD.

:?/E=/CDE.

DFA.DE,

：?NEDF=90°.

AZE+ZF=90°,NCDE+NCDF=900.

，/廣=NC7)F.

：.CD=CF.

：,CE=CD=CF.

，結論"CE=CF”正確.

②當CO_LA3時，如圖2所示.

???/W是半圓的直徑，

，NACB=90°.

???AB=8,NCB4=30°,

：.ZCAB=6()°,AC=4,BC=4限

\*CD±AB,ZCBA=30°,

??.CO=_18C=2/.

2

根據“點到直線之間，垂線段最短”用得:

點力在線段人8上運動時，CO的最小值為2%.

，：CE=CD=CF,

：.EF=2CD.

???線段EV的最小值為4\萬.

???結論”線段￡小的最小值為2加”錯誤.

③當AO=2時，連接0C,如圖3所示.

VOA=OC,NCA5=60°,

???△OAC是等邊三角形.

：.CA=CO,ZACO=60°.

VAO=4,AD=2,

：.DO=2.

：.AD=DO.

/.ZACD=ZOCD=30°.

???點E與點。關于AC對稱，

：,ZECA=ZDCA.

.,.ZECA=30°.

???NECO=90°.

：.OC1EF.

〈EF經過半徑OC的外端，fLOC±EF,

???￡尸與半圓相切.

???結論”政與半圓相切”正確.

④當點尸恰好落在標上時，連接b8、AF,如圖4所示.

???點七與點。關于AC對稱，

：.ED1AC.

，NAGO=90°.

/.ZAGD=ZACB.

：.ED//BC.

:ZHCs^FDE.

?FH=FC

??而FE,

,:FC=LEF,

2

：,FH=^FD.

2

：,FH=DH.

,：DE//BC,

:?NFHC=/FDE=9G".

:?BF=BD.

；?NFBH=NDBH=30°.

：.ZFBD=60°.

???AB是半圓的直徑，

???NAF8=90°.

AZMB=30°.

：.FB=1AB=4.

2

???Q3=4.

.\AD=AB-DB=4.

???結論%。=2%”錯誤.

⑤???點D與點E關于AC對稱，

點。與點尸關于3c對稱，

工當點D從點A運動到點B時，

點E的運動路徑AM與AB關于人C對稱,

點F的運動路徑NB與AB關于BC對稱.

掃過的圖形就是圖5中陰影部分.

:.S陰影=2S”8c

=2XLC?BC

2

=AC^BC

=4X4近

=1皿.

尸掃過的面積為16日.

???結論“E尸掃過的面積為16盜”正確.

故答案為：①、③、?.

圖4

4F

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、相似三角形的判

定與性質、切線的判定、軸對稱的性質、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識，

綜合性強，有一定的難度.

三、解答題

21.如圖，圓內接四邊形A8QC,是。。的直徑，ODLBC于E.

（I）請你寫出四個不同類型的正確結論；

（2）若BE=4,AC=6,求DE.

【分析】（1）由八8為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出NAC8為直角；

由OD垂直于8C,利用垂徑定理得到E為8C的中點，BPBE=CE,麗=而，由OD垂

直于BC,AC也垂直于BC,利用垂直于同一條直線的兩直線平行可得出OD與人C平行;

（2）由。。垂直于BC,利用垂徑定理得到E為8c的中點，由BE的長求出的長，

由A8為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出N4CB為直角，在直角三角形

4BC中，由BC與AC的長，利用勾股定理求出A8的長，進而求出半徑與。。的長，

在直角三角形中，由08與的長，利用勾股定理求出0E的長，由-0E即

可求出的長.

【解答】解：(1)四個不同類型的正確結論分別為：/4CB=90°；BE=CE；BD=CD;

OD//AC；

(2)?：0D±BC,BE=4,

：.BE=CE=4,即8c=28E=8,

■AB為圓0的直徑，??.N4CB=90°,

在RlZ\ABC中，4C=6,BC=8,

根據勾股定理得：A8=10,

：.OB=5,

在Rt^OBC中,08=5,BE=4,

根據勾股定理得：0E=3,

則ED=OB-OE=5-3=2.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定，熟練掌握

定理是解本題的關鍵.

22.如圖，在△ABC中，A。是8C邊上的中線，以48為直徑的。0交8c于點。，過。

作MNJ_AC于點交A8的延長線于點N,過點3作8G_LMN于G.

(1)求證：△8GQS/\QMA；

(2)求證：直線MN是。。的切線.

【分析】(1)根據圓周角定理得到NADC=90°,得到NOBG=NAOM,根據兩角相等

的兩個三角形相似證明；

(2)證明03是△ABC的中位線，得到OO〃AC,根據平行線的性質得到。。_LMM根

據切線的判定定埋證明.

【解答】證明：(1);MNIAC,BG上MN,

???NBGO=NQMA=90°,

???以AB為直徑的。。交BC于點D,

：.AD±BC,即NAQC=90°,

???NAQM+NCQM=90°,

?；NDBG+NBDG=90',NCDM=NBDG,

???ZDBG=NAZW,

:,/\BGDS?DMM

(2)連結OD.

：,BO=OAfBD=DC,

TOO是△ABC的中位線，

：,OD//AC,

又?.?MN_LAC,

：,OD上MN,

???直線MN是O。的切線.

N

【點評】本題考查的是相似三角形的判定、切線的判定，掌握切線的判定定理、相似三

角形的判定定理是解題的關鍵.

23.如圖，uABCQ中，AB=2,以點4為圓心，A8為半徑的圓交邊8c于點E,連接。&

AC,AE.

（1）求證：△4EO絲zX。。.

（2）若。E平分/AOC且與0A相切于點￡,求圖中陰影部分（扇形）的面積.

【分析】(1)由四邊形A4C。是平行四邊形，AB=AE,易證得四邊形A/CQ是等腰梯形,

即可得AC=OE,然后由SSS,即可證得：△八七。且△力C4；

(2)由。E平分NAOC旦與OA相切于點區可求得/EA。的度數，繼而求得NB4E的

度數，然后由扇形的面積公式求得陰影部分(扇形)的面積.

【解答】解：

(1)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

.\AB=CD,AD//BC,

四功形4七。。是?梯形，

\'AB=AE,

：.AE=CD,

???四邊形AECO是等腰梯形，

：.AC=DE,

在△AED和△OCA中，

'AE=DC

<DE=AC，

AD=DA

???△A￡7運△OC4(555)；

(2)解：???QE平分/A。。，

???ZADC=2ZADE,

???四邊形AEC。是等腰梯形，

???NDAE=RADC=2dADE,

???￡)E與OA相切于點E,

C.AELDE.

即NAED=90°,

A^ADE=30°,

：.ZDAE=60°,

???ZDCE=NA￡C'=1800-ZDAE=120°,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.ZBAD=ZDCE=\20°,

：.ZBAE=ZBAD-ZEAD=60°,

【點評】此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰梯形的判定與性質以

及平行四邊形的性質.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.

24.如圖1,△ABC中，CA=C8,點0在高CH上，0O_LCA于點。，。及LC8于點E,

以。為惻心，0。為半徑作00.

（1）求證：與ar相切于點七：

（2）如圖2,若。。過點〃，且4c=5,A4=6,連接以7,求△8〃七的面積和tanNBHE

的值.

【分析】（1）由CA=CB,且CH垂直于A8,利用三線合一得到C"為角平分線，再由

。。垂直于AC,0E垂直于C8,利用角平分線定理得到。E=0。，利用切線的判定方法

即可得證：

（2）由CA=C6,CH為裔，利用三線合得到A〃=8〃，在直角三角形AC”中，利用

勾股定理求出C〃的長，由圓0過〃，C”垂直于48,得到圓。與A8相切，由（1）得

到圓。與C8相切，利用切線長定理得到如圖所示，過E作石尸垂直于A8,

得到E戶與C”平行，得出ABE廠與△8C，相似，由相似得比例，求出石尸的長，由BH

與所的長，利用三角形面積公式即可求出△8E”的面積；根據E尸與8E的長，利用勾

股定理求出尸8的長，由尸求出”戶的長，利用銳角三角形函數定義即可求出tan

NB”左的值.