章節(jié)構(gòu)建一實踐能力:尺規(guī)作圖回歸教材·過基礎(chǔ)【知識體系】【考點清單】知識點尺規(guī)作圖常考尺規(guī)作圖定義在幾何里,把限定用無刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖(需要保留作圖痕跡)作一條線段等于已知線段(1)先畫一條射線;(2)用圓規(guī)量出已知線段的長;(3)再在射線上用圓規(guī)截取一條線段等于已知線段作一個角等于已知角(1)作一條射線作為角的一邊;(2)在已知角上構(gòu)造一個以該角為頂角的等腰三角形;(3)在所作射線上作等腰三角形的一腰;(4)再作等腰三角形的底,確定第三個頂點;(5)作另一腰所在的射線,就得到一個角等于已知角（續(xù)表）尺規(guī)作圖作已知角的平分線(1)在已知角∠AOB的兩邊上截取點D,E,使OD=OE;(2)分別以D,E為圓心,以大于線段12(3)作射線OC,則OC就是∠AOB的平分線過一點作已知直線的垂線如圖1,點O在直線AB上,過點O作AB的垂線,就相當(dāng)于作平角∠AOB的平分線;如圖2,當(dāng)點C不在直線AB上時,過點C作CO⊥AB,以點C為圓心,大于線段CO的長度為半徑作弧交AB于點D,E,作線段DE的垂直平分線即可作已知線段的垂直平分線(1)分別以點A,B為圓心,以大于12(2)過C,D兩點作直線CD,則直線CD垂直平分AB【基礎(chǔ)演練】1.(2024·廈門二模)綜合實踐課上,小明畫出△ABD,利用尺規(guī)作圖找一點C,使得四邊形ABCD為平行四邊形.(1)~(3)是其作圖過程.(1)分別以點B,D為圓心,大于12(2)連接AO并延長,再以點O為圓心,OA長為半徑作弧,交AO延長線于點C;(3)連接DC,BC,則四邊形ABCD即所求.在小明的作法中,可以直接用于判定四邊形ABCD為平行四邊形的依據(jù)是()A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等C.一組對邊平行且相等D.對角線互相平分2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于點D,按下列步驟作圖.步驟1:分別以點C和點D為圓心,以大于12步驟2:作直線MN,分別交AC,BC于點E,F.步驟3:連接DE,DF.若AC=8,BC=6,則線段DE的長為()A.3B.12C.2D.243.如圖,一位老父親要把一塊三角形的土地均分給三個兒子,∠C=90°,∠B=30°,但老人家要求把這塊三角形的地分成大小、形狀都相同的三塊.(1)請你幫老人家分一分,并保留作圖痕跡.(2)請推理證明你分的三塊地的大小形狀都相同.4.(1)如圖1,在圖形內(nèi)部求作一點P,使點P到∠DAB兩邊AB,AD的距離相等,且點P到點B,C的距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)(2)如圖2,△ABC為鈍角三角形.①作△ABC中BC邊上的高;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)②若AB=6,BC=4,∠B=30°,求△ABC的面積.圖1圖2真題精粹·重變式1.(2023·福建)閱讀以下作圖步驟:如圖,①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;②分別以C,D為圓心,大于12③作射線OM,連接CM,DM.根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是()A.∠1=∠2且CM=DMB.∠1=∠3且CM=DMC.∠1=∠2且OD=DMD.∠2=∠3且OD=DM2.(2024·福建)如圖,已知直線l1∥l2.(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得l∥l1∥l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點A,B,C分別在l,l1,l2上,且△ABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積.3.(2022·福建)如圖,BD是矩形ABCD的對角線.(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).(2)在(1)的條件下,設(shè)BD與☉A相切于點E,過點C作CF⊥BD,垂足為點F.若直線CF與☉A相切于點G,求tan∠ADB的值.4.(2021·福建)如圖,已知線段MN=a,AR⊥AK,垂足為A.(1)求作四邊形ABCD,使得點B,D分別在射線AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)設(shè)P,Q分別為(1)中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點,求證:直線AD,BC,PQ相交于同一點.5.(2019·福建)如圖,已知△ABC和點A'.(1)以點A'為頂點作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)(2)設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點,D',E',F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B',B'C',A'C'的中點,求證:△DEF∽△D'E'F'.6.(2020·福建)已知C為線段AB外的一點.(1)求作四邊形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB.(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的四邊形ABCD中,AC,BD相交于點P,M,N分別為AB,CD的中點,求證:M,N,P三點在同一條直線上.7.如圖,PC∥OB交OA于點C.(1)過點P作PD∥OA交OB于點D(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).(2)在(1)的條件下,若∠O=55°,求∠CPD的度數(shù).8.如圖,在△ABC中,點D在AC上,過點D作DE∥BC交AB于點E.(1)求作過點D且平行于AB的直線,交BC于點F(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).(2)在(1)的條件下,若BD平分∠ABC,求證:四邊形BFDE為菱形.參考答案回歸教材·過基礎(chǔ)基礎(chǔ)演練1.D2.D3.解析:(1)如圖,△ACE,△AEF,△EFB為所求.(2)∵EF垂直平分線段AB,∴EA=EB,∴∠EAB=∠B=30°.∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∴∠CAE=∠EAF=30°.∵∠C=∠AFE=90°,AE=AE,∴△EAC≌△EAF(AAS).∵AF=FB,∠EFA=∠EFB=90°,EF=EF,∴△EAF≌△EBF,∴△EAC≌△EAF≌△EBF,∴△ACE,△EAF,△EBF為所求.4.解析:(1)如圖1,點P為所求.(2)①如圖2,AD為所求.圖1圖2②∵AD為BC邊上的高,∴∠ADB=90°.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴AD=12AB=12×6=3,∴△ABC的面積=12真題精粹·重變式1.A2.解析:(1)如圖1,直線l即所求.(2)①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°,AB=AC時,∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,根據(jù)圖形的對稱性可知BC=2,∴AB=AC=2,∴S△ABC=12②當(dāng)∠ABC=90°,BA=BC時,如圖3,分別過點A,C作直線l1的垂線,垂足為M,N,∴∠AMB=∠BNC=90°.∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,∴CN=2,AM=1.∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,∴∠MAB=∠NBC,∴△AMB≌△BNC(AAS),∴BM=CN=2,在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,∴AB=5,∴S△ABC=12AB·BC=5③如圖4,當(dāng)∠ACB=90°,CA=CB時,同理②可得,S△ABC=52綜上所述,△ABC的面積為1或523.解析:(1)根據(jù)題意作圖,如圖1.圖1(2)如圖2,設(shè)∠ADB=α,☉A的半徑為r.圖2∵BD與☉A相切于點E,CF與☉A相切于點G,∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四邊形AEFG是矩形.又∵AE=AG=r,∴四邊形AEFG是正方形,∴EF=AE=r.在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BAE=∠ADB=α.在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE∴BE=r·tanα.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,又∵∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF=r·tanα,∴DE=DF+EF=r·tanα+r.在Rt△ADE中,tan∠ADE=AEDE即DE·tanα=AE,∴(r·tanα+r)·tanα=r,即tan2α+tanα-1=0.∵tanα>0,∴tanα=5-1即tan∠ADB的值為5-14.解析:(1)如圖,四邊形ABCD為所求.(2)證明:設(shè)PQ交AD于點G,BC交AD于點G'.∵DQ∥AP,∴GDGA=DQ∵DC∥AB,∴G'DG∵P,Q分別為邊AB,CD的中點,∴DC=2DQ,AB=2AP,∴G'DG'A=DC`∴G'DG∴點G與點G'重合,∴直線AD,BC,PQ相交于同一點.5.解析:(1)如圖1所示.圖1(2)證明:如圖2,∵D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點,圖2∴DE=12BC,DF=12AC,EF=∴△DEF∽△ABC.同理可得△D'E'F'∽△A'B'C',由(1)可知△ABC∽△A'B'C',∴△DEF∽△D'E'F'.6.解析:(1)如圖1,四邊形ABCD即為所求.圖1(2)證明:如圖2,在AB,CD上分別截取中點M,N.圖2∵CD∥AB,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,∴△ABP∽△CDP,∴ABCD=AP∵AB,CD的中點分別為M,N,∴AB=2AM,CD=2CN,∴AMCN=AP連接MP,NP,∵∠BAP=∠DCP,∴△APM∽△CPN,∴∠APM=∠CPN.∵點P在AC上,∴∠APM+∠CPM=180°,∴∠CPN+∠CPM=180°,∴M,