2024-2025學年浙江省溫州市高二上學期10月月考數學質量檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為2，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．設aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．在四面體中，記，，，若點M、N分別為棱OA、BC的中點，則（

）A． B．C． D．5．直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知圓，直線，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別A、B，當最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．7．設函數，若，則a的最小值為（

）A． B． C．2 D．18．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點B．直線l與圓C有兩個交點C．當時，圓C上恰有四個點到直線的距離等于1D．圓C與圓恰有三條公切線10．定義在R上的偶函數，滿足，則（

）A． B．C． D．11．球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點，劣弧BC的弧長記為，設表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設，則下列結論正確的是（

）A．若平面是面積為的等邊三角形，則B．若，則C．若，則球面的體積D．若平面為直角三角形，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．若圓與圓有且僅有一條公切線，.13．已知函數的圖象經過點，且在軸右側的第一個零點為，當時，曲線與的交點有個，14．如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段（端點除外）上一動點.現將沿折起，使平面平面，在平面內過點作，為垂足．設，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．某校為提高學生對交通安全的認識，舉辦了相關知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，發現得分均在區間內.現將個樣本數據按，，，，，分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請估計樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）和中位數（精確到）；(2)學校決定表彰成績排名前的學生，學生甲的成績是，請估計該學生能否得到表彰，并說明理由.16．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，動點P滿足(1)求動點P的軌跡C的方程(2)若直線l過點且與軌跡C相切，求直線l的方程.17．已知函數（且）是定義在上的奇函數，且；(1)求a，b的值；(2)解不等式．18．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線BD和BF上移動，且BM和BN的長度保持相等，記．(1)證明：平面BCE；(2)當時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．19．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.在中，內角，，的對邊分別為，，.(1)若，且的面積為，設點為的費馬點，求的取值范圍；(2)若內一點滿足，且平分，試問是否存在常實數，使得，若存在，求出常數；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為．故選：A．2．【正確答案】C【分析】利用圓錐表面積公式求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計算即得.【詳解】設圓錐底面圓半徑為，母線為，高為，由圓錐的表面積為，得，而，解得，所以，所以該圓錐的體積.故選C.3．【正確答案】A【詳解】∵當a=1時，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關系．4．【正確答案】B【詳解】由題意得：，故選：B.5．【正確答案】A【詳解】因為線分別與軸，軸交于兩點，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因為點在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.6．【正確答案】A【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為.依圓的知識可知，四點P，A，B，C四點共圓，且AB⊥PC，所以，而，當直線PC⊥l時，最小，此時最小.結合圖象可知，此時切點為，所以直線的方程為，即.故選：A

7．【正確答案】B【詳解】函數定義域為，而，，，要使，則二次函數，在上，在上，所以為該二次函數的一個零點，易得，則，且開口向上，所以，只需，故a的最小值為.故選：B8．【正確答案】A【分析】由題意畫出圖形，設球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由球O的表面積為29π，可得x2+y2=25，寫出側面積，再由基本不等式求最值．【詳解】設球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由，得．又，得．三棱錐A-BCD的側面積：=由，得xy≤當且僅當x=y=時取等號，由，得x+y≤5,當且僅當x=y=時取等號，所以S≤5+=當且僅當x=y=時取等號.所以三棱錐A-BCD的側面積的最大值為.故選A.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；對于B，，即定點在圓內，則直線與圓相交且有兩個交點，B正確；對于C，當時，直線，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，因此只有2個點到直線的距離等于1，C錯誤；對于D，圓的方程化為，其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.故選：ABD.10．【正確答案】AC【詳解】由，令，則，又為偶函數，則，A對；由上，得①，在①式，將代換，得②，B錯；在②式，將代換，得，C對；由且，即周期為2且關于對稱，顯然是滿足題設的一個函數，此時，D錯.故選：AC11．【正確答案】BC【詳解】對于A，因等邊三角形的面積為，則，又，故則，故A錯誤；對于B，由可得，故，即B正確；對于C，由可得，故.由正弦定理，的外接圓半徑為，點到平面ABC的距離，則三棱錐的體積,而球面的體積，故C正確；對于D，由余弦定理可知由可得，，即，化簡得，．取，則，則，故D錯誤．故選：BC12．【正確答案】【詳解】由，顯然，又只有一條公切線，所以相內切，將點坐標代入圓方程知，即在圓外部，所以圓內切于圓，則有，解之得.故13．【正確答案】6【詳解】因為函數的圖象經過點，可得，即，又因為，所以，因為在軸右側的第一個零點為所以，解得，所以，畫出與在區間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點有6個.故6.14．【正確答案】【詳解】如圖，在平面ADF內過點D作，垂足為，連接．過點作，交于點．設，，所以．設，則．因為平面平面ABC，平面平面，，平面ABD，所以平面ABC，又平面，所以．又因為，，，平面DKH，所以平面，所以，即．在中，，，因為和都是直角三角形，，所以，．因為，，所以，得．因為，所以，所以．又，即，故.故15．【正確答案】(1)樣本數據的平均值為，中位數為；(2)學生甲不能得到表彰，理由見解析.【分析】(1)用每組數據中點值乘以該組數據的頻率相加求和可得平均值，先估算中位數的范圍，再列方程求中位數；(2)估算排名在的成績，和比較，得到結論.【詳解】(1)樣本數據的平均值為因為從左至右的前組數據的頻率為，從左至右的前組數據的頻率為，所以樣本數據的中位數位于區間內，設中位數為，則，所以.(2)成績低于分的頻率為，成績低于分的頻率為，則被表彰的最低成績為，所以估計學生甲不能得到表彰.16．【正確答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）設，由，得，化簡得，所以P點的軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當直線l的斜率不存在時，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當直線l的斜率存在時，設，即，

于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.

17．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可知：和，故且，故，（舍去）（2），由于函數均為單調遞減函數，故為單調遞減，故，即，解得，故不等式的解為18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，ABCD，ABEF的邊長都是正方形，則有，又，則中，，所以，由，，則四邊形為平行四邊形，有，所以，平面BCE，平面BCE，所以平面BCE.（2）當時，M，N分別BD和BF的中點，連接，則，平面平面，平面平面，平面，，則平面，平面，則，，得，，為中點，連接，則，，，中，由余弦定理，，所以平面MNA與平面MNB夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)利用三角恒等變換的知識化簡已知條件，求得，判斷出三角形的三個內角均小于，根據費馬點的定義、正弦定理、三角恒等變換、向量數量積運算等知識來求得的取值范圍.(2)根據三角形的面積公式列方程，結合余弦定理進行化簡，從而求得的值.【詳解】(1)因為，且，所以，所以，即，因為，，所以，，所以，因為，所以；因為，所以的內角均小于，所以點在的內部，且，由，得，

設，，則，在中，由正弦定理得，即在中，由正弦定理得，即，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍為；(2)因為，即，所以，在，，中，分別由余弦定理得：，，，三式相加整理得，將代入得：，因為平分，所以，，所以，①又由余弦定理可得：，②由①-②得：，所以，即，所以常數，使得.2024-2025學年浙江省溫州市高二上學期10月月考數學質量檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．如果直線與直線平行，則等于（

）A．0 B． C．0或1 D．0或2．已知的周長為20，且頂點，，則頂點的軌跡方程是（

）A．B．C．D．3．已知為隨機事件，與互斥，與互為對立，且，則（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.94．已知直線，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，，則6．中國是瓷器的故鄉，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該甁器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個等高（高為）的圓臺組合面成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，底面直徑，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的容積為（

）

A． B． C． D．7．已知實數x，y滿足，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，若且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節能減排．現從某小區隨機調查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數據進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．圖中a的值為0.015B．樣本的第25百分位數約為217C．樣本平均數約為198.4D．在被調查的用戶中，用電量落在內的戶數為10810．下列說法中，正確的是（

）A．直線的傾斜角為，且，則為銳角B．直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．若直線的傾斜角為，則D．任意直線都有傾斜角，且時，斜率為11．如圖，在正方體中，，點，分別在棱和上運動（不含端點），若，則下列命題正確的是（

）

A． B．平面C．線段長度的最大值為1 D．三棱錐體積不變三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，水平放置的的斜二測直觀圖是圖中的，已知，，則邊的實際長度是．13．一組數據42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位數是．14．已知線段是圓上的一條動弦，且，設點為坐標原點，則的最大值為；如果直線與相交于點，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓.(1)若直線l經過點，且與圓C相切，求直線l的方程；(2)若圓與圓C相切，求實數m的值.16．在長方體中，點E，F分別在，上，且，．(1)求證：平面平面AEF；(2)當，，求平面與平面的夾角的余弦值．17．自疫情爆發以來，由于黨和國家對抗疫工作的高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經濟很快得到復蘇，在餐飲業恢復營業后，某快餐店統計了近100天內每日接待的顧客人數，將前50天的數據進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖如下．組別分組頻數頻率第1組40.08第2組第3組40,5020第4組50,600.32第5組60,7040.08合計501.00

(1)求a，b，c的值，并估計該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的平均數；(2)已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數的方差為104，在后50天內每日接待的顧客人數的平均數為51、方差為100，估計這家快餐店這100天內每日接待的顧客人數的平均數和方差．18．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.19．如圖，已知橢圓上一點，右焦點為，直線交橢圓于點，且滿足，．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，求四邊形面積的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】∵直線與直線平行，∴，解之得或，故選D.2．【正確答案】A【詳解】試題分析：由題意知，即點A到兩定點的距離之和為定值，所以為橢圓；又，所以軌跡方程為．考點：1、橢圓的定義；2、橢圓的性質．3．【正確答案】B【分析】根據對立事件得到，根據互斥事件得到，計算得到答案.【詳解】因為事件與事件互為對立，所以，因為事件與事件互斥，則.故選B.4．【正確答案】C【詳解】當時，方程變為，其斜率不存在，傾斜角為；當時，由直線方程可得斜率，因為且，則，即，又因為，；綜上所述：傾斜角的范圍是．故選：C．5．【正確答案】B【詳解】對于A：由，，，可知、可能平行或相交，A錯誤；對于B：由，，，則由線面平行的性質定理得，B正確；對于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C錯誤；對于D：由，，可知或，D錯誤．故選：B6．【正確答案】B【分析】根據題意利用圓柱和圓臺的體積公式直接求解即可【詳解】因為圓柱的高為，底面直徑，底面直徑，且兩圓臺的高都為，所以該瓷器的容積為，故選B.7．【正確答案】B設為圓上的任意一點，構造直線，過點p作，將轉化為點p到直線的距離和到原點的距離的比，即，然后利用數形結合法求得的范圍求解.【詳解】如圖所示：設為圓上的任意一點，則點P到直線的距離為，點P到原點的距離為，所以，設圓與直線相切則圓心到直線的距離：，解得，所以的最小值為，最大值為，所以，即故的最大值為，故選：B8．【正確答案】A【詳解】如圖，，垂足為，因為，所以，為的中點，，，，，整理得，所以，即，，，在中，，在中，，，化簡整理得，，解得或，又，.故選：A.

9．【正確答案】AC【詳解】對A，，所以，故A正確；對B設樣本的第25百分位數約為，，則，所以，故B錯誤；對C，樣本平均數為：，故C正確；對D，用電量落在內的戶數為：，故D錯誤.故選：AC10．【正確答案】AD【詳解】解：對于A，因為，且，則為銳角，故A正確；對于B，雖然直線的斜率為，但只有時，才是此直線的傾斜角，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，任意直線都有傾斜角，且時，斜率為，故D正確.故選：AD.11．【正確答案】AD【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，，，設，，且，，，，得，，所以，故，故A正確；，，，所以與不垂直，則不垂直與平面，故B錯誤；，，，所以時，的最大值為，故C錯誤；，故D正確.

故選：AD12．【正確答案】【詳解】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則，所以.故答案為.13．【正確答案】45.5【詳解】這組數據從小到大排列為：38，41，42，43，44，45，46，47，由于，所以第75百分位數是.故14．【正確答案】【詳解】設為中點，則，點的軌跡方程為，，則最大值為，由直線，，可得且過定點過定點，點的軌跡是以為直徑端點的圓，其方程為，，，，，的最小值為.故；.

15．【正確答案】(1)或(2)或【詳解】（1）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.（2）圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓