類型二特殊四邊形證明（專題訓練）

1.（2023?四川自貢?統考中考真題）在平行四邊形ABCD中，點E、尸分別在邊AD和BC上,

且DE=BF.

求證：AF^CE.

【答案】見解析

【分析】平行四邊形的性質得到AD=3C，AD||3C,進而推出AE=C產，得到四邊形AEW

是平行四邊形，即可得到4斤=比.

【詳解】解：???四邊形A5CD是平行四邊形，

AD=BC,AD\\BC,

???BE=DF,

■.AE=CF,

：.AE=CF,AE//CF

四邊形AEC尸是平行四邊形，

:.AF=CE.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質.熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關

鍵.

2.（2023?山東?統考中考真題）如圖，在YABCD中，AE平分NB4D,交于點E；CT平

分乙BCD,交AD于點?求證：AE=CF.

AFD

【答案】證明見解析

【分析】由平行四邊形的性質得=AB=CD,AD//BC,由平行線的性質和角平

分線的性質得出/54E=/DCF,可證△BAE四△OB,即可得出AE=CF.

【詳解】證明：??,四邊形A5CZ）是平行四邊形，

:,ZB=ZD,AB=CD,ZBAD=ZDCB,AD//BC,

TAE平分/B4O,CF平分/BCD,

:.ZBAE=ZDAE=ZBCF=ZDCF,

在aBA石和△OCF中，

NB=ZD

<AB=CD

/BAE=/DCF

：.△歷場均。C尸(ASA)

???AE=CF.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質，平行線的性質及全等三角形的判定與性質，根據

題目已知條件熟練運用平行四邊形的性質，平行線的性質是解答本題的關鍵.

3.如圖，點E,F分別在菱形ABCD的邊BC,CD±,且BE=DF.求證：ZBAE=ZDAF.

【分析】根據菱形的性質可得NB=ND,AB=AD,再證明AABE絲ZiADF,即可得NBAE=N

DAF.

【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，

ZB=ZD,AB=AD,

在4ABE和4ADF中，

AB=AD

zB=Z_D,

BE=DF

AABE^AADF(SAS),

NBAE=NDAF.

4.(2023?四川南充?統考中考真題)如圖，在YABCD中，點E,尸在對角線AC上，

ZCBE=ZADF.求證：

A1-------------------丑

F

B

(1)A￡,=CF；

Q)BE〃DF.

【答案】見解析

【分析】(1)根據平行四邊形的性質推出相應的線段和相應的角度相等，再利用已知條件求

^EZABE=ZCDF,最后證明ASA)即可求出答案.

(2)根據三角形全等證明角度相等，再利用鄰補角定義推出NBEF=NEED即可證明兩直

線平行.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形ASCD為平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD,ZABC=ZADC,

\?BAE?FCD.

QNCBE=ZADF,ZABC=ZADC,

:.ZABE=/CDF.

.-.△ABE^ACDF(ASA).

■.AE=CF.

(2)證明：由(1)得△ABE四△CD*ASA),

:.ZAEB=ZCFD.

QZAEB+NBEF=180°,NCFD+NEFD=180°,

.-.ZBEF=ZEFD.

:.BE//DF.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，鄰補角定義，三角形全等，平行線的判定，解題的

關鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質.

5.(2023?湖南?統考中考真題)如圖所示，在AMC中，點。、E分別為?IB、AC的中點，點

X在線段CE上，連接3”，點G、F分別為BH、S的中點.

(1)求證：四邊形。及G為平行四邊形

(2)DG±BH,BD=3,EF=2,求線段BG的長度.

【答案】(1)見解析

(2)75

【分析】(1)由三角形中位線定理得到DE〃BC,OE=18C,GF〃BC,GF；BC,得到

22

GF//DE,GF=DE,即可證明四邊形DEFG為平行四邊形；

(2)由四邊形OEfU為平行四邊形得到DG=￡F=2,由。得到/DG3=90。，由

勾股定理即可得到線段BG的長度.

【詳解】(1)解：：點。、E分別為AB、AC的中點，

/.DE//BC,DE=-BC,

2

:點G、F分別為BH、CH的中點.

GF//BC,GF=-BC,

2

GF〃DE,GF=DE,

四邊形。班G為平行四邊形；

(2):四邊形OERS為平行四邊形，

DG=EF=2,

,：DG1BH,

：.ZDGB=90。,

'：BD=3,

BG=y/BD2-DG2=A/32-22=6-

【點睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，證明四邊形

OEbG為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關鍵.

6.如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和F,使得AE=CF.連接DE,

DF,BE,BF.

求證：四邊形BEDF是菱形.

【分析】四邊形ABCD是菱形，可得AB=BC=CD=DA,ZDCA=ZBCA,NDAC=NBAC,可以

證明4CDF2ACBF,ADAE^ABFC,ADCF^ABEA,進而證明平行四邊形BEDF是菱形.

【解答】證明：???四邊形ABCD是菱形，

???BC=CD,NDCA=NBCA,

，NDCF=NBCF,

VCF=CF,

AACDF^ACBF(SAS),

???DF=BF,

VAD/7BC,

???NDAE=NBCF,

VAE=CF,DA=AB,

AADAE^ABFC(SAS),

.??DE=BF,

同理可證：△DCFgz^BEA(SAS),

.\DF=BE,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

VDF=BF,

???平行四邊形BEDF是菱形.

7.(2023?四川廣安?統考中考真題)如圖，在四邊形ABC。中，AC與BD交于點O,B￡_LAC,

DF1AC,垂足分別為點區F,且A尸=CE,NBAC=ZDC4.求證：四邊形A5CD是平行

四邊形.

AD

C

B

【答案】見詳解

【分析】先證明A但2AC9(ASA),再證明AB=CD,AB//CD,再由平行四邊形的判定

即可得出結論.

【詳解】證明：-.-BELAC,DF1AC,

:.ZAEB=NCFD=90。,

AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,

AE=CF,

又?.?NBAC=NDCA,

..△AEB之ACFD(ASA),

AB=CD,

?；/BAC=ZACD,

AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四

邊形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵.

8.(2023?湖北隨州?統考中考真題)如圖，矩形ABCO的對角線AC,相交于點。，

DE\\AC,CE\\BD.

(1)求證：四邊形OCE。是菱形；

(2)若3c=3,OC=2,求四邊形OCED的面積.

【答案】⑴見解析；(2)3

【分析】(1)先根據矩形的性質求得OC=8,然后根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是

菱形分析推理；

(2)根據矩形的性質求得AOCD的面積，然后結合菱形的性質求解.

【詳解】(1)解：：DE//AC,CE//BD,

???四邊形OCE。是平行四邊形，

又；矩形A3CD中，OC=OD,

平行四邊形OCED是菱形；

（2）解：矩形A3CD的面積為3。。。=3*2=6,

13

AOCD的面積為：x6=—,

42

3

???菱形OCED的面積為2x彳=3.

2

【點睛】本題考查矩形的性質、菱形的判定，屬于中考基礎題，掌握矩形的性質和菱形的判

定方法，正確推理論證是解題關鍵.

9.（2023?湖南永州?統考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對角線相交

于點。，0A=3,80=8,48=5.

（1）斜03是直角三角形嗎？請說明理由；

（2）求證：四邊形ABCD是菱形.

【答案】（1）叢03是直角三角形，理由見解析.（2）見解析

【分析】（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得3。=（8。=4,再根據勾股定理的逆定

理，即可得出結論；

（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證.

【詳解】（1）解：AAOB是直角三角形，理由如下：

V四邊形ABCD是平行四邊形，

BO=-BD=4,

2

OA2+OB2=32+42=52=AB2,

A是直角三角形.

（2）證明：由（1）可得：A4O8是直角三角形，

二ZAOB=9Q°,

即ACA.BD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

.??四邊形A3C。是菱形.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關鍵

是掌握平行四邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

9.（2023?浙江杭州?統考中考真題）如圖，平行四邊形A3CD的對角線AC,即相交于點。，

點E,尸在對角線8。上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.

⑴求證：四邊形AEC尸是平行四邊形.

（2）若AABE的面積等于2,求△CFO的面積.

【答案】（1）見解析

（2）1

【分析】（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得。4=OC,OB=OD,結合5￡=田可

得OE=OF,即可證明四邊形AEC廠是平行四邊形；

（2）根據等底等高的三角形面積相等可得S,AEF=S“ABE=2,再根據平行四邊形的性質可得

\cFO=2S-CEF=~S&AEF=]X2=1.

【詳解】（1）證明：?四邊形ASCD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,

BE=FD,

..OB-BE=OD-FD,

：.OE=OF,

又OA=OC,

四邊形AEC尸是平行四邊形.

（2）解：SAABE=2,BE=EF,

…?q_-3vABE_-4?，

???四邊形AEC尸是平行四邊形，

SsCFO=~S-CEF=—名的=/X2=1

【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平

分.

10.（2023?湖南懷化?統考中考真題）如圖，矩形ABCD中，過對角線的中點。作的

垂線砂，分別交AD,BC于點E,F.

（1）證明：ABOFHDOE；

（2）連接BE、DF,證明：四邊形￡BED是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據矩形的性質得出AD〃3C,貝UZl=N2,N3=/4,根據。是8。的中點,

可得80=。。，即可證明ABOF絲△OOE（AAS）；

（2）根據△B。//△OOE可得ED=3F,進而可得四邊形EBFD是平行四邊形，根據對角

線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖所示，

.四邊形A3CO是矩形,

AD//BC,

：.Z1=N2,N3=N4,

。是8。的中點，

BO=DO,

在ABO戶與WOE中

21=Z2

</3=/4,

BO=DO

/.ABOF/△OOE(AAS)；

(2),：ABOFdDOE

/.ED=BF,

丈：ED//BF

，四邊形EBFD是平行四邊形，

?；EFYBD

，四邊形EB陽是菱形.

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四

邊形的性質與判定是解題的關鍵.

11.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點.求證：DE=BF.

【答案】證明見試題解析.

【分析】

由矩形的性質和已知得到DF=BE,AB〃CD,故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案.

【詳解】

:四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AB=CD,

又E、F分別是邊AB、CD的中點，

.?.DF=BE,

又AB〃CD,

...四邊形DEBF是平行四邊形，

/.DE=BF.

考點：1.矩形的性質；2.全等三角形的判定.

12.（2023?新疆?統考中考真題）如圖，AO和相交于點。，ZABO=ZDCO=90°,

OB=OC.點、E、歹分別是AO、的中點.

⑴求證：OE=OF；

⑵當NA=30。時，求證：四邊形3ECF是矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接證明△AOB四△DOC（ASA）,得出。1=OD,根據E、尸分別是AO、DO

的中點，即可得證；

（2）證明四邊形%CF是平行四邊形，進而根據NA=30。，推導出△5OE是等邊三角形，

進而可得3C=￡F,即可證明四邊形3ECF是矩形.

【詳解】（1）證明：在AAO3與△OOC中，

AABO=ZDCO=90°

<OB=OC

ZAOB=ZDOC

：.△AOB^ADOC(ASA),

OA=OD,

又,：E、尸分別是A。、的中點,

OE=OF；

(2)YOB=OC,OF=OE,

.,?四邊形3ECF是平行四邊形，BC=2OB,EF=2OE,

為AO的中點，ZABO=90°,

：.EB=EO=EA,

NA=30。，

ZB<9E=60°,

"QE是等邊三角形，

OB=OE,

：.BC=EF,

，四邊形8ECF是矩形.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，矩形判定，熟練

掌握以上知識是解題的關鍵.

13.已知：如圖，在口ABCD中，點0是CD的中點，連接A0并延長，交BC的延長線于點E,

求證：AD=CE.

【分析】只要證明△AOD段Z^EOC(ASA)即可解決問題；

【解答】證明：是CD的中點，

.,.OD=CO,

1/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,

.?.ZD=Z0CE,

在△ADO和△ECO中，

2D=ZOCE

,OD=OC,

Z.AOD=Z.EOC

.,.△AOD^AEOC(ASA),

.\AD=CE.

14.如圖，在口ABCD中，點E在AB的延長線上，點F在CD的延長線上，滿足BE=DF.連接

EF,分別與BC,AD交于點G,H.

求證：EG=FH.

【分析】根據平行四邊形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】證明：：四邊形ABCD是平行四邊形,

，AB〃CD,ZABC=ZFDH,

zE=NF

在ABEG與aDFH中，，BE=DF

.ZEBG=Z.FDH

.'.△BEG^ADFH（ASA）,

；.EG=FH.

15.（2023?云南?統考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE,CF分別是NaW、ZBCD

的平分線，且區產分別在邊BC、AD上，AE=AF.

⑴求證：四邊形AEC尸是菱形；

（2）若NABC=60。，AABE的面積等于4A，求平行線A3與。C間的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）4后

【分析】（1）先證AO〃3C，再證AE||FC,從而四邊形AEC尸是平行四邊形，又

于是四邊形AEB是菱形；

（2）連接AC,先求得/&LE=ND4E=/ABC=60。，再證ACLAB,

NAC3=90。一NABC=30。=ZEAC,于是有立=組，得=走AC,再證AE=BE=CE,

3AC3

從而根據面積公式即可求得AC=46.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,/BAD=/BCD,

二/BEA=/DAE,

,：AE.CF分別是NBA。、/BCD的平分線，

NBAE=ZDAE=|NBAD,/BCF=1/BCD,

/DAE=/BCF=/BEA,

：.AE\\FC,

???四邊形AECV是平行四邊形，

AE=AF,

，四邊形AEW是菱形;

(2)解：連接AC,

VAD//BC,NABC=60。，

/BAD=180°-ZABC=120°,

NBAE=/DAE=ZABC=60°,

?..四邊形AEC尸是菱形，

NEAC=；/DAE=30°,

/BAC=/BAE+/EAC=90°,

AC1AB,ZACB=90°-ZABC=30°=NEAC,

；.AE=CE,tan30°=tanZACB=—=

AC3AC

/.AB=—AC,

3

,：ABC,

AE=BE=CE,

：△相￡■的面積等于46，

2

SARr=-AC-AB=-AC-—AC=—AC=Sy/3,

■2236

A平行線AB與0c間的距離AC=46.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形

的判定，三角函數的應用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質，菱形的

判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數的應用以及平行線間的距離等知識是

解題的關鍵.

16.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點0,過點0作EF1AC,分別交AB、DC于點E、F,

連接AF、CE.

(1)若0E=|,求EF的長;

(2)判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【分析】

(1)判定△AOEgZ\COF(ASA),即可得OE=OF=|,進而得出EF的長；

(2)先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據EFLAC,即可得到四邊形AECF是菱形.

【解析】

(1),??四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AO=CO,

.".ZFC0=ZEA0,

又：/AOE=/COF,

.".△AOE^ACOF(ASA),

AOE=OF=-,

2

???EF=2OE=3；

(2)四邊形AECF是菱形，

理由：???△AOEg/^COF,

，AE=CF,

又,.,AE〃CF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

又〈EFJLAC,

四邊形AECF是菱形.

17.(2023?浙江嘉興?統考中考真題)如圖，在菱形ABCD中，于點E,A^_LCD于

點F，連接EF

A

⑴求證：AE=AF;

⑵若NB=60。，求上4EF的度數.

【答案】⑴證明見解析；(2)60。

【分析】(1)根據菱形的性質的三角形全等即可證明

(2)根據菱形的性質和已知條件可推出度數，再根據第?問的三角形全等和直角三

角形的性質可求出/A4E和NZM尸度數，從而求出—E4/度數，證明了等邊三角形A￡F,

即可求出/A￡尸的度數.

【詳解】(1)證明：???菱形ABCD,

:.AB=AD,ZB=ZDf

又?.?AE_L5C,AF_LC。,

:.ZAEB=ZAFD=90°.

在A4旗和ZkAFO中，

ZAEB=ZAFD

<NB=/D,

AB=AD

:.^ABE^AAZ)F(AAS).

,\AE=AF.

(2)解：?.?菱形ABC。，

:.ZB+ZBAD=1^,

vZB=60°,

ZBAD=120°.

又?.?NAEB=90°,ZB=60°,

.\ZBAE=3Q°.

由（1）知廠，

:.ZBAE=ZDAF=30°.

...ZEAF=120°-30°-30°=60°.

■.■AE=AF,

等邊三角形.

:.ZAEF=60°.

【點睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質、等邊三角形的性質，解題的關鍵在于熟練掌

握全等的方法和菱形的性質.

18.已知：如圖，在口ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且BE平分/ABC,EF〃AB.求證：

四邊形ABFE是菱形.

【答案】見解析

【分析】

先證四邊形ABFE是平行四邊形，由平行線的性質和角平分線的性質證AB=AE,依據有一組

鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【解析】

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,

又：EF〃AB,

，四邊形ABFE是平行四邊形，

：BE平分/ABC,

ZABE=ZFBE,

VAD/7BC,

NAEB=NEBF,

.?.ZABE=ZAEB,

；.AB=AE,

???平行四邊形ABFE是菱形.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關鍵是熟練運用相關

知識進行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形.

19.（2023?湖南張家界?統考中考真題）如圖，已知點A,，C,8在同一條直線上，且AD=BC,

AE=BF,CE=DF.

⑴求證：AE//BF-,

⑵若。尸=FC時，求證：四邊形OEC5是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據題意得出AC=BD,再由全等三角形的判定和性質及平行線的判定證明

即可；

（2）方法一：利用全等三角形的判定和性質得出DE=CF,又EC=DF,再由菱形的判定

證明即可；方法二：利用（1）中結論得出=結合菱形的判定證明即可.

【詳解】（1）證明：：AD=BC,

AD+DC^BC+DC,

即AC=BD

在△AEC和△班曾中，

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

：.AAEC、BFD(SSS)

ZA=NB,

：.AE//BF

(2)方法一：在VADE和中,

AE=BF

<NA=NB,

AD=BC

：.AADE^BCF(SAS)

:.DE=CF,又EC=DF,

四邊形DECF是平行四邊形

DF=FC,

，nDECF是菱形；

方法二：,；AAEC名ABFD,

：.NECA=NFDB

：.EC//DF,

又EC=DF,

，四邊形。ECP是平行四邊形

,?DF=FC,

nDECF是菱形.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，理解題意，熟練掌握

運用這些知識點是解題關鍵.

20.如圖，四邊形ABCD是菱形，點E、歹分別在邊A3、AD的延長線上，且5石=￡）產.連

接CE、CF.

求證：CE=CF.

【答案】見解析

【分析】

根據菱形的性質得到BC=CD,ZADC=ZABC,根據SAS證明ABEC咨△DFC,可得CE=CF.

【詳解】

解：.四邊形ABCD是菱形，

；.BC=CD,ZADC=ZABC,

/.ZCDF=ZCBE,

在ABEC和4DFC中，

BE=DF

<ZCBE=ZCDF,

BC=CD

.'.△BEC^ADFC(SAS),

.\CE=CF.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是根據菱形得到判定全等的

條件.

21.（2023?四川內江?統考中考真題）如圖，在AABC中，。是的中點，E是的中點，

過點A作A尸〃BC交CE的延長線于點F.

（1）求證：AF=BD；

⑵連接班若筋=AC,求證：四邊形AD3F是矩形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【分析】（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出=然后利用“角角邊”證明三

角形全等，再由全等三角形的性質容易得出結論；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形"BD是平行四邊形，

再根據一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可.

【詳解】（1）證明：：ABC,

ZAFE=NDCE,

:點E為AO的中點，

AE=DE,

在AAE廣和△EDC中,

ZAFE=ZDCE

<NAEF=NDEC,

AE=DE

.,.△￡AF^A￡Z)C(AAS);

AF=CD,

CD=BD,

AF=BD；

(2)證明：AF//BD,AF=BD,

???四邊形AEBD是平行四邊形，

VAB^AC,BD=CD,

：.ZADB=9。。,

平行四邊形AFBD是矩形.

【點睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，是基礎題,

明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵.

22.如圖，在AA3c中，N54c的角平分線交于點D,DE//AB,DF//AC.

(1)試判斷四邊形AH圮的形狀，并說明理由；

(2)若NB4C=90°,且AD=20，求四邊形AFDE的面積.

【答案】(1)菱形，理由見解析；(2)4

【分析】

(1)根據DE〃AB,DF〃AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據平行線的性質和角平分

線的定義得到/EDA=NEAD,可得AE=DE,即可證明；

(2)根據/BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據對角線AD求出邊長，再根據面積公式

計算即可.

【詳解】

解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：

VDE/7AB,DF〃AC,

???四邊形AFDE是平行四邊形，

VAD平分NBAC,

NFAD=NEAD,

VDE^AB,

NEDA=NFAD,

NEDA=NEAD,

AAE=DE,

???平行四邊形AFDE是菱形；

（2）VZBAC=90°,

四邊形AFDE是正方形，

；2=2血，

；.AF=DF=DE=AE=￥=2,

二四邊形AFDE的面積為2X2=4.

【點睛】

本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，解題的關

鍵是掌握特殊四邊形的判定方法.

23.（2023?四川樂山?統考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，點。為邊上任

意一點（不與點A、8重合），過點。作DE〃BC,DF//AC,分別交AC、BC于點E、

F,連接所.

⑴求證：四邊形ECFD是矩形;

(2)若C尸=2,CE=4,求點C到所的距離.

【答案】⑴見解析；(2)175

【分析】(1)利用平行線的性質證明NCED=/CFD=90。，再利用四邊形內角和為360。,

證明/￡2加=90。，即可由矩形判定定理得出結論；

(2)先由勾股定理求出砂=”?產+6￡2=2行，再根據三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)證明：'：DE//BC,DF//AC,

，四邊形ECED為平行四邊形，

ZC=90°,

四邊形ECED是矩形.

(2)解：VZC=90°,CF=2,CE=4,

EF=VCF2+CE2=275

設點C到斯的距離為/i,

,,,SrFF=-CECF=-EFh

△CEF22

2x4=2病

.,475

??n=------

5

答：點C到E尸的距離為撞.

5

【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用

面積法求線段長是解題的關鍵.

24.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,BE//AC,AE//BD.

(1)求證：四邊形A0BE是菱形；

(2)若NAO3=60。，AC=4,求菱形A0BE的面積.

【答案】(1)證明過程見解答；(2)273

【分析】

(1)根據BE〃AC,AE〃BD,可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據矩形的性質，

可以得到OA=OB,由菱形的定義可以得到結論成立；

(2)根據/A0B=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE邊0A上的高，然后根據菱形的面積=底義

高，代入數據計算即可.

【解析】

解：(1)證明：：BE〃AC,AE〃BD,

，四邊形AOBE是平行四邊形，

:四邊形ABCD是矩形，

.\AC=BD,OA=OC=1AC,OB=OD=1BD,

.?.OA=OB,

四邊形AOBE是菱形；

(2)解：作BFLOA于點F,

:四邊形ABCD是矩形，AC=4,

.\AC=BD=4,OA=OC=1AC,OB=OD=；BD,

.,.OA=OB=2,

ZA0B=60°,

.?.BF=0B,sinNA0B=2x走=若，

2

，菱形AOBE的面積是：0A?BF=2x6=2g.

【點睛】

本題考查菱形的判定、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面

積=底X高或者是對角線乘積的一半.

25.如圖，點C是9的中點，四邊形A6CD是平行四邊形.

(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；

(2)如果=求證：四邊形ACED是矩形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)由平行四邊形的性質以及點C是BE的中點，得到AD//CE,AD=CE,從而證明四邊形ACED

是平行四邊形；

(2)由平行四邊形的性質證得DC=AE,從而證明平行四邊形ACED是矩形.

【詳解】

證明：(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,且AD=BC.

:點C是BE的中點，

；.BC=CE,

；.AD=CE,

VAD/7CE,

...四邊形ACED是平行四邊形；

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AB=DC,

VAB=AE,

/.DC=AE,

1/四邊形ACED是平行四邊形，

四邊形ACED是矩形.

【點睛】

本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

26.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點0的直線EF與BA、DC

的延長線分別交于點E、F.

(1)求證：AE=CF；

(2)請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)EFLBD或EB=ED,見解析

【分析】

(1)根據平行四邊形的性質和全等三角形的證明方法證明VAOE卻SOF,則可得到AE

=CF；

(2)連接BF,DE,由Y4OE0COF,得到0E=OF,又AO=CO,所以四邊形AECF是平行

四邊形，則根據EF，BD可得四邊形BFDE是菱形.

【詳解】

證明：(1)?..四邊形A5CD是平行四邊形

；.OA=OC,BE〃DF

/.ZE=ZF

^△AOE和△COF中

'AE=NF

<ZAOE=NCOF

OA=OC

：.VAOE^/COF(AAS)

/.AE=CF

(2)當EFLBD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下:

如圖：連結BF,DE

V四邊形A5CD是平行四邊形

.?.OB=OD

?/NAOE^fCOF

OE=OF

，四邊形BEDE是平行四邊形

VEF±BD,

???四邊形段DE是菱形

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質與判定、平行四邊形的性質，菱形的判定等知識點，熟悉

相關性質，能全等三角形的性質解決問題是解題的關鍵.

27.如圖，在口ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,點E,F分別在BD和DB的延長線上，

且DE=BF,連接AE,CF.

(1)求證：△ADE0Z\CBF；

(2)連接AF,CE.當BD平分/ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由.

(1)根據四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到AD=CB,ZADC=ZCBA,從而可以得到N

ADE=NCBF,然后根據SAS即可證明結論成立；

(2)根據BD平分NABC和平行四邊形的性質，可以證明他BCD是菱形，從而可以得到AC,

BD,然后即可得到ACLEF,再根據題目中的條件，可以證明四邊形AFCE是平行四邊形，然

后根據ACLEF,即可得到四邊形AFCE是菱形.

【解答】

(1)證明：?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=CB,ZADC=ZCBA,

ZADE=ZCBF,

在4ADE和4CBF中，

AD=CB

ZADE=ZCBF,

DE=BF

AAADE^ACBF(SAS)；

(2)當BD平分NABC時，四邊形AFCE是菱形,

理由：:BD平分NABC,

NABD=NCBD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???OA=OC,OB=OD,AD〃BC,

NADB=NCBD,

NABD=NADB,

，AB=AD,

???平行四邊形ABCD是菱形，

.\AC±BD,

.'.AC±EF,

VDE=BF,

???OE=OF,

又?.?OA=OC,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

VACXEF,

???四邊形AFCE是菱形.

28.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,分別過點A,C作AE_LBD,CF

±BD,垂足分別為E,F.AC平分NDAE.

(1)若NA0E=50°,求NACB的度數；

(2)求證：AE=CF.

B

【分析】

(1)利用三角形內角和定理求出/EAO,利用角平分線的定義求出NDAC,再利用平行線的

性質解決問題即可.

(2)證明△AEOg^CFO(AAS)可得結論.

【解答】

(1)解：VAE±BD,

；.NAE0=90°,

；NAOE=50°,

ZEAO=40°,

；CA平分NDAE,

.,.ZDAC=ZEA0=40°,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,

ZACB=ZDAC=40°,

(2)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.OA=OC,

VAE±BD,CF±BD,

/.ZAE0=ZCF0=90°,

,：ZA0E=ZC0F,

.'.△AEO^ACFO(AAS),

；.AE=CF.

29.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE,CF分別平分NBAD和NDCB,交對角線BD于點E,F.

(1)若/BCF=60°,求NABC的度數；

(2)求證：BE=DF.

【分析】

(1)根據平行四邊形的性質得到AB〃CD,根據平行線的性質得到NABC+NBCD=180°,根

據角平分線的定義得到NBCD=2NBCF,于是得到結論；

(2)根據平行四邊形的性質得到AB〃CD,AB=CD,NBAD=NDCB,求得NABE=NCDF,根

據角平分線的定義得到NBAE=NDCE,根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解析】

(1)??,四邊形ABCD是平行四邊形,

AABZ/CD,

ZABC+ZBCD=180°,

VCF平分NDCB,

NBCD=2NBCF,

VZBCF=60°,

AZBCD=120°,

ZABC=180°-120°=60°；

(2)??,四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB/7CD,AB=CD,NBAD=NDCB,

???ZABE=ZCDF,

VAE,CF分別平分NBAD和NDCB,

ZBAE=-/BAD,NDCF=-zBCD,

22

/.ZBAE=ZDCE,

.'.△ABE^ACDF(ASA),

；.BE=CF.

30.如圖，點E是口ABCD的邊CD的中點，連結AE并延長，交BC的延長線于點F.

(1)若AD的長為2,求CF的長.

(2)若/BAF=90°,試添加一個條件，并寫出NF的度數.

【分析】

(1)由平行四邊形的性質得出AD〃CF,則NDAE=/CFE,ZADE=ZFCE,由點E是CD的

中點，得出DE=CE,由AAS證得4ADE也△FCE,即可得出結果；

(2)添加一個條件當NB=60°時，由直角三角形的性質即可得出結果(答案不唯一).

【解析】

(1)：四邊