2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（上海專用）（一模）

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.測(cè)試范圍：滬教版九年級(jí)上冊(cè)。

4.難度系數(shù):0.49o

第I卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求的）

1.在下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有（）

①所有的等邊三角形都相似；

②所有的直角三角形都相似；

③所有的菱形都相似；

④有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形一定相似；

⑤兩個(gè)全等三角形一定相似；

⑥有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形一定相似.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解答】解：①所有的等邊三角形都相似，說(shuō)法正確，為真命題；

②所有的直角三角形都相似，說(shuō)法錯(cuò)誤，為假命題；

③所有的菱形都相似，說(shuō)法錯(cuò)誤，為假命題；

④有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形一定相似，說(shuō)法正確，為真命題；

⑤兩個(gè)全等三角形一定相似，說(shuō)法正確，為真命題；

⑥有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形一定相似，說(shuō)法錯(cuò)誤，為假命題.

真命題的個(gè)數(shù)為3,

故選：B.

2.已知：△M4Gs/kW%。2s△4生。3，如果△44G與約c2的相似比為2,△出生。?與△4d。3相

似比為4,那么△&為G與△44。3的相似比為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解答】解：2s△4鼻。3，如果△4目￡與△4j。2的相似比為2,44當(dāng)。2與△4名。3

相似比為4

AXBX:A2B2=2:1,A2B2:A3B3=4:1,

設(shè)4層=%,貝U4層-4%45]=8x,

/.AXBX:A3B3=8:1,

△4與G與44B3c3的相似比為8.

故選：D.

3.如圖，在△ASC中，點(diǎn)。，￡分別在ACh,DEIIBC,ZABE=ZAED,且/5=6,AC=9,

則C￡的長(zhǎng)為（）

A.9-376B.4C.5D.3c

【答案】C

【解答】解：???/)￡//5C,

/.ZAED=ZC,

AABE=AAED,

ZABE=ZC,

???ZA=ZA,

??.△ABESAACB,

.AB_AE

一~AC~~AB"

vAB=6,AC=9,

6AE

?.?—―_，

96

解得：AE=4,

:.CE=AC-AE=5.

故選：C.

4.如圖，在AA8C中，點(diǎn)。、E分別是邊5C、ZC的中點(diǎn)，4。和交于點(diǎn)G,設(shè)方=2，AE=b，

那么向量數(shù)用向量萬(wàn)、B表示為（）

一

C.——1a-+—1brD.—1a+—1b7

33332222

【答案】A

【解答】解：:方=5,AE=b，

JE=JA+AE=-a+b，

vAD,BE是A48C的中線，

:.G^\ABC的重心，

BG=-BE,

3

—*22-

BG=——a+-b,

33

故選：A.

5.二次函數(shù)＞="2+取的圖象如圖所示，當(dāng)機(jī)＜、＜3時(shí)，歹隨x的增大而減小，加的取值范圍是（）

A.m>1B.-1<m<3C.1<m<3D.1<m<3

【答案】D

【解答】解：.??拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=l,

當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，

?.,當(dāng)加<x<3時(shí)，y隨％的增大而減小，

m的取值范圍是1（加<3.

故選：D.

6.如圖，過(guò)矩形N8CD的頂點(diǎn)分別作對(duì)角線的垂線，垂足分別為E、F、G、H,依次聯(lián)結(jié)四個(gè)垂足，

可得到矩形設(shè)對(duì)角線NC與8。的夾角為a（0<a<90。），那么矩形EFG8與矩形ABCD面積的比

值為（）

A.sin2aB.cos2aC.tan2aD.cot2a

【答案】B

【解答】解：設(shè)矩形/BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，如圖，

四邊形ABCD和四邊形EFGH為矩形，

OA=OB=OC=OD,OE=OF=0G=OH,

=

-S矩形4884sAOM,S矩形EFGH=\OEF，

s

矩形EFGH與矩形ABCD面積的比值=甘里

EFI/AB,

二.\OEF^\OAB,

--^=(—)2

…SWBOB-

■：BFLOA,OE=OF,

OFOE

cosa=----=-----

OBOB

矩形EFGH與矩形ABCD面積的比值=cos2a.

故選：B.

AD

第n卷

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

_，心a2a+b

7.已知工=彳，則一.

b3b

【答案】I

【解答】解：

b3

a+b_2+3_5

b

故答案為：

8.C是靠近點(diǎn)3的黃金分割點(diǎn)，若N2=10c?,貝|/C=cm.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】5-5

【解答】解：由于點(diǎn)C是線段45的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)。是靠近點(diǎn)5的黃金分割點(diǎn).

則AC=10x--=5^5-5cm.

2

故答案為：5V5-5.

9.已知向量關(guān)系式22+6（3-工）=0,那么向量工=（用向量2與向量3表示）.

1一

【答案】~a+b

【解答】解：???22+6（4—元）=6,

/.x=—a+b,

3

1一

故答案為：+b.

10.形狀與開口都與拋物線＞=-2/+3x-1相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-5）的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式

為.

【答案】y——lx1—5

【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為"辦2_5,且該拋物線的形狀與開口方向和拋物線尸—2/+3%-1相同,

..6Z——2,

y=_2x**_5,

故答案為：y=-2x2-5.

11.對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=a（x-"zf+左僅#0）中存在一點(diǎn)尸（x',y'），使得/-加=_/-左wO,則稱2|x-

為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線夕=-；/+3+3“開口大小”為.

【答案】4

【解答】解：y=~^2++3=-1（x-1）2+,

23231o

解得無(wú)'-§=-2，

拋物線y=-^x2+^x+3“開口大小”為2|V-1|=2x|-2|=4,

故答案為：4.

12.如圖，已知AD//3E//CF,它們依次交直線4于點(diǎn)/、B、C,交直線/2于點(diǎn)。、E、F,已知

AB:AC=3:5,Z)F=10,那么顧的長(zhǎng)為.

【答案】4

【解答】解：VADI/BEIICF,AB:AC=3:5,

.4B_DE_3

'~AC~~DF~~5,

■：DF=IO,

.DE3

??—―，

105

DE=6,

.?衣二10—6=4.

故答案為:4.

13.如圖，RtAABC中，ZC=90°,M是N2中點(diǎn)，MHX.BC,垂足為點(diǎn)X,CM與4H交于點(diǎn)、O,如

【解答】解：?.?NC=90。,

CM是AB邊上的中線，

:.CM=-AB=6,

2

???MH>BC,

.?.7/是5C的中點(diǎn)，

/.是5c邊上的中線，

v與CM交于點(diǎn)。，

??.O是AA8C的重心，

.CO_2

,'CM~39

CO=-CM=A,

3

故答案為：4；

14.如圖，已知梯形45CD中，AB//CD,AB=2CD,AC.BD交于點(diǎn)O.設(shè)方=5,AD=b,那么

向量A0可用a,b表示為.

33

【解答】解：?.?CQ///B,

:.AO:OC=AB:DC=2,

AO=—AC9

3

過(guò)。作CE///。交45于如圖:

DC

四邊形ADCE為平行四邊形，

/.AE=CD=-AB,AC=AD+AE,

2

—?2—?2―?2—?21-

AO=-AC=-AD+-AE=-a+-b.

33333

故答案為：—a+—b.

33

15.如圖，一段東西向的限速公路7W長(zhǎng)500米，在此公路的南面有一監(jiān)測(cè)點(diǎn)P,從監(jiān)測(cè)點(diǎn)尸觀察，限速

公路的端點(diǎn)〃在監(jiān)測(cè)點(diǎn)尸的北偏西60。方向，端點(diǎn)N在監(jiān)測(cè)點(diǎn)尸的東北方向，那么監(jiān)測(cè)點(diǎn)尸到限速公

路肱V的距離是米（結(jié)果保留根號(hào)）.

MN

P\

【答案】（250百-250）

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸4,跖V于點(diǎn)4,

MAN

貝ljZPAM=ZPAN=90°,

設(shè)PA=x米，

由題意可知，ZMPA=60°,ZNPA=45°,

；.APAN是等腰直角三角形，

:.NA=PA=x^z,

vtmZMPA=—=tan60°=V3,

PA

MA=s/3PA=V3x（米），

?:MA+NA=MN=5GG,

A/3X+x=500，

解得：x=25073-250，

即監(jiān)測(cè)點(diǎn)P到限速公路MN的距離是(250。-250)米,

故答案為：(250250).

16.如圖，在A48c中，是8c上的高，且8c=5,/。=3,矩形EFG”的頂點(diǎn)b、G在邊3c上,

頂點(diǎn)E、〃分別在邊和NC上，如果E8=2￡F,那么即=

【解答】解：如圖，AD交EH于點(diǎn)、N,

設(shè)邊EF的長(zhǎng)為％（。<%<3）,則AN=AD—EF=3—xf

???四邊形EFG"是矩形，

EH/IBC,

\AEHs\ABC,

.ANEH

"~AD~^C'

???EH=2EF,

EH=2x,

3-x2x

??—,

35

30

故答案為：—.

17.定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)角線正方形”.例如，如圖①

中正方形45C。即為線段ZC的“對(duì)角線正方形”.如圖②，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3fBC=4,

點(diǎn)尸在邊45上，如果線段尸。的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在A45C的邊上，那么4尸的長(zhǎng)是.

B

【解答】解：當(dāng)線段尸。的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在A45C的邊上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為工,

■:PEIIAC,

:.ABPEsMAC,

PE_BE

~AC~^C

x4-x解得％=?12

4

12_9

:.PD=—,AD

7T-7

AP=J/D。+PD?=—

7

故答案為：—

18.如圖，矩形4BCD中，AB=6,BC=9,E為邊CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)/￡、BE,P為邊40上一點(diǎn)，將

A48P沿3尸翻折，如果點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好位于A48E內(nèi)，那么4P的取值范圍是

【解答】解：如圖1,當(dāng)3尸，/￡時(shí)，/尸的值最小，此時(shí)/點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在上,

:.ZABP+ZBAF=90°,

1?四邊形N8CD是矩形,

，ABAD=ND=90°,即NBAF+ZEAD=90°,

/ABP=/FAP,

???ZBAD=ZADE=90°

KBAP^KADE,

APBAAP6

:,五F'：二3'?=2；

如圖2,當(dāng)8尸平分N/8E時(shí)，4P最長(zhǎng)，此時(shí)/點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在BE上，連接PE,

由題意可知，AP=A'P,

在RtABCE中，BC=9,EC=^CD=3),

BE=^BC2+EC2=3而，

由翻折可知AB=A'B=6,

A'E=BE-A'B=3M-6，

設(shè)/尸=x,則4P=x,PD=9-x,

在RtAPDE中，PE2=PD2+￡>￡2=(9-x)2+32,

在RtAPEA,中，PE2=A'P2+A'E2=x2+(3瓦-6)2,

(9—x)，+3?=x~+(3^/1()—6)2,解得x=2A/10—2，

即此時(shí)/尸=2函-2;

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好位于AABE內(nèi)部時(shí)AP的取值范圍為2<AP<2屈-2.

/八、、t“A*UU1DU

9.(10分)計(jì)算：.tF2^/(1-COS300)2+4cos45°.

sin600-tan45°

V3

【解答】解：原式=才一+2x(1-4

-)+4XT

~2"-1

=2s+2-6+20……(6分)

3V3-6

=-2--V3+2-73+272

3

=2V2-yV3...........(4分)

20.(10分)已知拋物線＞=2/+4》+1.

(1)用配方法把＞=2/+4》+1化為了=。(》+加)2+左的形式，并寫出該拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)

坐標(biāo)；

(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,4),求平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)y=2/+4x+l

=2(X2+2X+1)-2+1

=2(無(wú)+iy-1,

???該拋物線的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為……(5分)

(2)設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2(x+l)2-1+左，

???新的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,4),

4=2x2~—1+左，

解得k=-3,

???平移后的拋物線解析式為y=2(x+廳-4,

，平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(T,-4)...........(5分)

21.(10分)如圖，已知在A42C中，點(diǎn)。、￡分別在邊/8、AC±,且40=2,DB=4,AE=3,

EC=6.

DF

(1)求筆的值；

nC

(2)聯(lián)結(jié)DC,如果詼=了，DA=b試用3、B表示向量

A

BC

【解答】解：（1）vAD=2fDB=4,AE=3,EC=6,

/.AB=6,AC=9f

.AD-2-14石_3_1

AB63AC93

.AD_AE

一~AB~~AC'

,/^ADE^AABC,

.DEAD1/八、

R?。ǚ郑?/p>

一~BC~5

DF1

（2）由（1）知：-=-

nCJ

DE=a，

前=3G，

CB=-3a.

?/AD=2,DB=4,

BD=2DA,

DA=b，

BD=2DA-

■■CD=CB+BD=-3,a+2b...........（5分）

22.（10分）北淀浦河上的浦倉(cāng)路橋是一座融合江南水鄉(xiāng)文化氣息的現(xiàn)代空間鋼結(jié)構(gòu)人行廊橋.某校九年

級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“浦倉(cāng)路橋頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動(dòng)，他們的操作方法如下：如圖，在河的

一側(cè)選取8、C兩點(diǎn)，在3處測(cè)得浦倉(cāng)路橋頂部點(diǎn)N的仰角為22。，再往浦倉(cāng)路橋橋頂所在的方向前進(jìn)17

米至C處，在C處測(cè)得點(diǎn)/的仰角為37。，在。處測(cè)得地面AD到水面斯的距離DE為1.2米（點(diǎn)8、C、

。在一條直線上，BDHEF,DELEF,AF±EF）,求浦倉(cāng)路橋頂部/到水面的距離/尸.（精確到0.1

米）

（參考數(shù)據(jù)：sin22°?0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40,sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°~0.75）

浦倉(cāng)路橋

【解答】解：延長(zhǎng)2。交4尸于點(diǎn)G,

由題意得：BG1AF,DE=GF=3c=17米,

設(shè)CG=x米，

2G=2C+CG=(x+17)米，

在RtAACG中，ZACG=37°,

:.AG=CGtan310~0.75x(米).............(4分)

在RtAABG中，ZABG=22°,

:.AG=BG-tan22°?0,4(x+17),

.-.0.75x=0.4(x+17),

AR/口136

解得:X=],

102

AG0.75x=——(米)，

7

102

AF=AG+FG=——+1.2?15.8(:米)，

7

浦倉(cāng)路橋頂部/到水面的距離/尸約為15.8米...........(6分)

23.（12分）如圖，在A48c中，點(diǎn)。、￡在邊N8上，AC2=AD-AB,AC=AE,過(guò)點(diǎn)。作。E//CE

交邊NC于點(diǎn)尸.

(1)求證：AACD^NABC；

(2)求證：AEEB=ABFC.

A

【解答】證明：⑴-AC2=ADAB,

.ACAD

"~AB~^4C'

又?:ACAD=ABAC,

:.AACD^\ABC；......（6分）

（2）\'DF//CE,

.DEFC

一~AE~~AC"

'：AC=AE,

DE=FC,

:.AC=AE=AB-DE,AD=AE-DE=AE-FC,

..ACAD

?~AB~^4C'

.AB-BE_AE-FC

"AB―AE-'

...AB?AE—BE?AE=AB?AE—AB?FC,

:.AE,EB=ABFC..........（6分）

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線〉=〃/+&+°(。＞0)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。(0,0)、點(diǎn)/。,3〃),

此拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為5.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)如果該拋物線與1軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為。，且/4DC的正切值為2,求。的值；

(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)4、5分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、P.聯(lián)結(jié)尸4,如

果點(diǎn)尸在》軸上，尸4//%軸，且/ER4=NCBO,求新拋物線的表達(dá)式.

y

A

ox

【解答】解：(1)把。。0),/(1,3〃)代入＞="2+反+。，解得6=2Q,C=0,

得拋物線的解析式為丁="2+2辦,

則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=T;……(3分)

(2)把＞=0代入歹=辦2+2〃］，解得x=-2,x=0(點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，舍去)，

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,0),

過(guò)點(diǎn)4作4/_Lx軸，垂足為尸，

?/1)(-2,0),/(1,3a),

DF=3,AF=3〃，

???/4O。的正切值為2,

—=2,即如=2,

DF3

解得。=2；……(4分)

(3)由條件可得如圖象，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于尸/的延長(zhǎng)線，垂足為G,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,3a),

由新拋物線是原拋物線平移得到，且頂點(diǎn)8(T,-。)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸，

即原拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移4a個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,

設(shè)新拋物線的解析式為y=ax2+3a,

由點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,3。),得點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(2,7a)

/.PG=2,EG-4。,

?/ZEPA=ACBO,/EGP=/OCB=9V,

ABCO^APGE,

.CBPC

一~PG~~GE"

「?彳=；，解得q=

24a2

Q〉0,

■?Q=----,

2

；?新拋物線的解析式為了=*/+乎.....（5分）

4

25.（14分）如圖①，在RtAABC中，N4CB=90°,tanZABC=-,點(diǎn)。在邊8c的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)

點(diǎn)E在線段4D上，ZEBD=ZDAC.

(1)求證：ADBAsADEC；

(2)點(diǎn)/在邊C4的延長(zhǎng)線上，。尸與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M(如圖②).

①如果NC=2N尸，且AZJEC是以DC為腰的等腰三角形，求tan/FDC的值;

②如果DE二叵CD,EM=3,FM:DM=5:3,求/尸的長(zhǎng).

2

備用圖

【解答】(1)證明：VAEBD=ADAC,ND=/D,

“CDsMED,

AD_CD

^D~^E

NDBA^NDEC；(3分)

(2)解：①當(dāng)DC=￡。時(shí),

,,ADCD

由⑴知：互r法

AD=BD,

設(shè)CO=x,BC=3a,AC=4af貝lj4。==3Q+x,

則RtAACD中，AD=3a+xfAC=Aa,CD=x,

由勾股定理得：X2+(4q)2=(3Q+X)2,

7

x=-a,

6

7

CD——ci,

6

?：AC=2AF,

/.AF=2a,

:.C