第05講正弦定理和余弦定理的應用(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）我國遼代著名的前衛斜塔（又名瑞州古塔）位于葫蘆島市綏中縣.現存塔身已經傾斜且與地面夾角60°，若將塔身看做直線，從塔的第三層地面到第三層頂可看做線段，且在地面的射影為1m，則該塔第三層地面到第三層頂的距離是（

）A． B． C． D．2m【答案】D【分析】應用特殊三角函數值及已知、線段間的關系求該塔第三層地面到第三層頂的距離.【詳解】由題設，如下圖中該塔第三層地面到第三層頂的距離.

故選：D2．（23-24高三上·山東聊城·階段練習）泰姬陵于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A處測得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，進而得到.【詳解】由題設且，過點作平行于，則，，

故，所以，，在中，由勾股定理可得，在中，由正弦定理得，，即，所以，故.故選：A3．（21-22高一·全國·課后作業）某人在山外一點測得山頂的仰角為42°，沿水平面退后30米，又測得山頂的仰角為39°，則山高為（）(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)A．180米 B．214米 C．242米 D．266米【答案】C【分析】利用正弦定理求得，進而求得，也即是求得山高.【詳解】依題意，如圖所示，，則，在三角形中，，由正弦定理得，所以.在中，米.故選：C

4．（22-23高一下·河北邯鄲·期末）武靈叢臺位于邯鄲市叢臺公園中心處，為園內的主體建筑，是邯鄲古城的象征.某校數學興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點，，處分別測得點的仰角為，，，且，則武靈叢臺的高度約為（

）（參考數據：）

A．22m B．27m C．30m D．33m【答案】B【分析】設，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案.【詳解】由題知，設，則，，，又，所以在中，，①在中，，②聯立①②，解得.故選：B5．（22-23高一下·河南信陽·階段練習）青島五四廣場主題鋼雕塑（如圖1）以單純簡練的造型元素排列組合成旋轉騰空的“風”，通體火紅，害意五四運動是點燃新民主主義革命的“火種”及青島與五四運動的淵源．某中學數學興趣小組為了估算該鋼雕塑的高度，選取了與鋼雕塑底部在同一水平面上的兩點（如圖2），在點和點測得鋼雕塑頂端點的仰角分別為和，測得米，，則鋼雕塑的高度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用余弦定理即可解三角形.【詳解】由題意得，，所以，，設，則，，在中，由余弦定理得，，即，解得，即米．故選：C6．（23-24高一下·重慶·階段練習）碧津塔是著名景點·某同學為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測得塔尖D的仰角為，再沿方向前進24.4米到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，塔底點E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52【答案】B【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出，再結合直角三角形邊角關系求解即得.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得，則，在中，，則，在中，，則，又，因此，，所以碧津塔高約為38.23米.故選：B7．（23-24高一下·山東·階段練習）某課外興趣小組研究發現，人們曾用三角測量法對珠穆朗瑪峰高度進行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度．該興趣小組運用這一方法測量學校旗桿的高度，已知該旗桿（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點的距離為，測得，其中，在點處測得旗桿頂點的仰角為，則該旗桿的高度為（單位：）（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】作出示意圖，在中解出，在中解出.【詳解】在中，，，，因為，所以，在中，.故選：B.8．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．【答案】B【分析】現從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關系，進而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.【詳解】過點作，交于點，在直角三角形中，因為，所以，在直角三角形中，因為，所以，則.故選：B.二、多選題9．（23-24高一下·河南·階段練習）初春時節，南部戰區海軍某登陸艦支隊多艘艦艇組成編隊，奔赴多個海區開展實戰化海上訓練.在一次海上訓練中，雷達兵在處發現在北偏東方向，相距30公里的水面處，有一艘艦艇發出液貨補給需求，它正以每小時50公里的速度沿南偏東方向前進，這個雷達兵立馬協調在處的艦艇以每小時70公里的速度，沿北偏東方向與艦艇對接并進行橫向液貨補給.若艦艇要在最短的時間內實現橫向液貨補給，則（

）

A．艦艇所需的時間為1小時 B．艦艇所需的時間為2小時C． D．【答案】AD【分析】設出所需時間，分別表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判斷結果.【詳解】

如圖，設艦艇經過小時后在處與艦艇匯合，則.根據余弦定理得，解得或（舍去），故.由正弦定理得，解得故選：AD.10．（20-21高一下·湖北荊州·階段練習）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75°，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30°，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東60°，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是； B．燈塔與處之間的距離是；C．燈塔在處的西偏南60°； D．在燈塔的北偏西30°．【答案】AC【分析】根據題意作出圖形，然后在中，結合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相關角度，進而逐項分析即可.【詳解】由題意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正確；在中，由余弦定理得，即，故B錯誤；因為，所以，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；由，在燈塔的北偏西處，故D錯誤.故選：AC三、填空題11．（23-24高一下·河南·階段練習）石家莊電視塔坐落于石家莊世紀公園內，為全鋼構架.電視塔以“寶石”為創造母體，上?下塔樓由九層塔身相連接，寓意登九天，象征豐厚的古文明孕育出燦爛的現代文明.如圖，選取了與石家莊電視塔塔底在同一平面內的三個測量基點，且在處測得該塔頂點的仰角分別為，米，則石家莊電視塔的塔高為米.【答案】280【分析】設出塔高分別在中表示出,在和中就運用余弦定理建立方程，計算即得.【詳解】設，則.由，得，由余弦定理得，解得米，即為280米.故答案為：280.12．（23-24高一下·山西大同·階段練習）如圖，用無人機測量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無人機的航線與塔在同一鉛直平面內，無人機飛行的海拔高度為，在處測得塔底（即小山的最高處）的俯角為，塔頂的俯角為，向山頂方向沿水平線飛行到達處時，測得塔底的俯角為，則該座小山的海拔為；古塔的塔高為．【答案】/【分析】在，根據條件，利用正弦定理得到，延長交于，則，即可求出小山的海拔；在，根據條件，利用正弦定理，即可求出塔高.【詳解】如圖，在，，由正弦定理，又，所以，即，延長交于，則，又無人機飛行的海拔高度為，所以該座小山的海拔為，在中，，又，由正弦定理有，得到，故答案為：，.四、解答題13．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A處的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處的C處的緝私船奉命以的速度追截走私船.此時，走私船正以的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.(1)求線段的長度；(2)求的大小；(3)問緝私船沿北偏東多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多長時間?參考數值：，【答案】(1)(2)15°(3)緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船，最快需要.【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°由余弦定理可求得線段BC的長度；（2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；（3）設緝私船用th在D處追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求得∠CBD＝120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，從而可求得答案.【詳解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB，所以，.（2）在△ABC中，由正弦定理，得，所以，sin∠ACB.又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝15°.（3）設緝私船用th在D處追上走私船，如圖，則有，BD＝10t.在△ABC中，又∠CBD＝90°+30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得.∴∠BCD＝30°，所以角度為北偏東，即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.又，故，解得，即最快需要.14．（23-24高二下·云南·開學考試）如圖，為了測量某塔的高度，無人機在與塔底B位于同一水平面的C點測得塔頂A的仰角為45°，無人機沿著仰角α（）的方向靠近塔，飛行了m后到達D點，在D點測得塔頂A的仰角為26°，塔底B的俯角為45°，且A，B，C，D四點在同一平面上，求該塔的高度．（參考數據:取tan26°=，cos56°=）

【答案】326m【分析】設，根據條件得到是等腰直角三角形，所以，同理是等腰直角三角形，得，進而得，然后根據余弦定理列方程求解可得【詳解】因為A、B、C、D四點在一個平面上如圖，過點作，垂足為．由題意得．在中，又塔底B與C位于同一水平面，所以，所以，又，所以是等腰直角三角形，所以，在中，，又，所以是等腰直角三角形，所以，設，則，又，所以，所以．在中，由余弦定理得，即，得，即該塔的高度為．

B能力提升1．（20-21高二下·四川成都·期中）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，三角形面積公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用換元法即可求解【詳解】中，由余弦定理得，，且的面積為，由，得，化簡得；又，，所以，化簡得，解得或（不合題意，舍去）；因為，所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以；設，其中，所以，又，所以時，y取得最大值為，時，；時，，且．所以，即的取值范圍是，故選：D【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值2．（多選）（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度．一艘游船從南岸碼頭A點出發航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流速度的大小為．設和的夾角為θ（），則（

）．

A．當船的航行時間最短時， B．當船的航行距離最短時，C．當時，船的航行時間為12分鐘 D．當時，船的航行距離為【答案】AB【分析】對于A，首先，從而要船的航行時間最短時，則只需最大，由此即可判斷；對于B，當船的航行距離最短時，的方向與河岸垂直，由此即可驗算；對于C，由公式即可驗算；對于D，由題意，根據向量模的運算公式以及數量積的運算律即可驗算.【詳解】對于A，船的航行時間為（），若要船的航行時間最短時，則最大，也就是說當且僅當時，船的航行時間最短時，故A正確；對于B，當船的航行距離最短時，的方向與河岸垂直，從而，故B正確；對于C，當時，船的航行時間為小時，也就是6分鐘，故C錯誤；對于D，由題意設位移分量為，位移為，則，其中（小時），又因為，，和的夾角為，從而，故D錯誤.故選：AB.關鍵點點睛：判斷B選項的關鍵是當船的航行距離最短時，的方向與河岸垂直，由此即可順利得解.3．（23-24高三上·山東青島·開學考試）海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的遺產”，若要測量如圖所示某藍洞口邊緣，兩點間的距離，現在珊瑚群島上取兩點，，測得海里，，，，則，兩點的距離為