2024-2025學年山東省高三上學期12月數學階段性檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.若集合/={-2,-1,0,1,2},8=x_g<x<2,則NC8=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

2.若）=（X,1）,B=（2,X—1）,則“x=2”是“方〃尸的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數=在上的最小值為（）

A.0B.1C.-+1D.e-1

5.已知數列{。〃}滿足：％=加，加為正整數，。〃+1=<2'〃,若2=2,則

3c1n+1,當〃〃為奇數時

加所有可能的取值的集合為（）

A.{2}B.{16}C.{2,16}D.{2,4,16)

Y2+3

6.已知xeR,則〒^=的最小值為()

G+2

D.亙

A.1B.72C.2

2

71

7.已知。>0,若函數〃x）=sinCOXH---在（0,兀）上有且只有兩個極值點，則公的取值

6

范圍是（）

（47]「471（7101「710-

133J|_33」（33」1_33」

8.祖眶，字景爍，祖沖之之子，南北朝時代的偉大科學家.祖曜在數學上有突出的貢

獻，他在實踐的基礎上，提出了祖眶原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，

被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這

2

兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線。:/一匕=1,若直線歹=0與X=2在第一象限內與

3

雙曲線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞y軸旋轉一周所得幾何體的體積為

C.5兀D.6兀

二、多選題（本大題共3小題）

9.設a,6eR,若”例>0,則下列結論正確的是（）

A.b-a>0B.b+a>0C.a2-h2>0D.a3+h3<0

10.設4/2為復數，則下列結論中正確的是（）

A.若L為虛數，則馬也為虛數

zi

B.匕聞二卜司

C.若k+i|=l,則㈤的最大值為血

D.By4汗+㈤

11.已知函數〃x）的定義域為RJ（x）的圖象關于y=x對稱，且〃X+D為奇函數，則

A./(1)+/(0)=2B./(x)+/(-x)=2

C./(/?)=%D./(2024)=-2024

三、填空題(本大題共3小題)

12.若sin(e+工)=/，貝!]cos(g-a)=.

336

13.在等腰直角V48c中，已知48=/C=6,若。,E滿足詼=2而，詬=的,C。與BE

交于點P,則萬在萬上的投影向量的模為.

14.已知函數=卜+若對任意的看,》2e(0,+oo),且x^x2,都

有必止"4>0成立，則正實數。的取值范圍是___________.

X]—x2

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知正項數列｛叫滿足%-。用=2%%(〃eN"),且%=1.

(1)證明：數列為等差數列，并求數列｛%｝的通項公式；

⑵證明.力出+a2a3+…+。〃%+1<g

16.記V/3C的內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知土a=sm(/0.

csinC

⑴求A；

(2)。是8c上的點，AD平分/BAC,且40=2,BC=3,求V48c的面積.

17.如圖，已知等腰梯形4SC￡>,NB=4,C￡>=6,/D=右,E,尸分別為的中點，沿

線段跖將四邊形/瓦切翻折到四邊形EFNM的位置，點尸為線段NC上一點，且滿足

NP=-NC.

3

(1)證明：3P〃平面EEW；

(2)設二面角的平面角為。(0<6<兀)，在四邊形/￡7叫翻折過程中，是否存

在6,使得機與平面E3P所成角的正弦值為誓，若存在，請說明理由.

18.已知函數/(x)=ax+xln[l+|^-(l+x)ln(l+x).

⑴若曲線》=/(x)在點(OJ(O))處的切線與x軸平行，求。的值；

⑵設函數g(x)=M(￡|,給出g(x)的定義域，并證明：曲線y=g(x)是軸對稱圖形；

(3)證叩+4e-(〃eN*)

19.對于一個“元正整數集§=｛1,2,…,n｝,如果它能劃分成]個不相交的二元子集

｛%,。｝，=1,2,-一,|^的并集，即$=｛%,可｝。｛?也｝。…5,且存在后eN*,使得

%+6產3*,則稱這個偶數"為可分數.例如，由于二元子集｛1,2｝滿足1+2=3,則稱2

為可分數.

(1)判斷4和6是否為可分數，并說明理由；

(2)求小于81的最大可分數；

(3)記小于3"(〃eN*)的可分數的個數為為，令b”告,記S”為數列也｝的前”項和，

3

證明.s〃<5

答案

1.【正確答案】B

【詳解】依題意，^05={-2,-1,0,1).

故選：B

2.【正確答案】A

【詳解】&〃B=x(x-l)=2,解得：x=2或x=-l,

所以“x=2”是“1〃的充分不必要條件，

故選：A

3.【正確答案】B

【詳解】由/(x)=e，-x,求導可得/■'(x)=e=l,令/卜)=0,解得尤=0,

當T<x<0時，f(x)<0,/(無)單調遞減；

當0<x<l時,r(x)>0,/(x)單調遞增.

所以〃可3=7?⑼=L

故選：B.

4.【正確答案】C

x-1

【詳解】函數y=/(x)e=Jcosx的定義域為R,

e"+1

-x_ii_x

f(-x)=-e-*<05(-；0=」e^0立=-/(X)，函數〃x)是奇函數，其圖象關于原點對稱,

e+1e+1

排除BD；

e2―1

而/(2)=方一cos2<0,排除選項A,選項C符合題意.

e+1

故選：C

5.【正確答案】C

【詳解】依題意，“”是正整數，

當與是奇數時，%=3%+1=2,無解；當名是偶數時，4*=2,解得%=4；

當。2是奇數時，。3=3出+1=4,解得。2=1，顯然可不可能為奇數，否則。2=3%+1為

偶數，

因此q為偶數，%/=1，解得%=2；

當的是偶數時，%=4=4，解得。2=8,若可為奇數，則％=3%+1=8,無解,

若可為偶數，則出=3=8，解得%=16,

所以機所有可能的取值的集合為{2,16}.

故選：C

6.【正確答案】D

2,〔1

【詳解】令J—+2=1/后，則/一=JY+2+I~^==t+—，

“+2Vx+2t

而函數V=t+:在［啦,+8)上單調遞增，

所以當仁血，即x=0時，4A取得最小值逑.

6+22

故選：D

7.【正確答案】A

兀兀

【詳解】由函數/(x)=sina)x+—，則求導可得/'(X)=GCOSCf)X-\—

66

令f'(x\=0,解得刃x+巴=巴+左兀(左EZ),化簡可得x=-^-+如(左￡Z),

623(oco

27rIT47r

當左=一1時，占=----；當左=0時，x=—；當左=1時，x=—；當上=2時,

3。23a)33。

7兀

27r7T八4兀裊八解得夫。吟

由題意可得一尹＜0,0＜生＜兀0＜—〈兀，

3co3a)3a)

故選：A.

8.【正確答案】D

2

【詳解】雙曲線C:/-匕=1在第一、三象限的漸近線/:?-y=0,

3

過點。作軸于A,交直線/于點c,

在線段N0上任取點P,作尸5，/軸于3,交雙曲線及直線/分別于點D,E,

依題意，點。(2,3),C(J§,3),令點尸(2,"),0W〃W3,〃(尤】㈤,E(x2,辦)，

則"1+3"十2,點叱繞『軸旋轉一周所得同心圓面積分別為叫IM，

對應圓環面積口;-心；=兀為定值，由祖胞原理知，平面封閉圖形OCQ”繞了軸旋轉

一周

所得幾何體的體積匕等于底面半徑為1，高為3的圓柱的體積，則匕=叱3=3兀,

所求體積的幾何體可視為矩形O/QN繞y軸旋轉一周所得圓柱體積%減去匕,

再減去RbCMC繞V軸旋轉一周所得圓錐體積匕，而K=7cx22x3=127r.

匕=；x兀x(6)2x3=3兀，

所以所求的體積為%-匕-匕=6兀.

故選：D

9.【正確答案】BC

【詳解】由。一例＞0,可得0＞同20,

對于A,由于。＞網26,所以6-a〈0,A錯誤；

對于B,由于。＞碼2-6,所以6+a＞0,B正確；

對于C,由于。＞碼20,所以”2＞M，則/一62＞O,c正確;

對于D,由于。＞|6|N-6,所以/＞_/，/+g3＞0,故口錯誤.

故選：BC

10.【正確答案】ABD

12———

【詳解】對于A,因為一=一為虛數，為4為實數，所以馬為虛數，所以馬也為虛

zi44

數，所以A正確；

對于B,設馬二〃+Zri,Z2=c+片(。,仇GDER),貝!J

Z]-z2=(Q+Z?i)?(c+di)=(〃c-bd)+(〃d+6c)i,

zx-z2=(c-d\\=(ac+bdU(^c-ad1,

所以E?z2|=^ac-bd^2+^ad+bc^=yl(ac)2+(bd)2+(ad)2+(be)2,

22222

|^-z21=(ac+bd^+(be-ad)=)+)+)+),

所以2囚二卜司，所以B正確，

對于C,當4=-2i時，滿足|4+i|=l,此時㈤=2＞四，所以C錯誤；

對于D,設4/2對應的向量分別為OZ1,OZ2,則由向量三角不等式得

|西_區卜囤卜體

所以I4-Z2Iqzj+㈤恒成立，所以D正確,

故選：ABD

11.【正確答案】BC

【詳解】對于A,由〃x+1)為奇函數，得〃x+l)+/(r+l)=O,則/⑴=0,

由“X)的圖象關于N=x對稱，7(0)=1,因此〃1)+/(0)=1,A錯誤；

對于C,點(xj(x))關于丁=》的對稱點是(/(尤),x),由〃x)的圖象關于y=x對稱，

得點(〃x),x)在函數“X)的圖象上，/(/(x))=x,C正確；

對于B,由〃x+l)為奇函數，得于(X+1)+〃T+1)=0,/(2-/(x))+/(/(x))=0,

于是“2-/(x))=-x,即點(2-/⑴,-X)在函數/(x)的圖象上，

則點(r,2-7(x))在函數〃x)的圖象上，因此〃-x)=2-/(x),BP/(x)+/(-x)=2,B

正確；

對于D,由/(X+1)+/(T+1)=0,得/(尤+2)+/(-無)=0,而于㈤+〃T)=2,

貝I]f{x+2)-/(x)=-2,因此/(2024)=/(2024)-/(2022)+/(2022)-/(2020)

+-??+/(4)-/(2)+/(2)-/(0)+/(0)=-2x1012+1=-2023,D錯誤.

故選：BC

12.【正確答案】亞4百

33

【詳解】由sin(6Z+—)=-，得cos(—-<z)=cos[—~(a+=sin(a+4=-.

3362333

故也

3

13.【正確答案】3

【詳解】依題意，以點A為原點，射線/8,/c分別為x，y軸非負半軸建立平面直角坐

則/(0,0),3(6,0),C(0,6),由AD=2DB,AE=EC,得。(4,0),E(0,3),

由點尸在BE上，設AP=25E=（-6/l,3；l）,則點尸（6-6432）,

于是麗=（2-6尢32）,而覺=（一4,6）,由點P在CD上，得加〃皮,

因此6(2-6㈤=-4x32,解得2=］1,點尸(3,；3),—/尸=(33,n，又—42.=(6,0)

\AP-AB\

所以N在冠上的投影向量的模為

\AB\3

故3

14.【正確答案】（0,e]

［詳解］g(x)=xf(x)=(x-l)ex-a—+xlnx-x求導可得g'(x)=xe"-aInxex,

令yxefO,令%（t）="alnf,求導可得〃?）=寧，令〃（。=0,

當0<，<a時，則單調遞減；

當a<f時，則單調遞增.

所以，⑺臉=a-alna,即g^x）^=a-a1na,

由題意可得函數g（x）單調遞增，則g'3mln=a-alna20,

由a>0,貝!Jl-lna〉0,解得0<a?e.

故答案為.（0,e]

15.【正確答案】（1）證明見詳解，氏=二二，“eN*

2n-l

（2）證明見詳解

【詳解】（1）由題意得。”>0,??+1>0,

因為一a”.=2%+~“eN"）,所以=2,又一=1,

an+\ana\

因此，數列]:，是以1為首項，2為公差的等差數列；

IJIij—=1+（H-1）X2=2H-1,

%

所以"〃=C]，HGN*.

2〃一1

11（11A

（2）由（1）得：“心=（2"一1）（2〃+1）=5〔—}

所以的2+叩3+…+*—一?+!}一口+…+（占土1」

-2C2n+lJ<2'

JT

16.【正確答案】(l)/=§

(2)—

2

【詳解】(1)因為j=sm、-8),由正弦定理得sinC-sin8=sin(4-2),

csinCsinCsinC

所以，sinC-sin5=sin(^4-5),

在VZ3C中,sinC=sin(/+3),

所以，sin5=sin(4+5)—sin(4—5)=(sin/cosB+cosZsin5)一(sin4cosB-cos4sin4)

=2cossin5,

因為A、5G(O,7i),所以，sin5>0,cosA=—故4=—.

v723f

(2)由題意可得S^ABD+SMCD=S/\ABC,

所以，—c-ADsm—+—b?^Dsin—=—Z?csin—,即—(/?+(?)=，

2626232V74

所以，b+c=—be，

2

因為q=3,由余弦定理可得。2=62+/—?。館51=/+。2—慶=9+。)2_%。，

即7%2-36c=9,整理可得伍c『-4bc-12=0,

因為6c>0,解得bc=6,因此，VN3c的面積為/的,=：6csinN=.

17.【正確答案】(1)證明見解析

(2)存在，理由見解析

2

【詳解】(1)在線段板取一點0,使得NQ=]NF,

—?2—?2

因為NP=NC,所以PQ//FC,^PQ=-FC,

因為產。=J。。=3,￡5=,45=2,EB//FC,

22

2

所以所以EB//PQ,且￡8=尸。，所以四邊形￡8尸。是平行四邊形，

所以BP//EQ,由于3尸（z平面EFM,EQu平面所以8尸〃平面EFM.

N

(2)存在，理由如下：

因為等腰梯形分別是的中點，

所以EFLFN,EFLFC,FNcFC=F,FN,FCu：^^NFC,

所以所，平面NFC,以下為坐標原點，網,/力所在直線分別為x軸,

z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

由題意知，EF=EB=EM=2,FC=FN=3,ZNFC=0,

所以尸(0,0,0),￡(0,0,2),河(2,0,2),N(3,0,0),5(2cos0,2sin6?,2),C(3cos6?,3sin0,O),

/\—?2——?

設尸因為NP=§NC,

2

所以(％-3,歹/)=§(3?05。-3,3sin0)=(2cos3-2,2sin8,0),

解得％=2cos0+l9y=2sm0,z=0,所以P(2cos6+L2sine,0),

所以FM=(2,0,2),EB=(2cos^,2sin0,d),￡P=(2cos。+1,2sin氏一j,

設平面￡AP的法向量為五=(x/,z),

n-EB=2cos3x+2sin0y=0

則一/、.，

力?￡/>=(2cos。+1)x+2sin3y-2z=0

設橋與平面所成角為。，

jr

解得.。八因為。＜"兀，所以

18.【正確答案】(l)a=l

⑵函數g(x)的定義域為(-叫-1)50,+8),證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)因為/(%)=ax+xln[l+|^—(l+x)ln(l+x),

,f'(x]-a+\nx+2+-----In(1+x)-1=———FIn+a-\

則,L22iJI>尤+22尤+2

1H---

2

由題意可知，/'(0)=。-1=0,解得Q=l.

(2)

11；

g(x)=才x-+-ln|1+—I-11+Hln(1+Ha+ln[1+—7+l)n1+

XXV2rXXI2x

對于函數〃x)=ax+xln1+—_(1+x)ln(l+x),

I2

x+1>0

有1+X>0，解得%>-1,即函數的定義域為(-1,+8),

2>

1Y+]

對于函數g(x)=V",則一>一1,可得---->0,解得x<—1或x>0,

IXX

所以，函數g(x)的定義域為(f,T)u(O,+s),故該定義域關于直線x=對稱,

因為i2x+1ix

g(-l-x)=^+lnfl+^---+xln[l+^—=a+ln---------bxIn-----

I-x-12x+2x+1

=a+ln(2x+l)-ln(x+l)-ln2+xlnx-xln(x+l)

=a+ln(2x+l)-ln2x-ln(x+l)+(x+l)lnx-xln(x+l)

—t7+In[1H-----|+(x+l)lnx-(x+l)ln(x+l)

I2x)

-(x+l)lnfl+^j=g(x),

—tz+InI1H-----

I2x

故函數g(x)的圖象關于直線苫=-;對稱，所以曲線y=g(x)是軸對稱圖形.

(3)當4=1時，/(x)=x+xlnH+|^_(x+1)ln(x+1),

貝!=上+ln-土4A(x)=—

'7x+22x+2'7x+22x+2

22x+21_x

貝l"x)=

(x+2)2x+22(x+l)2(x+l)(x+2)2'

當x>0時，〃(x)>0,則函數0(x)在(0,+司上為增函數，此時，/z(x)>/z(O)=O,

BPr(x)>0,所以，函數/(x)在(0,+功上為增函數，此時，/(%)>/⑼=0,

取x=L可得，+Lln(l+與一11+11J1+口>0,

于是1+山+曰一("+1加卜+口>0，即+,

所％W>〔一J

1丫2n+ln2〃+l(1

故1+—