2024-2025學年廣東省廣州市高一上學期期末數學檢測試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.已知集合/若＜0,，3={x|x—2W0},那么集合/口3=()

A.(一8,引B.(-鞏3)C.[2,3)D.(-3,2]

一什3sina+cosa/、

2.若tana=—,r則M二---------二()

4sina-cosa

A.-1B.1

C.-7D.7

3.為加強環境保護，治理空氣污染，某環保部門對轄區內一工廠產生的廢氣進行了

監測，發現該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量四mg/L)

與時間t(h)的關系為°=01匕如果在前5個小時消除了10%的污染物，那么污染物

減少19%總共需要花的時間為()

A.8小時B.9小時C.10小時D.11小時

4.把函數V=sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的3，縱坐標不變，再把所得圖象

向右平移W個單位長度，得到函數夕得到函數y=/(x)的圖象，則〃x)=()

A.B.sm[+"C.sm[2x-^D.sin^x-^

TTIT

5.函數/■00=25皿8+0),(0＞0,-5＜。＜W)的部分圖象如圖所示，則0M的值分別是

()

6.若函數/(x)=6：二I*會,在R上是增函數，則實數0的取范圍是()

ICI,X，

C.(1,2)D.(0,+s)

7.平面直角坐標系xOy中，點尸(%,%)在單位圓。上，設40尸=&,若

|兀3兀?|7C?3.,,/+、r/\

且sm[a+zj=《，則/的值為()

V3V2V2

10而而

8.函數了=/(無)的定義域為R,若y=/(x+2)與y="無-2)都是奇函數，則()

A.V=/(x)是偶函數B.V=/(x)是奇函數

C./(x)=/(x+4)D.>=/(x+6)可是奇函數

二、多選題(本大題共3小題)

已知函數/(x)=2cos(2x+S則下列選項中正確的是(

9.)

A.V=/(x)的最小正周期是兀

7T

B.y=/(x)在0,-上單調遞減

c.y=/(x)滿足=2-xj

7?

D.>=f(x)的圖象可以由>=2COS2X的圖象向右平移力個單位得到

10.下列說法正確的有()

X—1

A.函數/(%)二—；關于點P(T1)對稱

x+1

B.函數7'5)=1<^(%-1)+1(0>0,。片1)的圖象過定點尸(1,1)

C.方程1]=/在區間(0,1)上有且只有1個實數解

4

D.若x>l,則/(x)=2x+―T的最小值為40+1

X-Y7

11.已知函數〃x)=eX+W，M?=/(log32),Z)=/(log43),c=/(l),則()

A.y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱B.了=/(工)在(-?>,1)上單調遞減

C.a>b>cD.b>a>c

三、單選題(本大題共1小題)

12.已知正數x，，z,滿足3、=4，=6Z,則下列說法不正確的是（）

111

A.—I--=—B.3x>4y〉6z

x2yz

3

C.x+y>(—FV2)zD.xy>2z2

四、填空題(本大題共4小題)

2TC.2萬

13.cos-----sm——=.

1212----------------------

14.已知函數/(x)=ln(Jl+%2-x)+l,/(q)=4,則/(—q)=.

15.若Gcos[5—a)-sina=^^,則sin^2or+^=.

16.設>=〃x)是定義在上R的奇函數，且當尤>0時，/(x)=^+1,則關于x的不

23

等式/(%)>三2的解集為____________.

5%

五、解答題（本大題共6小題）

17.已矢口一]<0,sinx+cosx=：

(1)求sinx-cosx的值;

⑵求^的值?

18.設函數/(x)=sin2x+cosx+a.

17

⑴若"/（X）41對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍;

jrIT

⑵若關于x的方程/（x）=0在-§，5有實數解，求實數。的取值范圍.

19.設函數f{x}=2cos2x+2>/3sinxcosx-1.

兀7兀

（1）在給定的平面直角坐標系中，用“五點法”畫出函數/（X）在區間上的簡圖

_66_

（請先列表，再描點連線）；

⑵若O；，求Sin"j+2“。+段）的值.

20.為了預防甲型HR1流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.己知藥物釋放

過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間小時）成正比；藥物釋

放完畢后，y與f的函數關系式為＞=為常數），如圖所示.

（1）求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量了（毫克）與時間f（小時）之間的

函數關系式；

（2）藥物釋放完畢后，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可

進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能回到教室？

21.函數/（尤一］（。＞0且是定義在R上的奇函數.

（1）求。的值，并判斷“X）的單調性，并證明；

⑵若存在工￡1,2，使得4成立，求實數2的取值范圍.

22.已知函數〃(%)=卜1""°,v(x)=2&-V.

[~2x,x<0

(1)解關于X的不等式"(x)Vv(x)；

(2)若關于x的方程”(x)+v(x)+|w(尤)-v(無)|=26+4有三個實根%<尤2<“3.

(i)求毛；

11

（ii）求［［+1—［的取值范圍.

㈤同

答案

1.【正確答案】B

【分析】求出集合42,利用并集運算即可.

【詳解】因為/=*言<0,，

所以^|<0o(x-3)(x+3)<0,

解得/=何_3Vx<3},

由B=^x\x-2<(^=\x\x<2^,

所以/uB={x1-3<x<3}1{司xV2}={x|x<3}=(-a?,3),

故選：B.

2.【正確答案】C

【分析】分子分母同除以cosa,再代入求值即可.

【詳解】根據題意得：

3+1

sina+cosatancr+14)

sina-cosatana-1

4~

故選：c.

3.【正確答案】C

【分析】根據前5個小時消除了10%的污染物，由。=(1-0.1)。。=“^、求得上再

設污染物減少19%所用的時間為t,由(1-0.19”。=。。/'求解.

【詳解】因為在前5個小時消除了10%的污染物，所以。=(1-0.1)為=為院、

解得左=一In0學.9，所一以一ln0.9

設污染物減少19%所用的時間為t,

In0.9t_t

5n(09)5

所以(1-0.19)po=O9po=p0e'=p0e-=p0(0字，

所以(=2,解得f=10.

故選：C.

4.【正確答案】C

【分析】利用三角函數圖象變換規律可得出結論.

【詳解】把函數V=sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的。，縱坐標不變，可得到

函數y=sin2x的圖象，

再把所得圖象向右平移;個單位長度，可得到y=sin2、-.=

故選：C.

5.【正確答案】A

【分析】

根據〃x）的圖象求得7=%，求得。=2,再根據〃||）=2,求得夕=-2+21br#eZ,

求得夕的值，即可求解.

【詳解】

根據函數“X）的圖象，可得（Q7=S177"一（一T9T=a羊仃，可得7=%，

所以。號=2,

又由/（區）=2,可得sin（2x'+e）=l,即區+。=工+2版?，左eZ,

121262

7T

解得r=——+2k兀,kjZ,

因為一3<e<3，所以8=-9.

故選：A.

6.【正確答案】B

【分析】要求分段函數的兩段均遞增，且左側函數值不大于右側函數值.

2-a>0

【詳解】由題意。>1,W-<a<2,

/、3

（2-?）x2+l<a

故選：B

7.【正確答案】C

【分析】利用兩角和差的余弦公式以及三角函數的定義進行求解即可.

n(nA

/.ClH---4-G(2—,71),

.(3/吟4

I4；5I4；5

7l\71(7i.(n\.R

貝Ux=cosa=cosaH———=cos(X+—cos―Fsma+—sin—

04J4jI4j4I4)4

4五3五短

------X--------1——X-------=----------

525210

故選C.

本題主要考查兩角和差的三角公式的應用，結合三角函數的定義是解決本題的關鍵.

8.【正確答案】D

【分析】由題意可得，（x）關于（一2,0）和（2,0）對稱，即可得至IJ/（無）=/（8+x）,即可判

斷.

【詳解】因為y=〃x+2）是奇函數，所以〃-x+2）=-〃x+2）,

因為＞=〃x-2）是奇函數，所以/（r-2）=-y（x-2）,

即〃x）關于（-2,0）和（2,0）對稱,

所以/(一尤)+/(4+x)=0,/(-尤)+/(-4+無)=0,

得/(-4+x)=〃4+x),得/■(x)=/(8+x),

令g(%)=sin(7ix),/(x)=cos—,

g(x+2)=sin［兀(x+2)］=siruix,g(x-2)=sin］兀—=sirwix,滿足條件，

而/(x+2)==-sin：x,/(x-2)=cosXn=sin-^-x,滿足條件，

但g(x)=sing)是奇函數，/(x)=cos子是偶函數，故AB都錯；

且〃x+4)=cos無(：4)=-cos｝豐“X),故C錯；

因為/(-尤-2)=-/。-2),所以/(-x-2+8)=-/(x-2+8),

即/(r+6)=-/(x+6),所以y=〃x+6)可是奇函數.故D對

故選：D

9.【正確答案】AB

【分析】結合余弦函數的圖象變換、周期、對稱性以及單調性一一判斷各選項，即

可得答案.

“，2兀2兀

【詳解】由周期公式得7=1=可=兀，故A對；

畫2

因為y=cosx在［2E,2E+7tkeZ單調遞減,

qrqrSjr

所以令2E<2x+—<2左兀+Tt,kGZ,得左兀---<x<kTi-\------,keZ,

61212

取后=0時，而10,父是「白,哥的子集，故B對；

1212L3jL1212J

/1+x]=2cos[2]+x[+[=-2sin2%

?=2sin2r,故，[+,W/[已-。，故C錯；

由y=2cos2x的圖象向右平移方個單位得到了=2852(x4)=23,-。，

故D錯

故選：AB

10.【正確答案】ACD

【分析】對于A選項：分離常數，結合反比例函數即可判斷；對于B選項：由對數

型函數的定點知識即可判斷；對于C選項：結合零點存在定理即可判斷；對于D選

項：利用基本不等式計算即可.

【詳解】對于A選項：/(x)===匕1=1-々，該函數可由反比例函數>=’先向

左平移1個單位，

再向上平移1個單位，故〃X)=二的圖象關于對稱，故選項A正確；

對于B選項：由/(x)=Iog”(x-l)+l(a>0,aHl),令x-l=l,即x=2,

則〃2)=log.(2-1)+1=1,故函數“X)的圖象過定點尸(2,1),故選項B錯誤；

對于C選項：由得/一&]=0,令/⑴=/-&],

易知〃x)=/一在(0,1)上單調遞增且圖象連續不斷，

因為〃0)=()2-]；；=一1<0,/(l)=l2-Qj=1>0,所以〃0)?/(1)<0,

所以方程&：=/在區間(0/)上有且只有1個實數解，故選項C正確；

一4

對于D選項：因為所以x-1>0,------>0,

x-1

44I4~I—

所以/(x)=2x+-------l=2(x-l)+——+1>22(x-l)x——+1=472+1,

x-1x-1AVx-1

44

當且僅當2(x-l)=—；時，即x=l+^，/(x)=2x+—T有最小值為40+1.

x-1x-17

故選項D正確；

故選：ACD.

11.【正確答案】ABC

2

【分析】根據對稱性判斷A選項，令e』(/e(0,+oo)),所以煩=/+e>根據，⑺單

調性即可判斷了(X)單調性即B選項，根據單調性即可判斷C和D選項.

【詳解】因為/(x)=e'+/y,所以+

ee

因為g(-x)=e-+』=3+=g(x),

ee

所以/(x+1)的圖象關于直線X=O對稱，

所以y=/(x)的圖象關于直線X=1對稱，故A選項正確；

2

令e*=f?e(0,+oo)),所以％(/)=/+e1,

如圖，對勾函數人⑺在(0,e)單調遞減，所以>=〃x)在(-8,1)上單調遞減，故B選項

正確;

因為需罟旨性/*導圖抒上

1,

所以log32<log43,log32<log43<1,

所以a>b>c,故C選項正確，D選項錯誤.

故選：ABC.

12.【正確答案】B

【分析】先根據對數定義把指數化為對數，再根據對數運算結合基本不等式逐個運

算判斷.

【詳解】設3*=4,=6,=%>1,貝1x=log3m,y=log4m,z=log6m

6

對A：-+=logm3+110g?,4=logm3+logm2=log,,,6=-,A正確;

x2y2z

1r；1=_1_=_1_

對B：由題意可得：了一碣3，同理可得：tog76

3x346

..logm3log,,,4410gm3-3log.,4log.,81-log,“64,°

,341212

log”,4_log,”6=310gM4-2k)g,“6=log,”64-啕36>0

46-12-12

...,貝ij3x<4y<6z,B錯誤；

346

對c...￡±2/+}=12^+12^=9+鱉=3+蚣+L晝一+&

?zzzlog6mlog6mlg3lg42lg32lg22

3

x+y>(—+y[i)z,C正確；

對D：孫=1唯%<1嗚〃?=46,普6=(炮2+炮3)[1作3Jg2?21〉2

2

zlog6mlog6mlg3lg421g2xlg32(lg2lg3J

xy>2z2,D正確;

故選：B.

13.【正確答案】走

2

【分析】利用二倍角余弦公式直接化簡，結合特殊角的三角函數值可得答案.

【詳解】cos2--sin2—=cos—=

121262

故也

2

本題考查二倍角余弦公式，是基礎題

14.【正確答案】-2

【分析】發現f(x)+f(-x)=2,計算可得結果.

【詳解】因為f(x)+f(-x)=ln(Jl+x2一x)+l+ln(Jl+x2+x)+l=>(1+/-/)+2=2,

.?.f(a)+f(-a)=2,且f(a)=4,貝！|f(-a)=-2.

故答案為-2

本題主要考查函數的性質，由函數解析式，計算發現“x)+f(-x)=2是關鍵，屬于中檔題.

15.【正確答案】一:

根據兩角和差的正弦、余弦公式化簡6cosc-a]-sina=F-為sin《+o

利用誘導公式及二倍角公式求解.

【詳解】?/V3COS-sin?,

V3..4~1

V3(—cosa+—smcr)-sin(7=—y,

即——cosa+—sina=——

223

/.sin但,

(3)3

故)

本題主要考查了兩角和差的正余弦公式，誘導公式，二倍角公式，屬于中檔題.

16.【正確答案】(0,+e)

【分析】求出分段函數的解析式，對x分類討論并構造函數，利用單調性即可算出.

【詳解】結合題意：若”0,則-x>0,

所以/(f)=』+?=2，+3)

因為y=/(x)是定義在上R的奇函數，

所以-/'(x)=/(r)=1+==2x+3"

即/(x)=-2%-3\x<0,

因為，=/。)是定義在上R的奇函數，所以"0)=0,

11c

---1—,x>0

2xr

所以〃x)=0,x=0

-2x-3x,x<0

當x<0時，f(x)=-T-y<0,而［>o,此時不滿足

27

當x=0時，/(x)=0,而1>0,此時不滿足/(x)>j7；

2112

當』時’要使小）＞子只需不

則g（x）=0+1|）在R上單調遞增，且g⑼=用+0=2,

而[目+1[]＞2=g（x）＞g（O），解得xe（0,+s）.

即〃x）＞A的解集為（0,+8）.

故答案為.（0,+8）

7

17.【正確答案】（1）-不

25

⑵〒

【分析】（1）根據題意，結合同角三角函數的關系，借助平方差，平方和公式計算

即可;

（2）由（1）問，將一21.2的分母展開代入即可.

cosx-sinx

1J24

【詳解】(1),/sinx+cosx=-,/.(sinx+cosx2}=——,角犁得：2sinxcosx=-----

5v72525

497

sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=——,解得：sinx-cosx=±—,

7255

兀./

,/——<x<0,sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,sinx-cosx=——.

25

717

(2)由(1)矢口，sinx-cosx=--,sinx+cosx=—,z.cosx-sinx=—?

.1___________1____________1_25

22

cosx-sinx(cosx-sinx)(cosx+sinx)2X17.

55

18.【正確答案】⑴[2,3]

【分析】(1)令"COSX,可得/?)=-產+f+a+l,轉化為任意r,l</(r)<—

恒成立，結合二次函數的性質，求得函數的最大值和最小值，列出不等式組，即可

求解；

(2)根據題意，轉化為a+l=/T在上有實數解，結合二次函數的性質，求

得函數的最大值與最小值，列出不等式，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數/(x)=sin?x+cosx+a=-cos?x+cosx+a+1,

令f=cosxe［-l,l］,可得/?)=-產+/+a+l,

1717

因為對一切實數X恒成立，即對任意的此［TI］,1V/0V］恒成立，

又由函數/?)=-尸+/+O+1的圖像開口向上，對稱軸為/=g,

當/=：時，"<U=a++當，=一1時，

a-\>\

則517，解得2VaV3,所以實數。的取值范圍［2,3］.

a+—<——

［44

兀71

(2)解：由尤e-j,-,令，=cosxe［0,l］,

7TIT

要使得方程關于X的方程/(x)=0在-§,萬有實數解，

即/⑺=0在fe［0,1］上有實數解，即a+1=/2_/在。［0,1］上有實數解,

令g(0=廠一。€［°，1］，由g')=0--)2--，

可當y=g⑺在［0,；］上單調遞減，在［g,l］單調遞增，

當，=!■時,g(0mm=-；，當"0或1時，g(，)max=°，

貝！］-：Va+lV0,解得一即實數。的取值范圍為［一。,一1］.

19.【正確答案】(1)圖象見解析；

【分析】(1)利用三角恒等變換公式化簡求出〃x)=2si42尤+富，利用“五點”作圖

法列表作圖即可;

（2）通過；得到sin,+￡[=：,并借助誘導公式化簡sin,+[卜2cos（e+]

計算即可.

【詳解】（1）結合題意可得:

/(x)=2cos2x+2A/3sinxcosx-l=cos2x+1+百sin2x—1=Gsin2x+cos2x,

/./(x)=2sinf2x+￡j,

列表如下:

c兀713715兀

2.XH—712兀

62~2T

715兀2兀11717兀

X

6nT~\2~6

/W10-101

區間內的圖象如圖所示:

(2)由(1)問可得：/(x)=2sinf2x+^-

.?./f-^2sinf2x-+-^1,gpsinf<9+-^=-

U；I26j3I6)6

sin[夕+^J+2cos[夕+/J=sin[e-^]+2cos[2c+oR]=sin[6七]42cos.

gpsin[9+；]+2cos[o+g]=sin[。｛1+2sin[et]=3sin[。七]上.

10^,(0</<0.1)

z-0.1.

20.【正確答案】（1?=<1

16

(2)0.6.

【分析】（1）確定函數模型，利用待定系數法求解即可;

（2）要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，只需y=d<0.25,計

算即可.

【詳解】（1）結合圖象，當時，由藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中

的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比，故可設直線為>=〃，

因為在（0.1,1）在〉上，所以1=0.1左，解得左=10,

所以當年［0,0』時，此時的函數關系為>=10/；

t-a

當fe［0.1,+8）時，y與/的函數關系式為yA

由圖可知經過（0.1,1）,所以1［上］，解得a=0」,

所以當”［0.1,+⑹時，y與/的函數關系式為y=

所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間f（小時）之間的

10?,(0<f<0.1)

函數關系式為y=（1\

,(?>0.1)

（2）藥物釋放完畢后，要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下,

只需>=<0.25?解得/>0.6.

所以從藥物釋放開始，至少需要經過0.6小時,學生才能回到教室.

21.【正確答案】（1）。=2,單調遞增，證明見詳解；

「10）

⑵L

【分析】（I）由奇函數的性質可得/（0）=0,求出。的值，再利用函數奇偶性的定義

驗證即可，判斷出函數“X）在R上為增函數，然后利用函數單調性的定義證明即

可；

（2）由（1）知〃x）在；,2上單調遞增，得/（x）>0,問題轉化為

2X+1-4

2>（2^-1）---+1,利用函數單調性求出最值得解.

/W2—1

【詳解】（1）由題意，得/（0）=1-￡=0,解得。=2,

當q=2時，/（x）=2--i-,則/（-“）=2-^7^=2-^^=8）,

2+1-------

2X

所以函數〃無）為奇函數，合題意，故。=2.

函數〃尤）為R上的增函數.證明如下：

任取且玉<尤2，則

4（4、4暫-2,2）

/（X）-/（X）=2------------2------------=,'、/_j

I"V2）23+1（2^+1）（2再+1）（2覆+1）

???王<12，1.2國<2出,即2"1一2"2<0,2項+1>0,2句+1>0,

所以〃xj-7'優）<0,即/'（不）</（9），

所以函數“X）為R上的增函數.

（2）由（1）得〃x）在1,2］上單調遞增，：J（x"d=6-4/>0,

存在xe；,2，使得0（工”22-4成立，即

JT

2x+1-4（2-2）（2+1）

2>

/（x）F-l

令”2"一回收-1,3］,易知y="：+l在［拒-1,3］上單調遞增,

oo1n°1n

所以/——+143—+1=一.即（2:1）—-+1V；,當且僅當”2時等號成立,

t532—13

，42可,所以實數2的取值范圍為了，+00

思路點睛：第二問，由/（尤）在；，2上單調遞增，得［（x）>0,將原問題轉化為

2x+,-4（2、-1）_亍g+1,只需九上卜2,-1卜/^+1］即可，換元令

2>

“X）

:2，-回收-1,3］,丁="/+1在座_冏上單調遞增，求出最大值可得彳的取值范圍.

22.【正確答案】（1）［一

（2）（i）退=°；（仃）（券，+8）

【分析】（1）根據題意，分xNO和x<0,兩種情況討論，結合不等式的解法，即可

求解；

(2)(i)由(1)得到〃(x)=〃(x)+v(x)+|〃(x)-v(x)|,轉化為人(%)=2辦+4有三個實

、