2024-2025學年湖南省高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.設集合，=MZ.*6<0},8=*卜+2|<3},則（）

A{JC|—2<x<1}B{-1，。}Q{x|-5<x<3}口{-1,。4}

2.“機=0”是“直線4：機x+4y+2=0與直線4：x+%y+l=0垂直”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列說法錯誤的是（）

OC=-OA+-OB

A.若空間中點°,A,B,C滿足44,則A,B,C三點共線

—.1—.1—1—.

AP=——OA+-OB+-OC

B.對空間任意一點°和不共線三點A,B,C,若488,貝［|尸，

A,B,C共面

C.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面

D.G=（LLx）,b=（3,x,9）,若一歷，則a與B的夾角為銳角

4.在長方體"BCD-481GA中，已知48=8C=2,‘4=支E為4°的中點，則直線

CE與5。所成角的余弦值為（）

叵叵V42V42

A.42B.21C.42D.21

5.拋物線/=2px（p>0）的焦點為尸，°為坐標原點，A為拋物線上一點，且

\AF\=AOF\,AON尸的面積為4,則拋物線方程為（）

A.V=8xB./=以

2_15

C./=16xD.>2、

6.已知圓G：（i）2+（yT）2=i與圓G：（x+3）+（y-2）=1,過動點"（加，〃）分別作圓

0、圓G的切線M4,MB（A,8分別為切點），若口劃=|兒向，則療+1的最小值是

（）

8112116949

A.68B.68C.68D.68

7.如圖所示，在直四棱柱-4臺￡2中，底面為菱形，AB=\,

ZDAB=-RD-

3,動點尸在體對角線82上，直線/尸與平面必。所成角的最小值為4,則

直四棱柱ABCDfCB的體積為（）

V3V5V6

A.2B.2C,V5D.4

8.己知片,片分別為雙曲線右焦點,。為第一象限內(nèi)一

點，且滿足M=2c,修|=九線段鳥2與雙曲線。交于點。，若F『=5F0,則雙

曲線C的離心率為（）

273V5M

A.GB.3C.2D.2

二、多選題（本大題共3小題）

9.己知函數(shù)/3=2.（5+0）+13>0,0<9<兀）的部分圖象如圖所示，則（）

B.0=2

C."x）的圖象關于點I'”對稱

小+?]X=-

D.I6J的圖象關于直線4對稱

10.如圖、在正四棱柱/8CO-N0CQ中，點尸為線段42上一動點,

=2/8=2,則下列說法正確的是（）

A.直線平面8CQ

]_

B.三棱錐尸一8Go的體積為§

C.三棱錐C-8G。外接球的表面積為6兀

兀

D.存在點尸使直線尸￡與平面所成角為§

11.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點片（&3）,乙（°，一3）的距離的積等于12的點尸的軌跡，

則下列結論正確的是（）

A.點尸到V軸距離的最大值為3B.點尸到原點距離的最大值為后

271

C.△耳筆周長的最大值為4g+6D./耳因72最大值為了

三、填空題（本大題共3小題）

匕2=1

12.設片，鳥為雙曲線2'一的兩個焦點，點尸是雙曲線上的一點，且

4%=90。，貝-所里的面積為.

13.在VNBC中，AB=5AC,點。在8c上，滿足麗=2歷，陋=也,AC=BD

△"SC的面積為

14.已知產(chǎn)為拋物線/="上的任意一點，尸為其焦點，。為圓（》一6）-+「=4上的一

點，則2|尸。|+\QF\的最小值為、

四、解答題(本大題共5小題)

15.己知直線43+(加-2"+6=0,公內(nèi)+了-2=0,其中入weR

(1)若直線4經(jīng)過點(2"),且〃4,求〃的值；

(2)若直線〃4,當直線4與直線4的距離最大時，求直線4的方程.

16.某公司的入職面試中有4道難度相當?shù)念}目，王陽答對每道題的概率都是0.7,

若每位面試者共有4次機會，一旦某次答對抽到的題目、則面試通過，否則就一直抽題

到第4次為止，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的.

(1)求王陽第三次答題通過面試的概率；

(2)求王陽最終通過面試的概率.

17.如圖，在梯形4BCD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,48=4,將A/CD沿邊

NC翻折，使點。翻折到尸點，且必=20，點E為線段尸C靠近C點的三等分點.

(1)證明：BC1AE.

(2)求平面/E3與平面/尸8夾角的余弦值.

18.已知圓G4+2ay+V=4與圓^

(1)當。=0時，直線/"=履+1與圓G交于“，N兩點，若而?礪=-3,求陽M；

11

----1----

(2)若湖片0,圓G與圓只有一條公切線，求/〃的最小值.

IM

19.如圖，軸垂足為。點，點M在。P的延長線上，且\DP=\2.當點P在圓

Y+，=8上運動時，點〃的軌跡方程為C.

(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)當幾=3時，點M的軌跡方程記為G.

(i)若動點N為軌跡G外一點，且點N到軌跡G的兩條切線互相垂直，記點N的軌

跡方程記為02,試判斷C?與圓=8是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若

不存在，請說明理由；

(ii)軌跡G的左右頂點分別記為48,圓x2+/=16上有一動點E,E在x軸上方，

廠已。)，直線瓦1交軌跡C于點G,連接￡8,GF,設直線即，G廠的斜率存在且分

別為看,月,若占=的，求，的取值范圍.

答案

1.【正確答案】B

^4=^GZ|X2-X-6<O1=^XGZ|-2<X<3J={-1,0,1,21

【詳解】因為

8=氐卜+2]<3卜國-5<x<1}

所以/cB={-l,0}.

故選：B.

2.【正確答案】A

［詳解］因為直線4：加x+4y+2=0與直線4：x+陽+1=0垂直,

等價于加xl+4x加=0,即加=0,

所以“根=0”是，，直線/1："+勺+2=0與直線4：x+W+l=0垂直”的充要條件.

故選：A.

3.【正確答案】D

OC=LOA+1OBl+i=l

【詳解】對于選項A：因為44,且44

所以A,B,C三點共線，故A正確；

umumuir1uir1um1uun

AP=OP-OA=——OA+-OB+-OC

對于選項B：因為488

―?3—?1—?1—?

OP=-OA+-OB+-OC—1

可得488且488

所以P,A,B,C共面，故B正確;

對于選項C：若“花共線，則對任意c,均有“，瓦。共面，故C正確;

_2__

對于選項D：例如*一>1。，貝產(chǎn)=（1/，3）,1（3,3,9）,

可知】=3』，即凡5同向，所以］與B的夾角為0,故D錯誤；

故選：D.

4.【正確答案】C

【詳解】在長方體中，以D點為原點，分別為x,V,z軸建立空間直

角坐標系,

因為/B=3C=2,44=4,則8（220）,C（0,2,0）,E（l,0,4）,D（0,0,0）

可得瓦=（2,2,0）,3=（1,一2,4）,

___________-2y/42

cos〈DB,CE)=

A/22+22+02XA/12+22+42~A2

則

V42

則直線C￡與AD所成角的余弦值為IT.

故選：C.

5.【正確答案】A

【詳解】由題意可知:嗚可

設/（X。/。），則叫一%十萬，

因為㈤=2網(wǎng),即一臺2x勺、

p_

解得“-=5,則亦=2夕％=",即聞=p,

—x—xp=^—=4

又因為b的面積為224，且P>°,解得。=4,

所以拋物線方程為/=8x.

故選：A.

6.【正確答案】B

【詳解】由題意得GO』），°2（-3,2）,

因為|M卬==河廣，

又|MA|=|MB|即MC；—1=MC2~~1

即（加一I7+（九_I7_]=（冽+3）2+（〃_2）2_]

化簡得〃點的軌跡為8m-2?+ll=0,即在直線8x-2y+U=°上，

7-）

m+n表示的幾何意義為"感到原點距離的平方，

故只需計算原點到直線g加-%+i1=°的距離再平方就可得最小值,

7.【正確答案】D

［詳解］設/cngo=o,

因為底面“58為菱形，則ACJ.BD,

又因為。〃，底面/BCD,ZCu底面/BCD,則4CLOR,

且BDCWR=D,8Z),￡>Z)］u平面81)，，則NC_L平面

可知直線/尸與平面P2D所成角為NAPO,

tanZ^PO=—=^->1PO<—

則POPO，可得2,

OB=OD=-<—立

因為22,可知當點P與點2重合時，尸。取到最大值2,

DD.=yJOP2-OD2=—

則2,

2廣義1x1—在

所以直四棱柱"28一4用GR的體積為2224

故選：D.

8.【正確答案】C

M=|lM=f|耳0|=2°+內(nèi)。|=>

且陽用=2。,

【詳解】由題意可知:

在△片。月中，由余弦定理可得

“2a2121a2

雙々「0」戶內(nèi)RPV-1。耳I4c+與一百5c2一6/

34凡。-2可.四一2X2CX。一

5,

一々修」一尸尸歹一”4,+。2-4c2_a

在△耳?尸2中，由余弦定理可得2年用.明2x2cx。4c

5c2-6a2a/5

_________—二一

即ac4c,可得a24,

c*V5

Q——=/--=---

所以雙曲線C的離心率為aN62.

故選：C.

9.【正確答案】BD

【詳解】設/(“)的最小正周期為T,

T_11K5K_7i

則5=正一五=5,即丁二兀，

27r

—=兀

且則。，解得0=2,故B正確;

貝l]/(x)=2sin(2x+0)+l.

sin|—+^9j=-1

可得I6'

因為

5兀57111兀

——<-----\-(p<----

又因為°＜夕＜兀,則666,

5兀3兀2兀

-----(P——(D=—

可得62,解得3,故A錯誤;

f(x)=2sin(2x+1

+1

所以

兀2兀

2sin—+一+l=2sin兀+1=1

對于選項C：因為33

廷r

所以了（無）的圖象關于點16'J對稱，故c錯誤；

g（無）=x+—|=2sin|2x+—+—|+1=2sin（2x+7t）+1=-2sin2x+l

對于選項D：令I6JI33J,

gf-K-2sin-+l=-l小+殳]x=-

因為I"2（為最小值），所以I6J的圖象關于直線4對稱，故

D正確；

故選：BD.

10.【正確答案】BC

【詳解】對A,若直線跳”平面8CQ,則因為BDu平面8CQ,則矛盾，

故A錯誤；

對B,作輔助線如圖，因為AB"Cn，AB=CD,所以四邊形為平行四邊形，

所以/A//8G,8C]U面8CQ,/，二面2CQ,故/〃〃面8cQ,

同理得“耳//℃1,℃u面8G0,叫2面8G0,故44〃面3CQ,

又因為"'u面"BQ、面ADXr\AB{=A

所以平面力為卬/平面BCQ,

又因為P點在平面"42內(nèi)，

正“VP-BCD=VA-BCD=^-ABD=7'7'1-1'2=7--十.

所以XX323,故B正確；

nDZ-?R=—AC,=—Vl2+12+22=-y/6

對于C,三棱錐外接球的半徑222,

S=4TIR2=4兀[工&]=67i

所以三棱錐〃-8CQ外接球的表面積為12），故C正確;

對D,設尸到平面8CQ的距離為我又BD=6,BC\=DC\=^,

故'2\I2J2,又三棱錐尸-8CQ的體積為

1312

_x用7—卜7—

則32一3,解得一3,設直線尸5與平面8Go所成角為。,

sin0------=-------I-

則PC.3PG,又AG"G4/G,即1"04遍，

—廣<sin0<—Yf.<sin6,<—sin6=—

故3J63,即93,故不存在6使得2,

即不存在點尸使直線0G與平面8CQ所成角為3,故D錯誤.

故選：BC

11.【正確答案】BD

【詳解】由題意可知:附H*=12,出用=6,設p(x,y),

、牛百口小SAPF'F2二子尸耳H尸引sin/與尸工=J甲訃國

對于選項A：因為22,

—x12sinNF\PF、=—x6|x|||_9?：/ppp<7

即2?22II,解得r團-2snin乙產(chǎn)產(chǎn)2,

71

NF'PFL—

當且僅當2時，等號成立，

所以點尸到軸距離的最大值為2,故A錯誤；

jT3HL、，PF.-PR=\PF,\\PF\\cosZF,PF,=12cosZ^PR

對于選項B：因為??1巾2|1212,

目所=(-x,3-y),麗=(-x,-3-y),

UUU4UUUTn

則尸不尸鳥=f+y2_9且盧O「2+/,

可得12cos/片Pg=I尸0「-9貝’尸O『=12cos/GPR+9V21|p\PO\<41\

當且僅當PFHE同向時，等號成立，

所以點尸到原點距離的最大值為后,故B正確，

對于選項C：因為M+陷口眄耐=46

當且僅當盧周.產(chǎn)閶=26時，等號成立，

所以△片尸片周長的最小值為4^+6,故C錯誤；

c/FPF附「+閘2T耳聞:2附?吐一閨可24-36_1

對于選項D：因為'22附卜明-2M.明24~~2

當且僅當盧周村尸周二26時，等號成立，

ZFPF<——

可得?之一3,所以/片尸月最大值為3,故D正確；

故選：BD.

12.【正確答案】1

【詳解】由雙曲線方程可得a3b=l,c=而不=拒,

不妨設阿3P周，則1%-|*=2。=2之由周=2c=2、

若/用岑=90。，則1PM+|P用2=|用葉，可得《尸聞一忸號）22|尸耳|?|尸閭=|甲球

即8+2|郎H戰(zhàn)1=12,則1mHp周=2,

所以鋁尸鳥的面積為5附“明=：

故1.

3-

13.【正確答案】4

【詳解】設/C=8D=x,則/8=缶，CD=2x

八AC2+BC2-AB2X2+9X2-1X2

cosC/=_______________—____________

在V4BC中，2xACxBC~2xx3x2

AC1+DC2-AD2X2+4X2-31

cosC=

在△ZOC中,2xACxDC2xx2x2,

解得/=1,故x=l,

S,BC=—xACxBCxsinC=—x3xlxJl-cos2c=

所以224.

3A/3

故答案為.丁

14.【正確答案】4后

【詳解】由題意得'O.。),取點河(5,0),設圓(x-6)2+/=4的圓心為N,

MNQN_I

則跖V=l,所以。NFN2,又因為4QNM=2FNQ,

所以AQNMS/NQ,則|0萬|=2|加|,

.-.2\PQ\+\QF\=2(\PQ\+\QM\)

?'IpQ\+\QM閆尸加?,即求產(chǎn)”得最小值,

To=非>0),.-.|PM/=卜5)+f=\一；+25

當f=8時，而，即2I尸。I+|。/I的最小值為4幾

故答案為.4"

15.【正確答案】（1）2

⑵％+>-2=0

【詳解】（1）由直線4過（22,則12+2（加-2）=0n加=-4,此時：x-2y+2=0

1

當“〃2時，-2”=1,解得一2,經(jīng)驗證此時兩直線平行.

（2）4：3x+（m-2）y+6=0,即&:3x+町-2y+6=0,當y=o,彳=-2,則直線4恒過

定點（一2,0）,

l2-.nx+y-2=0令x=0,則昨2,則直線4恒過定點（。，2）,

故當〃〃2且與（-2,0）和（0,2）的連線垂直時，4與4的距離最大，

因為兩定點連線斜率為0+2,則此時72的斜率為-1,

故-〃=-1"=1,

二直線4的方程為：尸2=0.

16.【正確答案］（1）0.063

⑵0.9919

【詳解】（1）記“王陽第三次答題通過面試”為事件A,

若王陽第三次答題通過面試，則前2次均不通過，

所以王陽第三次答題通過面試的概率為尸(")=(l-°-7)x(l-0.7)x°.7=°.O63

(2)記“王陽最終通過面試”為事件8,

王陽未通過面試的概率為尸⑻=(1-67)4=0.0081,

所以王陽最終通過面試的概率PC8)--尸0)=09919

17.【正確答案】(1)證明見詳解

195/553

(2)553

【詳解】(1)過。作垂足為

在等腰梯形/BCD中，4D=BC=CD,AB!/CD,AB=4,

可知w=l,nw=也2-廣=6,所以/￡U8=60。，

故ZABC=60°,

可得ZCAB=ZACD=ADAC=30°,

貝ijNNC3=90。，gpACVBC,

XS^JBC2+PC2=PB2,則BC,尸C,

且尸Cc/C=C,NCu平面PNC,尸Cu平面尸NC,可得平面尸/C,

由/Eu平面PNC,所以BCL/E.

(2)因為8C,平面尸/C,3Cu平面NBC,則平面/8C，平面尸NC,

過點C作CN,平面/8C,則CNu平面尸NC,

以C為原點，分別以0、CB、CN所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則C（0,0,0）5（0,2,0）4G班,0,0）尸伊,0,1）

則萬《2?2，。），""二TN

設平面ZEB法向量為m=(x9y,z)f

m?AB=-2y/3x+2y=0

-~AT5m1n

AE=-------x+—z=O

則133,

令尤=1,貝I]y=6，Z=5百，

可得應=”,5灼為平面

NE8的一個法向量,

設平面/依法向量為n=(a,b,c)f

n-AB——2#>a+2b=0

V

則n-AP=-&a+c=0

令a=l,則6=g,c=杷,

可得"=0,G,K)為平面/網(wǎng)的一個法向量，

__\m-n\19197553

所以H'HV79xV7553

19A/^5

故平面NEB與平面NP8夾角的余弦值為553.

18.【正確答案】（1）而

（2）9

【詳解】（1）若。=°,則圓G：/+/=4的圓心為o（o,o）,半徑4=2,

因為礪2=@?_兩1=ON2-2ON-OM+OM2^4-2x(-3)+4=14

所以鵬|=|阿=加

（2）因為圓C：（x+2ay+V=4的圓心為1（-2W0）,半徑4=2；

圓02*+（ihl的圓心為。2（。涉），半徑2=1,

若圓￡與圓°2只有一條公切線，則圓G與圓G內(nèi)切，

則|。1。2|=|4-修，則“/+/=1,

即4a2+〃=1,且必二0,

2

b4a2,2,21

—r=——b=2a=—

當且僅當。6,即3時，等號成立,

11

所以的最小值9.

-4+/-8（A>l）

19.【正確答案】（1））

（-?3,0）Ul0,|

（2）（i）沒有交點，理由見詳解；（ii）

【詳