專題16難點探究專題:平面直角坐標系中的規律探究問題壓軸題三種

模型全攻略

..【考點導航】

目錄

*

'尊餐【典型例題】.............................................................................1

【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】...................................................1

【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉問題】...................................................5

【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】...................................................9

【過關檢測】.........................................................................15

尸;1

￡善【典型例題】

【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】

例題：(2023秋?遼寧盤錦?九年級校考開學考試)如圖，在平面直角坐標系中，一動點沿箭頭所示的方向,

依次得到點片(0，1),1(1，1),乙(1，。)，舄(LT),己(2,-1),…，則與23的坐標是.

【答案】(674,1)

【分析】由圖可得，片(0,1),乙(2,4),6(3,0),&(4,0),…，當”能夠被3整除時，點坐標為E,q,0),

根據2022+3=674得/22(674,0),點按"上好右玲下玲下好右玲上"6次一循環，則2023+6=3371,根據點

鳥儂在點鳥儂的上方，即可得.

【詳解】解:由圖可得，1。1),乙(2,4),《(3,0),%(4,0),…

當〃能夠被3整除時，點坐標為小§,0),

132022+3=674,

回6022(674,0),

回按"上玲右玲下玲下玲右玲上"6次一■循環,

回2023+6=3371,

回點6(123在點心022的上方，

回鳥023(674,1)

故答案為：(674,1).

【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規律，解決問題的關鍵找出圖形的變化規律.

【變式訓練】

1.(2023春?重慶?七年級統考期末)如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中方向排列,

(3,0),…，根據規律探索可得，第40個點的坐標為()

C.(9,4)D.(9,5)

【答案】D

【分析】由題意知，把第一個點(L0)作為第一列，(2,0),(2,1)作為第二列，(3,2),(3,1),(3,0)作為第三列，

進而可推導一般性規律為：第〃列有“個數，則”列共有小口個數，且奇數列的點的順序由上到下，偶

2

數列點的順序由下到上，由8X(8+1)=36,可知第40個點的坐標在第9歹1J,從上往下第4個點，進而可求

2

點坐標.

【詳解】解：由題意知，把第一個點(1，。)作為第一列,(2,0),(2,1)作為第二列，(3,2),(3,1),(3,0)作為第

三列，

進而可推導一般性規律為：第"列有”個數，貝門列共有攻M個數，且奇數列的點的順序由上到下，偶

2

數列點的順序由下到上，

0MM=36,

2

國第40個點的坐標在第9歹!J,從上往下第4個點，坐標為（9,5）,

故選：D.

【點睛】本題考查了點規律的探究.解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律.

2.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，動點尸從原點。出發，水平向

左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點接著水平向右平移2個單位長度，再

豎直向上平移2個單位長度得到點打；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得

到點八；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點且，…，按此作法進行下去,

【答案】（一1012,-1012）

【分析】對奇數點，偶數點分開討論，找出點坐標與序數的關系，總結規律求解.

【詳解】解：6（T,T），T=一號；

2

2（1,1）,1=,

6（-2,-2）,_2=-?；

4

q（2,2）,2=-；

當〃為奇數時,

當〃為偶數時,

0^023(——--，一二一)，即^023(-1012,-1012).

故答案為：(-1012,-1012).

【點睛】本題考查點坐標規律探索，由開始的幾個點坐標總結規律是解題的關鍵，注意分開討論.

3.(2023秋?黑龍江佳木斯?八年級佳木斯市第五中學校聯考開學考試)如圖，動點P在平面直角坐標系中按

圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(-L1),第2次接著運動到點(-2,0),第3次接著運動到點

(-3,2),......,按這樣的運動規律，經過第2025次運動后，動點尸的坐標是.

【答案】(—2025,1)

【分析】設動點P運動了"次，則點P的橫坐標為-"，點尸的縱坐標按1,0,2,0,1,0,2,0,……

重復出現，每4個數為一個循環.

【詳解】解：設動點尸運動了“次.

觀察圖形中點的坐標可知：

點尸的橫坐標為-“，

點P的縱坐標按1,0,2,0,1,0,2,0,……重復出現，每4個數為一個循環.

團2025+4=506……1,

回當點尸經過2025次運動后，橫坐標為-2025,縱坐標為1.

即點尸的坐標為(-2025,1).

故答案為：(-2025,1).

【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中點的坐標的規律，根據已知點的坐標歸納概括出點的坐標的規律

是解題的關鍵.

4.(2023春?四川內江?八年級校考期中)如圖，在平面直角坐標系中，41,1),3(-1,1),以-1,-2),。(1,-2)把一

條長為。個單位長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在點A處，并按

AfCfOfA…的規律緊繞在四邊形ABC。的邊上.

(1)當。=12時，細線另一端所在位置的點的坐標是；

(2)當a=2023時，細線另一端所在位置的點的坐標是.

y

5?/

cpz）

【答案】（-1,1）（-1,0）

【分析】根據點的坐標，求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從

而確定答案.

【詳解】解：回A（l,l）,3（—1,1）,C（-l,-2）,0（1,—2）,

0AB=2,BC=3,CD=2,DA=3,

回四邊形ABC。的周長為2+3+2+3=10,

回細線繞一圈的長度為10,

0124-10=1.2,

國當。=12時，細線另一端所在位置的點與點8重合，坐標為：（-1,1）；

回2023+10=2023,

囪當。=2023時，細線另一端所在位置的點在點B下方1個單位長度處，即為：（-1,0）；

故答案為:（-1,1）,（-1,0）；

【點睛】本題考查坐標與圖形，點的規律探究，解題的關鍵是求出四邊形A3CD的周長。

【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉問題】

例題：（2023秋?浙江?九年級專題練習）如圖所示，長方形ABCD的兩邊3C、CD分別在x軸、y軸上，點C

與原點重合，點A（T,2）,將長方形ABCD沿無軸無滑動向右翻滾，經過一次翻滾，點A的對應點記為A，

經過第二次翻滾，點A的對應點記為4；......,依次類推，經過第2023次翻滾，點A的對應點&>23的坐標

為（）

%

A-----D

~~??:

???

5(QO―'—'F

A.(3032,1)B.(3033,0)C.(3033,1)D.(3035,2)

【答案】B

【分析】觀察圖形即可得到經過4次翻滾后點A對應點一個循環，求出2023+4的商，從而解答本題.

【詳解】解：觀察圖形得，4(2-1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),

經過4次翻滾后點A對應點一個循環，

2023+4=505…3,

回點4(-1,2),長方形的周長為：2(1+2)=6,

團經過505次翻滾后點A對應點AO2O的坐標為(6x505-1,2),即(3029,2).

回&。23的坐標為(3033,0).

故選：B.

【點睛】此題考查探究點的坐標的問題，解題的關鍵是找到點的變化規律.

【變式訓練】

1.(2023春?重慶九龍坡?七年級重慶實驗外國語學校校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，點。為

坐標原點，△OP。是直角三角形，點。為直角頂點，已知點尸］|,0；G(0,2),P2=|,將△OP。按如

圖方式在x軸負半軸上向左連續翻滾，依次得到「鮑、加、則丫2必的直角頂點的橫坐標是()

【答案】B

【分析】觀察圖形，從?到心經過的路程恰好為△。尸。的周長，據此即可求解.

【詳解】解：由題意得：從3到；3經過的路程恰好為△。尸。的周長：2+|3+|5=6

故”的直角頂點的橫坐標為：-6；44的直角頂點的橫坐標為：-6

同理：從到丫6經過的路程恰好為：2x^2+|+|j=12

故Ve的直角頂點的橫坐標為：-12；V,的直角頂點的橫坐標為：一6

0I、A4>V7、…、Y+3”的直角頂點的橫坐標為：0,-6,-12,...,-6/7

回V2026=VJ+3X675

回V2026的直角頂點的橫坐標為：-6x675=Y050

回丫2期與丫20的直角頂點的橫坐標相同

故V2025的直角頂點的橫坐標是一W50

故選：B

【點睛】本題考查坐標與規律.根據題意確定坐標變化規律是解題關鍵.

2.(2022?黑龍江大慶?大慶外國語學校校考模擬預測)如圖，將邊長為1的正方形。4PB沿尤軸正方向連續

翻轉2019次，點P依次落在點％鳥,鳥,舄,…,私19的位置，則6oi9的橫坐標為()

'J'J'J、［…

__________▼?一▼p

A\OP^)x

A.2019B.2018C.2017D.2016

【答案】B

【分析】觀察圖形和各點坐標可知：點尸到舄要翻轉4次為一個循環，尸到匕橫坐標剛好加4,尸到乙處橫

坐標加3,按照此規律，求出鳥。19的橫坐標，進而求出答案.

【詳解】解：由題意可知：點尸到舄要翻轉4次為一個循環，尸(-1,1),片(1,1),2(2,0),鳥(3,0),4(3,0),

4(5,1),

尸到舄橫坐標剛好加4,尸到g處橫坐標加3,

2019+4=504…3,

.-.504x4-1=2015,

2015+3=2018,

8019的橫坐標2018,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了規律型：點的坐標，解題關鍵是根據各點坐標和題意，找出坐標規律.

3.（2023春?安徽蕪湖?七年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，將，ABO沿x軸向右滾動到△AB?的

位置，再到的位置.…依次進行下去，若已知點4（4,0）,6（0,3）,AB=5,則點的坐標為（）

C.600.yD.(1200,0)

【答案】B

【分析】根據三角形的滾動可知每滾動3次為一個周期，點G、C3>C5…在第一象限，點C?、C,、Cf…在x

軸上，由點A（4,0）,3（0,3）,可得。4=4,03=3,從而得到A旦=A8=5,B}C2=OB=3,進而得出點C?

的橫坐標，同理可得出點C,、Cf的橫坐標，從而得出點Cz“的橫坐標為2"x6（〃為正整數），再代入2〃=100

即可得出答案.

【詳解】解：根據題意得:

每滾動3次為一個周期，點CpC3、C5…在第一象限，點C2、C,、C6…在x軸上,

4(4,0),3(0,3),

OA=4,OB=3,

由旋轉的性質可得：ABX=AB=5,BG=OB=3,

???點G的橫坐標為：OA+A4+耳。2=4+5+3=12=2x6,

同理可得出：點C4的橫坐標為：4x6,點Cf的橫坐標為6x6,

二點Cz“的橫坐標為2〃義65為正整數）,

點Goo的橫坐標為100x6=600,

.??點G。。的坐標為(600,0),

故選：B.

【點睛】本題主要考查了點的坐標規律，根據題意進行計算得出規律：點C2”的橫坐標為2“x65為正整

數)，是解題的關鍵.

【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】

例題：(2022秋?湖南常德?八年級統考期末)在平面直角坐標系中，對于點P(x,y),我們把點尸(-y+Lx+1)

叫做點P伴隨點.已知點A的伴隨點為4,點人的伴隨點為4,點兒的伴隨點為4,…，這樣依次得到點

4，4,A，”4,…若點A的坐標為(2,4),點&^坐標為()

A.(-3,3)B.(-2,-2)C.(3,-1)D.(2,4)

【答案】B

【分析】根據"伴隨點”的定義依次求出各點，不難發現，每4個點為一個循環組依次循環，用2022除以4,

根據商和余數的情況確定點劣3的坐標即可.

【詳解】解:回A的坐標為(2,4),

回&(-3,3),^(-2,-2),4(3,—1),A(2,4),

依此類推，每4個點為一個循環依次循環，

回2023+4=5053,

回點AO23的坐標與A的坐標相同,為(-2,-2).

故選：B.

【點睛】本題考查了點的變化規律，讀懂題目信息，理解"伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循序組依次

循環是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?河南漂河?七年級統考期末)在平面直角坐標系中，對于點尸(x,y),我們把點尸叫

做點P的友好點，已知點A的友好點為點4,點4的友好點為點A，點4的友好點為點A4.……以此類推，

當點A的坐標為(2,1)時，點4。23的坐標為()

A.(2,1)B.(0,—3)C.(-4,—1)D.(-2,3)

【答案】C

【分析】根據4的坐標為(2,1)和友好點的定義，順次寫出點4、&、A,、&的坐標，發現循環規律，即

可求解.

【詳解】解：當點A的坐標為(2,1)時，點4的友好點&的坐標為(0,-3),

點4的友好點A的坐標是(-4,-1),

點4的友好點4的坐標是(-2,3),

點4的友好點A5的坐標是(2,1),

......以此類推，

團4,,+1(2,1),4,+2(°，-3),A“+3(-4,T),4“+4(-2,3)(〃為自然數)，

02023=505x4+3,

回點&)23的坐標為(-4,-1),

故選：c

【點睛】此題考查了點的坐標變化規律，從已知條件得出循環規律是解題的關鍵.

2.(2022秋?江西景德鎮?八年級統考期中)在平面直角坐標系中，點尸(x,y)經過某種變換后得到點

P'(-y+l,x+2),我們把點P，叫做點P的和諧點.已知點《的和諧點為鳥，鳥的和諧點為4，罵的和諧點

為巴，…，這樣由《依次得到A、A、PiP”.若點A坐標為(3,2),則點私23的坐標為.

【答案】(-4,1)

【分析】利用點尸(x,y)的和諧點的定義分別寫出點巴坐標為(-1,5),點A坐標為(-4,1),點巴坐標為(0,-2),

點P5坐標為(3,2)，…，從而得到每4次交換為一個循環。然后利用2023=4x505+3判斷點P2023的坐標與點

坐標相同.

【詳解】解：根據題意得點4坐標為(3,2),點鳥坐標為(-1,5),點舄坐標為(-4,1),點巴坐標為(0,_2),

點A坐標為(3,2),…，

而2023=4x505+3,

回點私23的坐標與點鳥坐標相同，為（-4」），

故答案為：（-4』）.

【點睛】本題是平面直角坐標系內的點坐標規律探究題，考查學生發現點的規律的能力，有理數運算以及

平面直角坐標系等相關知識，找到坐標的變換規律是解題的關鍵.

3.（2023春?河北張家口?七年級統考期末）已知點外々,%）,點是線段E尸的中點，則

迤，%=當衛.在平面直角坐標系中有三個點A（1,T）,5（-1,-1）,C（0,l）,點*0,2）關于A的

對稱點為《（即尸，A,廣三點共線，且《關于8的對稱點為乙，￡關于C的對稱點為巴，按

此規律繼續以A,B,C為對稱點重復前面的操作，依次得到巴，P5,P6,則點鳥臉的坐標是.

【答案】（2T）

【分析】根據題意，可求得點[至點心的坐標，觀察各點坐標，可知每6個點循環一次，即可求得點￡。23的

坐標與已知某個點的坐標相同.

【詳解】設點A的坐標為（％y）.

根據題意，得

0+x

-------=11

2

[2

解得

卜二2

所以，點4的坐標為（2,-4）.

同理可得￡（T2）,6（4,0）,A（-2,-2）,心（0,0）,《（0,2）.

觀察各點坐標可知，點P至點心為一個循環，即每6個點循環一次.

回點鳥臉的坐標與點片的坐標相同.

回點縱23的坐標是倒,T）.

故答案為:(2,-4).

【點睛】本題主要考查平面直角坐標系，解題的關鍵在于根據題意求得某點的對稱點的坐標.

4.(2023春?北京房山?八年級統考期末)在平面直角坐標系xOy中，不同的兩點A(玉,%),8?,%),給出如下

定義：若良-刃=同-為|,則稱點A,B互為"等距點”.例如，點M(3,2),N(2,3)互為"等距點”.

⑴4(1,2),￡(1,1),旦陋，-1)(1,-1)四個點中，能與坐標原點互為"等距點”的是.

⑵已知A(1,0),

①若點B是點A的等距點，且滿足AOB的面積為1,求點B的坐標；

②若以點7(1，3)為中心，邊長為2正方形上存在一點尸與點A互為等距點，請直接寫出f的取值范圍.

【答案】⑴￡。，1)、A(1，T)

(2)①點B的坐標為(-1,2),(-1,-2),(3,2),(3,-2)；②YVY0或2W6

【分析】(1)根據"等距點”定義，逐點驗證即可得到答案；

(2)①設3(x,y),由題意得到|x-1=|y-0|,y=x-i或y=f+l,再由一AC?的面積為1,列式

1=詞=gxlx|詞，解得力=±2,代入y=x-l或y=T+l,即可得到點B的坐標為8(3,2)或網一1,一2)

或3(-1,2)或3(3,-2)；②根據題意，作出圖形，設P(〃a),當尸與點A(l,0)互為等距點，則忱-1卜時，

分四種情況：當P(私〃)在正方形左邊上；當P(〃a)在正方形右邊上；當P(〃〃)在正方形上邊時；

當尸(利〃)在正方形下邊時，分類討論即可得到答案.

【詳解】(1)解：根據"等距點”定義，得：

片(1,2)、0(0,0),

.■?|1-0|=1^|2-0|=2,即/1,2)與坐標原點不是"等距點”;

鳥(1,1)、0(0,0),

.-.|1-0|=1=|1-0|,即鳥(1,1)與坐標原點互為"等距點”；

心(應,-1)、0(0,0),

.-.|V2-o|=^/2^|-l-O|=l,即心(￡-1)與坐標原點不是"等距點"；

舄(1,-1)、0(0,0),

.-.|1-0|=1=|-1-0|,即4(1，-1)與坐標原點不是"等距點”;

綜上所述，與坐標原點互為"等距點”的是6(1,1)、舄(1,-1)

故答案為：鳥(1,1)、a(1,-1);

(2)解：①41,0),點8是點A的等距點,

.,.設B（x,y）,!H!||x-l|=|y-O|,Hp|y|=|%-l|,

二y=尤_1或y=一龍+1,

由圖可知，1=詞=；xlx|力|,

解得為=±2,

，當點5在＞=X-1上時，由%=2得至1Jx=3；由%=—2得到x=-1,即

點8的坐標為8(3,2)或3(-1,-2)；

當點6在y=-x+l上時，由%=2得至【Jx=-1；由為=-2得至I］尤=3,即

點8的坐標為8(-1,2)或8(3,-2)；

綜上所述，點B的坐標為8(3,2)或3(-1,-2)或3(-1,2)或3(3,-2)；

②如圖所示:

斗

4----------

才F_一

2----------

III.1111

OAx

-2-

T（f，3）,正方形邊長為2,

設尸（"〃）,當尸與點41，0）互為等距點，則何-1|=時,

當尸（〃7,“）在正方形左邊上，有〃z=r-l,2V/V4,即/一2|=網，得到2W，一2|V4,解得4W/W6或一2VtW0；

當在正方形右邊上，有機=，+1,24"44,即卜|=煙，得到241歸4,解得2W/V4或-4W/4—2；

當尸（加,〃）在正方形上邊時，t-l<m<t+\,n=4,再由卜〃-1|=4解得相=5或zn=-3,貝!R-lV5Vr+l或

t-l<-3<t+l,解得4白W6或-4Vt4-2；

當P（〃〃）在正方形下邊時，t-1<m<t+l,n-2,再由|加一1|=2解得m=3或〃?=-1,則f-l<3Vr+1或

解得2W/W4或-2</W0；

綜上所述，若以點T?，3）為中心，邊長為2正方形上存在一點尸與點A互為等距點，r的取值范圍為TVtV。

或2wr<6.

【點睛】本題考查新定義與坐標問題，讀懂題意，根據新定義結合學過的知識，綜合運用是解決問題的關

鍵.

【過關檢測】

一、單選題

1.(2023秋?安徽阜陽?八年級校考階段練習)如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行"爬樓

梯”運動，第1次它從原點運動到點(1,0),第2次運動到點(1』)，第3次運動到點(2,1)……按這樣的運動規

律，經過第2023次運動后，小螞蟻的坐標是()

A.(1011,1010)B.(1011,1011)C.(1012,1011)D.(1012,1012)

【答案】C

【分析】分別找到橫坐標和縱坐標的變化規律，再算出2023與2的商和余數，繼而得解.

【詳解】解：第1次：(1,0),

第2次：(1,1),

第3次：(2,1),

第4次：(2,2),

第5次：(3,2),

則橫坐標是從1開始的正整數，每個正整數出現2次，

縱坐標是從。開始的正整數，其中只有。出現1次，其余數出現2次,

貝I」2023+2=10111,

團第2023次的坐標是：(1012,1011),

故選C.

【點睛】本題考查了規律型一點的坐標，解決本題的關鍵是觀察點尸的運動變化發現規律，總結規律.

2.（2023秋?重慶九龍坡?八年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中4-M）,

5（-1,-2）,C（3,-2）,。（3,1）,一只瓢蟲從點A出發以2個單位長度/秒的速度沿A-8fCfDfA循環爬

行，問第2025秒瓢蟲在點（）

A.(-1,0)B.(-1-DC.(-1,-2)D.(0,-2)

【答案】D

【分析】根據點A、B、C、O的坐標可得出AB、AO及矩形ABCD的周長，由4050+14=289……4,可得

出當f=2025秒時瓢蟲在點邊8C上，再結合點B的坐標即可得出結論.

【詳解】解：A(-U),8(-1,-2),C(3,-2),。(3,1),

AB=CD=3>AD=BC=4,

■-C^ABCD=2(AB+AD)=14,

瓢蟲2025秒行駛的路程為：2025x2=4050,

4050+14=289……4,

:A-AB=l,即此時瓢蟲在邊上，

當7=2025秒時，瓢蟲在點（0,-2）處，

此時瓢蟲的坐標為（。,-2）,

故選：D.

【點睛】本題考查了規律型一點的坐標，根據瓢蟲的運動規律找出當7=2025秒時瓢蟲在邊BC上是解題的

關鍵.

3.（2023春?福建莆田?七年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，。4=1,將邊長為1的正方形一邊

與x軸重合按圖中規律擺放，其中相鄰兩個正方形的間距都是1,則點4儂的坐標為（）

4公

A.（1011,0）B.（1011,1）C.（1012,0）D.（1012,-1）

【答案】D

【分析】根據橫坐標，縱坐標的變化規律，每8個點看作一次循環，再根據點&儂在第253個循環中的第

七個點的位置，即可得出點4儂的坐標.

【詳解】解：由圖可得，第一個正方形中，A。，。），4（叫，A（2-1）,4（2,0）,

各點的橫坐標依次為1,1,2,2,縱坐標依次為0,1,1,0；

第二個正方形中，A（3-0），A（3,-1），4（4,一1）,4（4,0）,

各點的橫坐標依次為3,3,4,4,縱坐標依次為0,-1,-1.0；

根據縱坐標的變化規律可知，每8個點一次循環，

回2023+8=252……7,

回點AO23在第253個循環中的第7個點的位置，

團故點AO23的縱坐標為-1,

又國4的橫坐標為4,人5的橫坐標為8=4x2,&的橫坐標為12=4x3,…

回點AO23的橫坐標為4x253=1012,

回點AO23的坐標為的坐標為（1012,-1）,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規律問題，解決問題的關鍵是判斷點&儂在第253個循一中的第七

個點的位置.

4.（2023秋?全國?八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，對ABC進行循環往復的軸對稱變換，若

點C坐標是（6,2）,則經過第2022次變換后，點C的對應點的坐標為（）

關于y軸對稱關于謝對稱關于y軸對稱關于謝對稱

A.(-6,-2)B.（6，-2）C.6,2)D.(6,2)

【答案】A

【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環組依次循環，用2022除以4,然后根據商和余數的情況確定

出變換后的點C所在的象限，然后解答即可.

【詳解】解：點C第一次關于＞軸對稱后在第二象限，坐標為（-6,2）,

點C第二次關于x軸對稱后在第三象限，坐標為（-6,-2）,

點C第三次關于y軸對稱后在第四象限，坐標為（6,-2）,

點C第四次關于x軸對稱后在第一象限，坐標為（6,2）,即點C回到原始位置，

，每四次對稱為一個循環組依次循環，

2022+4=505…2,

???經過第2022次變換后所得的。點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為（-6,-2）,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，觀察圖形得出每四次對稱為一個循環組依次循環是解題的關

鍵.

5.（2023秋?安徽六安?八年級六安市第九中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如

下指令：從原點。出發，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動，每次移動1辦其行走路線如圖

所示，第1次移動到點A，第2次移動到點兒……第〃次移動到點4,貝Ijv。42Ao26的面積是（）

A.505m2C.506〃/D.1012m2

【答案】C

【分析】確定從4到&J26水平移動的距離即可求解.

【詳解】解：由圖可知：從4到4需要移動的次數為：6-2=4=4xl

水平移動的距離為：2x1=2(m)

從4到4。需要移動的次數為：10-2=8=4x2

水平移動的距離為：2x2=4(m)

依此類推：從4到七126需要移動的次數為：2026-2=2024=4x506

水平移動的距離為：2?5061012(m)

回VO44026的面積為：!xlxl012=506m2

故選：C

【點睛】本題考查規律題.根據題意確定一般規律是解題關鍵..

二、填空題

6.(2023春?四川南充,七年級校考期中)一個機器人在平面直角坐標系中，從。點出發，向正東方向走3

米到達A點，再向正北方向走6米到達4點，再向正西方向走9米到達4點，再向正南方向走12米到達4

點，再向正東方向走15米到達&點，當機器人走到4點時，4點的坐標是—.

【答案】(9,-6)

【分析】根據坐標的表示方法得到從。點出發，向正東方向走3米到達A點，其坐標為(3,0)；再向正北方

向走6米到達4點，其坐標為(3,6)；再向正西方向走9米到達4點，其坐標為(-6,6)；再向正南方向走12

米到達A,點，其坐標為(-6,-6)；再向正東方向走15米到達4點，其坐標為(9,-6).

【詳解】解：根據題意得，4(3,0);4(3,6)；4(-6,6)；4>(-6,-6)；

04(9-6).

故答案為：(9,-6).

【點睛】本題考查了點的坐標：在直角坐標系中，過一點分別作x軸和y軸的垂線，用垂足在x軸上的坐標

表示這個點的橫坐標，垂足在>軸上的坐標表示這個點的縱坐標.

7.(2023秋?安徽六安?八年級階段練習)如圖，點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1

次從原點運動到點(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2)……，按這樣的運動規律，

經過第2025次運動后動點P的坐標是.

【答案】（2025,1）

【分析】根據題意得出規律：橫坐標為點尸運動的第幾次，縱坐標為1、0、2、0的循環，進而可求解.

【詳解】解：由題意得：

必（2,0）,2式3,2）,7（4,0）,PS（5,1）L,

可以看出點P的運動，橫坐標為點P運動的第幾次，縱坐標為1、0、2、。的循環，

2025+4=5061,

???經過第2025次運動后動點P的坐標是（2025,1）,

故答案為：（2025,1）.

【點睛】本題考查了規律型一一點的坐標，解決問題的關鍵是觀察點的運動得出規律.

8.（2023秋?八年級課時練習）如圖，已知3（0,4）,0（8,0）,彈性小球從點P（l,0）出發，沿圖中箭頭所示

方向運動，每當小球碰到長方形O8CD的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.若小球第1次與長方形的

邊的碰撞點為《，第2次與長方形的邊的碰撞點為鳥，…，第"次與長方形的邊的撞點為勺，則點鳥的坐標

【答案】（5,4）（3,0）

【分析】根據反射角等于入射角作圖，可知每10次反彈為一個循環即可求解.

【詳解】解：如圖，小球行進的路徑，可知小球第10次的碰撞點片。與出發點尸重合,

回2023+10=202……3,

團點8023的坐標同點P3■

由圖可知，點A的坐標為（3,0）,點舄的坐標為（5,4）.

答案：（5,4）（3,0）

【點睛】本題考查點的坐標的規律，作出圖形，觀察出每10次反彈為一個循環是解題的關鍵.

9.（2023春?遼寧葫蘆島?七年級統考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移

1個單位長度，得到點4（1,1）：把點A向上平移2個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點兒（-1，3）；

把點4向下平移3個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到點4（-4,0）；把點&向下平移4個單位長度，

再向右平移4個單位長度，得到點4（0，-4）,…；按此做法進行下去，則點兒叱的坐標為.

【分析】先根據平移規律得到第〃次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移〃個單位長度，再向右或向

上平移w個單位長度得到下一個點，然后推出每四次坐標變換為一個循環，得到點4“的坐標為（0，T"）,

由此求解即可.

【詳解】解：團把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位A（1，D;

把點A向上平移2個單位，再向左平移2個單位4（-1,3）；

把點A向下平移3個單位，再向左平移3個單位4（-4,0）；

把點&3向下平移4個單位，再向右平移4個單位4（0,-4）,

團第"次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移n個單位長度，

回。到4是向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，4到4是向左2個單位長度，向上平移2個單位

長度，4到4是向左平移3個單位長度，向下平移3個單位長度，4到A,是向右平移4個單位長度，向下

平移4個單位長度，4到A是向右平移5個單位長度，向上平移5個單位長度，

團可以看作每四次坐標變換為一個循環，

回點4“的坐標為（。，-8”），

02023=4x505+3,

回點4必的坐標為（°，-2024）,

點4i23的坐標為（一2024,0）.

故答案為：（-2024,0）.

【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，正確找到規律是解題的關鍵.

10.（2023秋?廣東深圳?九年級校聯考開學考試）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王

子"，據傳,他在計算1+2+3+4++100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到

1+2+3+4++100^100><（1+100）.人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4++〃=磯辿（〃是正整

22

數）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點4（蒼，y,）,其中i=2,3,L,〃，L,

且％,%是整數.記%=%+%,如4（。,。），即。i=o,4（i,o）,即出=1，4（LT）,即。3=。，主以此

類推.則。2023=.

【答案】42

【分析】利用圖形尋找規律42T("T，〃T),再利用規律解題即可.

【詳解】解：第1圈有1個點，即4(0,0),這時q=0；

第2圈有8個點，即4到4(1,1),這時%=1+1=2；

第3圈有16個點，即4。到&(2,2),這時回=2+2=4；

依次類推，第〃圈，

由規律可知:4儂是在第23圈上,且4g(22,22),則483(2。,22),即限=20+22=42，

故答案為：42.

【點睛】本題考查了圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵..

三、解答題

11.(2023秋?安徽蚌埠?八年級統考階段練習)在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點。出發，按向上、向右、

向下、向右的方向依次不斷移動每次移動1個單位，其行走路線如圖所示.

(2)寫出點4“的坐標(〃為正整數)；

⑶螞蟻從點4o22到點4023的移動方向

【答案】⑴（2,0）;（4,0）

⑵（2%0）

⑶向下

【分析】（1）觀察圖形可知，A4,4都在X軸上，求出。4、。人的長度，然后寫出坐標即可；

（2）根據（1）中規律寫出點4“的坐標即可；

（3）根據圖形信息，4次為一個循環，則2022+4=505…2,可知從點4122到點4。23的移動方向與從點4到A

的方向一致.

【詳解】（1）解：由圖可知，4，&都在x軸上，

回螞蟻每次移動1個單位，

00At=2,=4,

回4（2,0）,4（4,0）；

故答案為：（2,0）；（4.0）；

（2）解：根據（1）可知4（2,0）,4（4,0）,

同理得小（6,0）,

那么。4“=4?2=2〃,

回點4"的坐標為（2〃，0）；

（3）解：020224-4=505...2,

回從點AO22到點AO23的移動方向與從點4到&3的方向一致，為向下.

【點睛】本題是對點的變化規律的考查，比較簡單，仔細觀察圖形，確定出4“都在尤軸上是解題的關鍵.

12.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?七年級校考期中）新定義：在平面直角坐標系中xOv中的點P（。，3,若點產

的坐標為（。+她切+6）（其中左為常數，kM）,則稱點P為點尸的"屬派生點”.例如：點2）的“3

屬派生點”為尸'（1+3x2,3x1+2）,即P（7,5）.

⑴點尸（-2,3）的"2屬派生點"P'的坐標為；

⑵若點P在y軸的正半軸上，點P的7屬派生點”為點P，且線段PP的長為線段。尸長的3倍，求左的值.

【答案】⑴(4,T)

(2)左=3或兀=—3

【分析】(1)根據“屬派生點"的定義，進行求解即可；

(2)分左＞0和左＜0,兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】⑴解：由題意，得：P(-2+3*2,-2*2+3),

即：P'(4,-l),

故答案為：(4,-1).

(2)解：設點P(0,m)(加＞0)

點P的“屬派生點"為點P’,

0尸(0,m){m＞0),P'(km,in)的縱坐標相同，

iapp〃x軸，

如圖，分兩種情況：

①當左＞0時，PP=km,

SPPr=3OP,

團km=3m,

團左=3；

②當左＜0時，PP=—km

團PP=3OP,

0—km=3m,

團左二—3；

y八

Ox

綜上：左=3或左=—3.

【點睛】本題考查點的坐標規律.解題的關鍵是理解并掌握7屬派生點〃的定義.

13.(2023春?吉林松原?七年級統考期末)在平面直角坐標系xOv中，對于點P(x,y),若點。的坐標為

{ax+y,x+ay),則稱點。是點P的“a級關聯點”.

⑴已知點4-2,6)的"1級關聯點”是點A；

(2)已知點的"-3級關聯點"N位于x軸上，求點N的坐標；

⑶在(2)的條件下，若存在點X,S.HM=2,直接寫出打點坐標.

【答案】⑴(5」)

⑵N(g,0)

(3)//(-,-—)或一~)

【分析】(1)根據新定義代入求解；

(2)先根據新定義寫出坐標，再根據無軸上的點的特征，列方程求解；

(3)根據平行直線的關系求解.

【詳解】(1)解：由題意得：A(；x(-2)+6,(-2)+gx6),

即4(5,1)；

(2)解：由題意得：N(—3m+3+2m,—6m+m—1),

團N位于x軸上，

0—6m+m—1=0,

解得：m=一；，

團N4,0)；

(3)解：由(2)得：加=—：,

62、

BHMIX軸，且Ml/=2,

回"(3'一$或"(一￡'—1)?

【點睛】本題考查了點的坐標特征，掌握數形結合思想是解題的關鍵.

14.(2023秋?安徽合肥?八年級校考階段練習)在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x,y),若點。的坐標為

(ax+y,x+ay),則稱點。是點尸的“a階派生點"(其中。為常數，且awO).例如：點尸(1,4)的“2階派生

點"為點Q(2xl+4,l+2x4),即點Q(6,9).

⑴若點P的坐標為(-1,5),則它的"3階派生點”的坐標為；

(2)若點P的"5階派生點"的坐標為(-9,3),求點P的坐標；

⑶若點尸(c+l,2c-l)先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點《，點￡的"-3階派

生點"鳥位于坐標軸上，求點P的坐標.

【答案】⑴(2,14)

⑵(-2,1)

⑶(0,-16)或[￡,()]

【分析】(1)根據派生點的定義，結合點的坐標計算后即可得出結論；

(2)根據派生點的定義，結合