高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊4.4.3不同函數增長的差異含答案4.4.3不同函數增長的差異【學習目標】1.比較一次函數、指數函數和對數函數增長方式的差異.2.理解“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”的含義.3.能根據具體問題選擇合適的函數模型.【素養達成】直觀想象數學抽象數學建模三種常見函數模型的增長差異項目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩定增長速度不變形象描述指數爆炸對數增長直線上升增長結果存在一個x0,當x>x0時,有ax>kx>logax教材挖掘(P138探究(3))討論交流“直線上升”“對數增長”“指數爆炸”的含義.提示:直線上升:勻速上升;對數增長:緩慢增長;指數爆炸:增長越來越快.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)增長速度不變的函數模型是一次函數模型. (√)提示:增長速度不變的函數模型是一次函數模型,故正確.(2)對任意的x>0,kx>logax. (×)提示:對任意的x>0,當k<0,a>1時,kx>logax不恒成立,故錯誤.(3)存在一個實數m,使得x>m時,1.01x>x10. (√)提示:指數函數的增長速度比冪函數的增長速度快,所以當實數x足夠大時,1.01x>x10.(4)在指數函數模型、對數函數模型、一次函數模型中增長速度較慢的函數模型是對數函數模型. (√)提示:在指數函數模型、對數函數模型、一次函數模型中增長速度較慢的函數模型是對數函數模型,故正確.類型一不同函數增長的差異(數學抽象)【典例1】(1)(2024·深圳高一檢測)當x越來越大時,下列函數中增長速度最快的是 ()A.y=5x B.y=log5xC.y=x5 D.y=5x【解析】選D.結合函數的性質可知,幾種函數模型中,指數函數模型的增長速度最快.(2)(2024·杭州高一檢測)有一組實驗數據如表所示:t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最接近的一個是 ()A.v=0.5t B.v=0.5(t2-1)C.v=log0.5t D.v=log2t【解析】選D.由題表格中的數據,作出數據的散點圖,如圖所示,數據的散點圖和對數函數v=log2t的圖象類似,所以選項D最能反映t,v之間的函數關系.【總結升華】常見的函數模型及增長特點(1)線性函數模型:線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(2)指數函數模型:指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快,形象地稱為“指數爆炸”.(3)對數函數模型:對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩.(4)冪函數模型:冪函數y=xn(n>0)的增長速度介于指數增長和對數增長之間.【即學即練】1.設f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當x∈(4,+∞)時,對這三個函數的增長速度進行比較,下列結論中,正確的是 ()A.f(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢B.g(x)的增長速度最快,h(x)的增長速度最慢C.g(x)的增長速度最快,f(x)的增長速度最慢D.f(x)的增長速度最快,g(x)的增長速度最慢【解析】選B.畫出函數f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的圖象,如圖所示,結合圖象,可得三個函數f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,當x∈(4,+∞)時,函數g(x)=2x的增長速度最快,h(x)=log2x的增長速度最慢.所以選項B正確,選項A,C,D不正確.2.今有一組實驗數據如表:t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93用下列函數近似地表示數據滿足的規律,其中最接近的一個是 ()A.s-1=2t-3 B.s=log2tC.2s=t2-1 D.s=-2t-2【解析】選C.根據已知的數據可以知道,隨著t的逐漸增大,函數值也是增大的,因此排除選項D.對于A,是指數型函數,底數大于1,因此是遞增的,但是是爆炸性的增長,不滿足.對于B,由于對數型函數的增長是蝸牛式增長,所以比較慢,并且當t=4時,函數值為2,與數據差距大,不滿足.故排除法選C.類型二不同函數增長差異的應用(邏輯推理)角度1求范圍【典例2】若x∈(0,+∞),則使log2x<2x<x2成立的x的取值范圍是,使log2x<x2<2x成立的x的取值范圍是.

【解析】在同一平面直角坐標系中作出y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的圖象如圖所示,由圖得,若log2x<2x<x2,則2<x<4,若log2x<x2<2x,則0<x<2或x>4.答案:(2,4)(0,2)∪(4,+∞)【總結升華】利用不同函數增長的差異求范圍(1)根據題意,作出不同增長函數的圖象,確定交點的坐標;(2)結合圖象,根據不同函數的相對位置,求出變量的取值范圍.【即學即練】(2024·西安高一檢測)對于任意x∈(m,+∞),不等式log2x<x2<2x都成立,則m的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.x>0時,令2x=x2得x=2或x=4,由于指數函數增長速度比二次函數快,所以當x>4時,2x>x2恒成立,且當x>4時,x2>log2x也成立,對數函數增長速度小于二次函數,所以m的最小值為4.角度2比較大小【典例3】函數f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數;【解析】(1)C1對應的函數為g(x)=x3,C2對應的函數為f(x)=2x.(2)結合函數圖象,判斷f(6),g(6),f(2023),g(2023)的大小.【解析】(2)因為f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1024>g(10)=1000,所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2023>x2,從題圖上可以看出:當x1<x<x2時,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當x>x2時,f(x)>g(x),所以f(2023)>g(2023).所以f(2023)>g(2023)>g(6)>f(6).【總結升華】利用不同函數增長的差異比較大小(1)根據題意,作出不同增長函數的圖象,函數值的大小對應圖象的高低;(2)通過對部分自變量對應函數值的計算,結合不同函數增長的差異性,確定所求函數值之間的大小關系.【即學即練】(2024·河池高一檢測)對于任意正整數n,2n+2(n+1)2.(填“>”“<”或“=”)

【解析】當n=1時,2n+2=8>(n+1)2=4,當n=2時,2n+2=16>(n+1)2=9,當n=3時,2n+2=32>(n+1)2=16,當n=4時,2n+2=64>(n+1)2=25,……在(0,+∞)上隨著自變量的增大,y=ax(a>1)的增長速度遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度.答案:>【補償訓練】滿足x+5>2x的正實數x的取值范圍是.

【解析】如圖,結合函數y=x+5與y=2x的圖象增長差異得,當0<x<3時,x+5>2x.答案:(0,3)4.5函數的應用(二)4.5.1函數的零點與方程的解【學習目標】1.了解函數的零點、方程的解與圖象與x軸交點的關系.2.能根據零點存在定理判斷函數零點大致所在區間.3.會借助函數圖象與單調性判斷零點的個數.【素養達成】直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數學運算直觀想象、數學運算一、函數的零點1.定義:對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.2.函數的零點、方程的解、函數的圖象之間的關系函數y=f(x)有零點?方程f(x)=0有實數解?函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.二、函數零點存在定理1.前提:函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0;2.結論:函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.教材挖掘(P143)為什么由f(a)·f(b)<0不能說明y=f(x)在區間(a,b)內只有一個零點,舉例說明.提示:版本交融(北師大版P130抽象概括)如何理解f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在區間(a,b)內有解的充分不必要條件.提示:在區間(a,b)內,方程f(x)=0至少有一個解,只說明了方程f(x)=0解的存在,并不能判斷具體有多少個解.當f(a)·f(b)>0時,方程f(x)=0也可能有解,如圖所示.所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在區間(a,b)內有解的充分不必要條件.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數y=2x-1的零點是(12,0). 提示:函數y=2x-1的零點是12,故錯誤(2)函數f(x)=x2+x+1有零點. (×)提示:因為方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0,方程無根,所以函數沒有零點,故錯誤.(3)若f(x)在[a,b]上為單調函數,且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內有且只有一個零點.(√)提示:由f(a)f(b)<0可知在(a,b)內有零點,又因為函數f(x)在[a,b]上為單調函數,所以只有一個零點.(4)若函數y=f(x)在區間[a,b]上滿足f(a)f(b)>0,則在區間(a,b)上一定沒有零點. (×)提示:如f(x)=x2在區間[-1,1]上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在區間[-1,1]上有零點0,故錯誤.類型一求函數的零點(數學運算)【典例1】(1)已知函數f(x)=x2+x-2,x【解析】當x≤0時,由f(x)=x2+x-2=0,即(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1(舍去),當x>0時,由f(x)=-1+lnx=0,解得x=e,綜上可得,函數f(x)的零點為-2,e.答案:-2,e(2)如果函數f(x)=ax-b有一個零點是3,那么函數g(x)=bx2+3ax的零點是.

【解析】因為函數f(x)=ax-b有一個零點是3,所以f(3)=3a-b=0,即b=3a,令g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=0,可得x=0或x=-1.答案:-1,0【總結升華】函數零點的求法(1)轉化為求方程f(x)=0的解,對于分段函數的零點要注意自變量的取值范圍;(2)轉化為求函數y=f(x)圖象與x軸交點的橫坐標.【即學即練】1.函數f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零點為 ()A.2,3 B.2C.(2,0) D.(2,0),(3,0)【解析】選A.由f(x)=0,得(3x-27)ln(x-1)=0,即3x-27=0或ln(x-1)=0,解得x=3或x=2,所以函數f(x)=(3x-27)ln(x-1)的零點為2,3.2.設函數f(x)=ax+b,其中a>0,a≠1,b∈R.若f(x)無零點,則b的取值范圍是.

【解析】因為指數函數y=ax的值域為(0,+∞),故函數f(x)=ax+b的值域為(b,+∞),因為函數f(x)無零點,則0?(b,+∞),所以b≥0.答案:[0,+∞)類型二零點個數的判斷(直觀想象、數學運算)【典例2】(1)(2024·北京高一檢測)函數f(x)=x2+2xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.當x≤0時,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去);當x>0時,f(x)=lnx-2在(0,+∞)上單調遞增,又f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,所以f(1)·f(e3)<0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有1個零點;綜上,f(x)在R上有2個零點.(2)方程log2(x+4)=3x的實根的個數為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.在同一平面直角坐標系中,作出函數y=log2(x+4)與y=3x的大致圖象,由圖象可觀察出兩個函數圖象共有兩個不同的交點,故方程log2(x+4)=3x有兩個實根.【總結升華】函數零點個數的判斷方法(1)通過求方程f(x)=0的解,即可判斷函數y=f(x)的零點個數;(2)將y=f(x)拆分為兩個簡單函數差的形式,如f(x)=g(x)-h(x),函數y=f(x)的零點個數即為函數g(x)與h(x)的交點個數.【即學即練】函數f(x)=x2+12x-3的零點個數為【分析】將問題轉化為求函數y=12x與y=3-x2【解析】函數f(x)=x2+12x-3的零點個數等價于方程12x=3-x2的解的個數,即函數y=12x作出函數y=12x與y=3-x由圖象可知:函數y=12x與y=3-x2有且僅有兩個不同的交點,所以函數f(x)=x2+1答案:2【補償訓練】1.已知函數f(x)=x2,x≤0x2+14x,x>0,則關于x的方程3A.4 B.5 C.3 D.2【分析】由3f2(x)-7f(x)+2=0解得f(x)=13或2,再畫出f(x),y=2,y=13【解析】選A.因為3f2(x)-7f(x)+2=0,解得f(x)=13當x≤0時,f(x)≥0;當x>0時,f(x)=x2+14x=14(x+1x)≥14所以f(x),y=2,y=13的圖象如圖:由圖可知,使得f(x)=13或f(x)=2的點有4個.故關于x的方程3f2(x)-7f(x)+2=0實數解的個數為42.方程x+lnx=3解的個數為.

【解析】令f(x)=x-3+lnx=0,則lnx=3-x;在同一平面直角坐標系中分別畫出函數y=lnx與y=-x+3的圖象,如圖所示.由圖可知函數y=lnx與y=-x+3的圖象只有一個交點,即函數f(x)=x-3+lnx只有一個零點.故原方程只有1個解.答案:1類型三零點的綜合應用(邏輯推理)角度1判斷零點所在區間【典例3】已知函數f(x)=lnx+x-2x,則f(x)的零點所在的區間為 (A.(-1,1) B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)【解析】選B.因為f(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1=1+ln2>0,所以由零點存在定理知,f(x)的零點所在的區間為(1,2).【總結升華】函數零點所在區間的判斷(1)原理:零點存在定理,即判斷f(a)·f(b)<0;(2)方法:將端點值代入函數解析式,判斷函數值的正負.【即學即練】(2024·唐山高一檢測)方程2x-2+2x=0的根所在的區間是 ()A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)【分析】設f(x)=2x-2+2x,根據零點存在定理,判斷區間兩個端點函數值異號,即可求出結果.【解析】選B.設f(x)=2x-2+2x,f(0)=-1,f(1)=2,所以函數的零點在(0,1)上,即方程2x-2+2x=0的根在區間(0,1)上.角度2求參數的取值范圍【典例4】(1)(2024·連云港高一檢測)已知函數y=x2+mx+m2-7的兩個零點中,一個零點大于2,另外一個零點小于2,則實數m的取值范圍是 ()A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)【分析】由題意畫出函數y=f(x)=x2+mx+m2-7的草圖可知,f(2)<0,由此即可得解.【解析】選B.如圖所示:不妨設函數y=x2+mx+m2-7的兩個零點分別為x1,x2(x1<x2),由于拋物線開口向上,所以由題意有f(2)=4+2m+m2-7<0,整理得m2+2m-3<0,解得-3<m<1,即實數m的取值范圍是(-3,1).(2)設f(x)=2x+1,x≤0|log2x|,【分析】求出f(x)在x≤0時的取值范圍,再畫出函數圖象,則問題轉化為y=f(x)與y=a有三個不同的交點,數形結合即可求出參數的取值范圍.【解析】因為f(x)=2x畫出函數圖象如圖所示:因為方程f(x)-a=0有三個不同的實數根,即y=f(x)與y=a有三個不同的交點,由圖可知1<a≤2,即實數a的取值范圍是(1,2].答案:(1,2]【備選例題】(2024·連云港高一檢測)已知函數f(x)=|2x-1|,x≤2-x+5,x>2,若關于xA.(0,3) B.[1,3) C.(2,3) D.[1,3)∪{0}【解析】選D.因為關于x的方程f(x)-m=0恰有兩個不同的實數解,所以函數y=f(x)的圖象與直線y=m的圖象有兩個交點,作出函數圖象,如圖所示,所以當m∈[1,3)∪{0}時,函數y=f(x)與y=m的圖象有兩個交點,所以實數m的取值范圍是[1,3)∪{0}.【總結升華】利用零點存在定理求參數的取值范圍(1)直接法:適用于已知二次函數有幾個零點求參數的取值范圍,可以轉化為含參一元二次方程有幾個解,通過研究一元二次方程根的分布得到參數的取值范圍;(2)間接法:通常針對較為復雜的函數,可以拆分為兩個簡單函數的差,從而轉化為兩個簡單函數有幾個交點,結合圖象得到滿足條件的參數的取值范圍.【即學即練】1.(2024·鎮江高一檢測)若二次函數f(x)=x2-2x+m在區間(1,+∞)