高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第九章9.19.1.2分層隨機抽樣含答案9.1.2分層隨機抽樣【學習目標】1.理解分層隨機抽樣的概念.2.掌握用分層隨機抽樣從總體中抽取樣本的方法.3.掌握兩種抽樣的區別與聯系【素養達成】數學抽象數學抽象數學抽象、數據分析一、分層隨機抽樣1.分層隨機抽樣的定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.2.比例分配:在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.【版本交融】(人BP61)分層隨機抽樣為什么比簡單隨機抽樣更具有代表性,可以更好地反映總體的特征?提示:因為層內個體相對同質而層間差異較大.【版本交融】(蘇教P232)若按比例計算所得的個體數不是整數怎么處理?提示:可作適當的近似處理,比如,將結果取成整數等.二、用分層隨機抽樣的平均數估計總體的平均數項目1層2層層個體數MN層樣本量mn層個體變量值X1,X2,…,XMY1,Y2,…,YN層樣本的個體變量值x1,x2,…,xmy1,y2,…,yn層總體平均數X=X=1M∑Y=Y=1N∑層樣本平均數x=x=1m∑y=y=1n∑總體平均數W=∑樣本平均數w=∑【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在比例分配的分層隨機抽樣中,每層被抽到的個體數是一樣的.(×)提示:在比例分配的分層隨機抽樣中,每層被抽到的個體數由每層個體數占總體容量的比例確定,所以每層抽到的個體數不一定一樣.(2)比例分配的分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性不一樣.(×)提示:比例分配的分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性是一樣的.類型一分層隨機抽樣的概念(數學抽象)【典例1】(1)某政府機關在編人員共100人,其中副處級以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見,要從中抽取20人,用下列哪種方法最合適()A.抽簽法 B.隨機數法C.簡單隨機抽樣 D.分層隨機抽樣【解析】選D.總體由差異明顯的三部分構成,應選用分層隨機抽樣.(2)(2024·洛陽高一檢測)分層隨機抽樣適合的總體是()A.總體容量較多 B.樣本量較多C.總體中個體有差異 D.任何總體【解析】選C.當總體中個體有差異,采用分層隨機抽樣.【備選例題】1.現要完成下列2項抽樣調查:①從10盒餅干中抽取4盒進行食品衛生檢查;②某中學共有360名教職工,其中教師280名,行政人員55名,后勤人員25名,為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見,擬抽取一個容量為72的樣本.較為合理的抽樣方法是()A.①采用簡單隨機抽樣,②采用分層隨機抽樣B.①采用簡單隨機抽樣,②采用簡單隨機抽樣C.①采用分層隨機抽樣,②采用分層隨機抽樣D.①采用分層隨機抽樣,②采用簡單隨機抽樣【解析】選A.①中總體的個數較少,宜用簡單隨機抽樣;②中總體由差異明顯的幾部分組成,宜用分層隨機抽樣.2.某中學有老年教師20人,中年教師65人,青年教師95人,為了調查他們的健康狀況,需從他們中抽取一個樣本容量為36的樣本,則合適的抽樣方法是()A.抽簽法 B.隨機數法C.分層隨機抽樣 D.其他抽樣方法【解析】選C.由于老年教師、中年教師和青年教師的健康狀況會有明顯的差異,所以要用分層隨機抽樣.【總結升華】分層隨機抽樣的特點(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;(2)更充分地反映了總體的情況;(3)等概率抽樣,每個個體被抽到的概率都相等.【即學即練】下列問題中,最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學中抽取3人參加座談會B.某高速公路有300個太陽能標志燈,其中進口的有30個,聯合研制的有75個,國產的有195個,為了掌握每個標志燈的使用情況,要從中抽取一個容量為20的樣本C.從1000名工人中,抽取100名調查上班途中所用時間D.從生產流水線上,抽取樣本檢查產品質量【解析】選B.A中總體的個體無明顯差異且個數較少,適合用簡單隨機抽樣;C和D中總體的個體無明顯差異,不適合用分層隨機抽樣;B中總體的個體差異明顯,適合用分層隨機抽樣.【補償訓練】某公司在甲、乙、丙、丁四個地區分別有150個、120個、180個、150個銷售點,公司為了調查產品的銷售情況,需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本,記這項調查為①;在丙地區中有20個特大型銷售點,要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務等情況,記這項調查為②,完成這兩項調查宜分別采用什么方法?【解析】調查①:總體中個體差異明顯,適合用分層隨機抽樣;調查②:總體中個體無明顯差異且個數較少,適合用簡單隨機抽樣.類型二分層隨機抽樣的應用(數學運算)【典例2】(1)(2024·廣州高一檢測)某田徑隊有男運動員56人,女運動員42人,若采用分層隨機抽樣的方法在這支田徑隊中抽取28人進行體質測試,則抽取男運動員的人數為()A.16 B.14 C.12 D.10【解析】選A.男運動員56人,女運動員42人,則男運動員占總體的比例為5656+42=47,則抽取男運動員的人數為28×4(2)某學校有在職人員160人,其中行政人員有16人,教師有112人,后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,應怎樣進行抽樣,并寫出具體過程.【解析】用分層隨機抽樣來抽取樣本,步驟如下:第一步,分層,按工作性質將學校在職人員分為三層:行政人員、教師、后勤人員.第二步,確定抽樣比,樣本量與總體的個體數的比為20160=1第三步,確定分別從每層中抽取的人數,從行政人員中抽取16×18從教師中抽取112×18從后勤人員中抽取32×18=4(人)第四步,采用簡單隨機抽樣的方法,抽取行政人員2人,教師14人,后勤人員4人.第五步,把抽取的個體組合在一起構成所需樣本.【總結升華】分層隨機抽樣的相關計算常用到的兩個關系(1)樣本量n總體的個數N(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.【即學即練】(2024·南昌高二檢測)某市電視臺準備在該電視臺舉辦的《我愛背唐詩》前三屆參加總決賽的120名選手(假設每位選手只參加其中一屆總決賽)中隨機抽取24名參加一個唐詩交流會,若按前三屆參加總決賽的人數比例分層隨機抽樣,則第一屆抽取6人;若按性別比例分層隨機抽樣,則女選手抽取15人.則下列結論錯誤的是()A.樣本量是24B.第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有90人C.120名選手中男選手有50人D.第一屆參加總決賽的女選手最多有30人【解析】選C.對于A,由樣本量定義,可知樣本量為24,A正確;對于B,第一屆參加總決賽的選手有624×120=30(人),則第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有120-30=90(人),B正確;對于C,參加總決賽的女選手共有1524類型三用樣本平均數估計總體平均數(數據分析)【典例3】(1)某校高一年級有女生504人,男生596人.學校想通過抽樣的方法估計高一年級全體學生的平均體重,從高一女生和男生中分別隨機抽取50人和60人,經計算這50名女生的平均體重為49kg,60名男生的平均體重為57kg.依據以上條件,估計該校高一年級全體學生的平均體重最合理的計算方法為()A.49+57B.501100×49+60C.50110×49+60D.5041100×49+596【解析】選D.由題意得高一年級學生的總人數為504+596=1100.從高一年級的女生和男生中分別隨機抽取50人和60人,沒有按照性別比例分配的方式進行抽樣,不能直接用樣本平均數估計總體平均數,需要按照女生和男生在總人數中的比例計算總體的平均體重,即5041100×49+(2)(2024·廣州高一檢測)已知樣本x1,x2,…,xn的平均數為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數為y(y≠x).若樣本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均數z=ax+(1-a)y,其中12<a<1,則n,m(n,m∈N*)的大小關系為(A.n=m B.n≤mC.n>m D.n<m【解析】選C.因為樣本x1,x2,…,xn的平均數為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數為y(y≠x),所以這m+n個數的平均數為:nx+mym+n=nm+nx+mm因為12<a<1,所以12<因為n,m∈N*,所以m+n<2n,所以n>m.【總結升華】樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系ω=mm+nx+nm【即學即練】高二年級有男生490人,女生510人,按男生、女生進行分層隨機抽樣,得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.則下列論述錯誤的是()A.若各層按比例分配抽取樣本量為100的樣本,可以用49100×170.2+51100×160.8≈165B.若從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,可以用30100×170.2+70100×160.8≈163C.若從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,則總體的均值為30100×170.2+70100×160.8≈163D.如果僅根據男生、女生的樣本均值,無法計算出總體的均值【解析】選C.由分層隨機抽樣的概念可得樣本平均值為49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm),由此可以估計總體平均值約為165由平均數的計算公式可得,樣本平均值為30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm),由此可以估計總體平均值約為163由B可知,163.6為樣本平均值,我們可以由此估計出總體平均值,而不是確定的總體平均值,故C錯誤;如果僅根據男生、女生的樣本均值,可以估計出總體的均值,不能計算出準確的總體均值,故D正確.【補償訓練】某校有初中、高中兩個部門,其中初中有學生850人,高中有學生650人,小軍想要進行一個視力調查,對學校按部門進行按比例分配分層隨機抽樣,得到初中生、高中生平均視力分別為1.0,0.8,其中樣本量為60,則在初中部、高中部分別抽取多少人?整個學校的平均視力是多少?【解析】初中部抽取的人數為60×850850+650=34,高中部抽取的人數為60×650850+650=26,整個學校平均視力為3460×1.0+2660×0所以在初中部、高中部分別抽取34,26人,整個學校的平均視力約為0.91.9.2用樣本估計總體9.2.1總體取值規律的估計第1課時總體取值規律的估計【學習目標】1.掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法.2.掌握用頻率分布直方圖估計總體.【素養達成】數據分析數學運算一、頻率分布直方圖的相關概念1.從頻數到頻率(1)頻率表示頻數與總數的比值.(2)頻率反映了相對總數而言的相對強度,其所攜帶的總體信息遠超過頻數.在實際問題中,如果總體容量比較小,頻數也可以較客觀地反映總體分布;當總體容量較大時,頻率就更能客觀地反映總體分布.2.頻率分布直方圖(1)定義:頻率分布直方圖中每個小長方形的底邊長是該組的組距,每個小長方形的高是該組的頻率與組距的比,從而每個小長方形的面積等于該組的頻率,即每個小長方形的面積=組距×頻率組距=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖(2)頻率分布直方圖與頻率的關系頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大小.(3)頻率分布直方圖的優點①能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別.②當考慮數據落在若干個組內的頻率之和時,可以用相應長方形面積之和來表示.二、頻率分布直方圖的繪制步驟【教材深化】組距的選擇應力求“取整”,如果極差不利于分組(如不能被組數整除),可適當增大極差,如在左、右兩端各增加適當范圍(盡量使兩端增加的量相同).三、總體取值規律的估計1.從頻率分布表可以看出,樣本觀測數據落在各個小組的比例大小.2.從頻率分布直方圖可以看出,樣本的觀測數據分布對稱情況、左右高低情況、數據集中情況、從左到右的變化趨勢等.【教材深化】總體分布指的是總體取值的頻率分布規律,由于總體分布不易知道,因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個體數.(×)提示:頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.(2)頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和可以大于1.(×)提示:頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和等于1.(3)樣本量越大,用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布就越準確.(√)類型一頻率分布直方圖的繪制(數據分析)【典例1】從某校高三學生中抽取50名參加數學競賽,成績分組(單位:分)及各組的頻數如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計成績在[60,90)的學生比例.【解析】(1)頻率分布表如圖:成績分組頻數頻率頻率/組距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.02[70,80)150.30.03[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合計501.000.1(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)學生成績在[60,90)的頻率為0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估計成績在[60,90)的學生比例為74%.【備選例題】為了解九年級學生中女生的身高(單位:cm)情況,某中學對九年級部分女生身高進行了一次測量,所得數據整理后列出頻率分布表如表.分組頻數頻率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]mn合計MN(1)求出表中m,n,M,N的值;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)全體女生中身高在哪組范圍內的人數最多?估計九年級學生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率.【解析】(1)方法一N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,m0.04解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.方法二M=10.02=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n=mM=2(2)畫出頻率分布直方圖,如圖所示.(3)由頻率分布直方圖可知,樣本中身高在[153.5,157.5)范圍內的人數最多,且身高在161.5cm及以上的頻率為0.16+0.04=0.20,由此可估計全體女生中身高在[153.5,157.5)范圍內的人數最多,九年級學生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率約為0.20.【總結升華】在繪制出頻率分布表以后,畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小長方形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方法是“以一個恰當的單位長度”(沒有統一規定),然后以各組的“頻率組距”所占的比例來定高【即學即練】為了解學校高一年級男生的身高情況,選取一個容量為60的樣本(60名男生的身高),分組情況如下(單位:cm):分組[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]頻數62127m頻率a0.1(1)求出表中a,m的值;(2)畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)依題意得6+21+27+m=60,則m=6,a=2760=0.45(2)根據頻率分布表,可求第一組、第二組的頻率分別為660=0.1,2160=0.畫出頻率分布直方圖如圖所示.【補償訓練】某中學從高一年級隨機抽取50名學生進行智力測驗,其得分如下(單位:分):4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據上面的數據,回答下列問題:(1)這次測驗成績的最高分和最低分分別是多少?(2)將區間[30,100]平均分成7個小區間,試列出這50名學生智力測驗成績的頻率分布表,進而畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)這次測驗成績的最低分是32分,最高分是97分.(2)根據題意,列出樣本的頻率分布表如表:分組頻數頻率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合計501.00頻率分布直方圖如圖所示.類型二頻率分布直方圖的相關計算與應用(數據分析)【典例2】志愿者的服務工作對亞運會的舉辦十分重要.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成績,并分成五組:第一組[45,55),第二組[55,65),第三組[65