北師大版九年級上冊數學第三次月考試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．如圖是一個零件的示意圖，它的俯視圖是（）A．B．C．D．2．如圖，四邊形ABCD中，AC=BD，順次連結四邊形各邊中點得到的圖形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不對3．如圖,已知雙曲線上有一點,過作垂直軸于點,連接,則的面積為A． B． C． D．4．如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠DC．∠C＝∠AEDD．＝5．下列四個三角形，與圖中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．如圖，菱形中，過頂點作交對角線于點，已知，則的大小為()A． B． C． D．7．已知點(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，(1，y3)都在反比例函數y＝﹣（m為常數，且m≠0）的圖象上，則y1，y2與y3的大小關系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y28．如圖,在中，點分別在邊上,且為邊延長線上一點,連接,則圖中與相似的三角形有()個A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是（）A．或B．C．D．或10．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸上，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別交AB、BC于點D、E．若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）A．2 B． C．3 D．11．如圖，在中，D、E分別是AB和AC的中點，，則（）A．30 B．25 C．22．5 D．2012．如果關于的一元二次方程有兩個實數根，那么的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．二、填空題13．定義新運算：，例如：，則__________．14．如圖，有一張矩形紙片，長15cm，寬9cm，在它的四角各剪去一個同樣的小正方形，然折疊成一個無蓋的長方體紙盒．若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是48cm2，求剪去的小正方形的邊長．設剪去的小正方形邊長是xcm，根據題意可列方程為_____．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，點D、E分別在BC、AC上（點D不與點B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，則CE＝_____．16．如圖，已知矩形OABC的面積為，它的對角線OB與雙曲線相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k＝____．三、解答題17．解方程：．18．如圖，點E在線段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求證：∠A＝∠D．19．如圖，AB與CD相交于點O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的長；（2）求S△BOD20．如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子長AC＝1.4m，且他到路燈的距離AD＝2.1m，求燈泡的高．21．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD的垂直平分線EF與AD、BD、BC分別交于點E、O、F．求證：四邊形BFDE是菱形．22．如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交于點E，點F在ED上，且∠CBF=∠D．（1）求證：FB2=FE?FA；（2）若BF=3，EF=2，求△ABE與△BEF的面積之比．

23．如圖，直線AB與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，已知點A（3，4），B（0，﹣2），點C是反比例函數y＝（x＞0）的圖象上的一個動點，過點C作x軸的垂線，交直線AB于點D．（1）求反比例函數的解析式；（2），求△ABC的面積；（3）在點C運動的過程中，是否存在點C，使BC＝AC？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．24．為了提高學生的綜合素養，某校開設了五門手工活動課．按照類別分為：“剪紙”、“沙畫”、“葫蘆雕刻”、“泥塑”、“插花”．為了了解學生對每種活動課的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調查，將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，回答下列問題：（1）本次調查的樣本容量為________；統計圖中的________，________；（2）通過計算補全條形統計圖；（3）該校共有2500名學生，請你估計全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數．25．如圖，直線與坐標軸分別交于點A、B，與直線交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）．（1）求點P運動的速度是多少？（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？（3）當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．參考答案1．C【詳解】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中．解：由三視圖可得，故選C．2．A【分析】根據三角形中位線定理和四條邊都相等的四邊形是菱形即可得答案．【詳解】如圖，E、F、G、H分別是各邊的中點，連接EF、FG、GH、HE，∵E、F為CD、AD邊中點，∴EF是△ACD的中位線，∴EF=AC，同理：FG=BD，GH=AC，HE=BD，∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形，故選A.【點睛】本題主要考查了三角形的中位線定理和菱形的判定．用到的知識點：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；四邊相等的四邊形是菱形．3．B【分析】根據已知雙曲線上有一點,點縱和橫坐標的積是4，的面積是它的二分之一，即為所求.【詳解】解：∵雙曲線上有一點，設A的坐標為(a,b),∴b=∴ab=4∴的面積==2故選：B.【點睛】本題考查了反比例函數的性質和三角形的面積，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.4．D【分析】由兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，可判斷，由兩角分別對應相等的兩個三角形相似可判斷，兩邊對應成比例，而夾角不一定相等，可判斷從而可得答案．【詳解】解：，，所以再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合題意；再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合題意；再添上：，可得：△ABC∽△ADE，故不符合題意；再添上：，不能判定：△ABC∽△ADE，故符合題意；故選：【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定是解題的關鍵．5．B【分析】應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例，解題即可．【詳解】解：設單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為，，，A、三角形三邊分別是2，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故選項不符合；B、三角形三邊2，4，，與給出的三角形的各邊成比例，故選項符合．C、三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故選項不符合；D、三角形三邊，4，，與給出的三角形的各邊不成比例，故選項不符合；故選：B．【點睛】此題考查三邊對應成比例，兩三角形相似判定定理的應用，難度不大．6．D【分析】先說明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形內角和180°求出即可∠CBD度數，最后再用直角三角形的內角和定理解答即可.【詳解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°∴=90°-23°=67°故答案為D.【點睛】本題主要考查了菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形的對角線平分每一組對角和三角形內角和定理.7．B【分析】先根據反比例函數中k＜0判斷出函數圖象所在的象限及增減性，再根據各點橫坐標的特點即可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數y＝﹣中﹣m2＜0，∴函數圖象的兩個分式分別位于二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，∵﹣2＜0，﹣1＜0，∴點（﹣2，y1），（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣2＜﹣1，∴0＜y1＜y2．∵1＞0，∴（1，y3）在第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故選：B．【點睛】考查了反比例函數函數圖象上點的坐標特點，解題關鍵是熟記反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式．8．D【分析】根據平行四邊形和平行線的性質，得出對應的角相等，再結合相似三角形的性質即可得出答案.【詳解】∵EF∥CD，ABCD是平行四邊形∴EF∥CD∥AB∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA∴△GDP∽△GAB又EF∥AB∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA∴△GEQ∽△GAB又∵ABCD為平行四邊形∴AD∥BC∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G∴∠BCP=∠GAB又∠GPD=∠BPC∴∠GBA=∠BPC∴△GAB∽△BCP又∠BQF=∠GQE∴∠BQF=∠GBA∴△GAB∽△BFQ綜上共有4個三角形與△GAB相似故答案選擇D.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，需要熟練掌握相似三角形的判定方法，此外，還需要掌握平行四邊形和平行線的相關知識.9．D【分析】利用以原點為位似中心，相似比為k，位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，把B點的橫縱坐標分別乘以或-即可得到點B′的坐標．【詳解】解：∵以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，

∴點B（-9，-3）的對應點B′的坐標是（-3，-1）或（3，1）．

故選D．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．10．C【分析】本題可從反比例函數圖象上的點E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、?OABC的面積與|k|的關系，列出等式求出k值．【詳解】解：由題意得：E、M、D位于反比例函數圖象上，則，，過點M作MG⊥y軸于點G，作MN⊥x軸于點N，則S?ONMG＝|k|，又∵M為矩形ABCO對角線的交點，則S矩形ABCO＝4S?ONMG＝4|k|，由于函數圖象在第一象限，∴k＞0，則，∴k＝3．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．11．D【分析】首先判斷出△ADE∽△ABC，然后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．【詳解】解：根據題意，點D和點E分別是AB和AC的中點，則DE∥BC且DE=BC，故可以判斷出△ADE∽△ABC,根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知：=1：4，則：=3：4，題中已知，故可得=5，=20故本題選擇D【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是得出DE是中位線，從而判斷△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解本題．12．C【分析】根據關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數根，

∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，

解得k≤且k≠0，

故選：C．【點睛】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．13．－8.【分析】先分清式子中－3即為a，4即為b，再按照題目所給的運算法則代入進行計算即可.【詳解】解：－3×4+4=－12+4=－8.【點睛】本題考查的是新定義運算，對此類題目，關鍵之一是弄清題目所給的運算法則，關鍵之二是分清所求的式子中的數分別對應法則中的哪個量.14．（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．【分析】設剪去的小正方形邊長是xcm，則紙盒底面的長為（15﹣2x）cm，寬為（9﹣2x）cm，根據長方形的面積公式結合紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是48cm2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設剪去的小正方形邊長是xcm，則紙盒底面的長為（15﹣2x）cm，寬為（9﹣2x）cm，根據題意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系進行列方程.15．2﹣或．【分析】當△ABD∽△DCE時，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分兩種情況求出CE長．【詳解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，∴當△ADE是等腰三角形時，第一種可能是AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴CD＝AB＝．∴BD＝2﹣=CE，當△ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED＝EA．∵∠ADE＝45°，∴此時有∠DEA＝90°．即△ADE為等腰直角三角形．∴AE＝DE＝AC＝．∴CE=AC＝當AD＝EA時，點D與點B重合，不合題意，所以舍去，因此CE的長為2﹣或．故答案為2﹣或．【點睛】此題主要考查相似三角形的應用，解題的關鍵是熟知全等三角形的性質及等腰直角三角形的性質.16．【詳解】過點D作，則，由相似三角形性質得，，而，則，由于，所以故答案為：12．17．【分析】運用因式分解法求解即可．【詳解】解：，則或，解得．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練運用適當的方法求解是解題關鍵．18．證明見解析.【分析】根據平行線的性質和全等三角形的判定可以判斷△ABC≌△DCE，然后根據全等三角形的性質即可證明結論成立．【詳解】證明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE(SAS)，∴∠A＝∠D．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質解答．19．(1)10;(2)18.【分析】（1）根據相似三角形對應邊之比相等可得＝＝，再代入BO＝6可得AO長；（2）根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方可得＝，進而可得S△BOD．【詳解】解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝∴＝∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．【點睛】此題主要考查相似三角形的性質，解題的關鍵是熟知相似三角形的面積之比等于相似比的平方.20．(1)畫圖見解析；(2)DE=4.【分析】（1）連接CB延長CB交DE于O，點O即為所求．連接OG，延長OG交DF于H．線段FH即為所求．（2）根據，可得，即可推出DO=4m．【詳解】（1）解：如圖，點O為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子．（2）解：由已知可得，，∴，∴OD=4m，∴燈泡的高為4m．【點睛】本題考查中心投影、解題的關鍵是正確畫出圖形，記住物長與影長的比的定值，屬于基礎題，中考常考題型．21．見解析【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD//BC，OB＝OD，易證得△OED≌△OFB，可得DE＝BF，即可證得四邊形BFDE是平行四邊形，又由EF⊥BD，即可證得四邊形BFDE是菱形．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF垂直平分BD∴AD//BC，OB＝OD，∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB（SAS），∴DE＝BF，又∵ED//BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形．【點晴】考查了平行四邊形的性質、垂直平分線的性質和菱形的判定等知識點，證明簡單的線段相等，一般是通過全等三角形來證明的．22．（1）證明見解析；（2）5：4．【詳解】試題分析：（1）要證明FB2=FE?FA，只要證明△FBE∽△FAB即可，根據題目中的條件可以找到兩個三角形相似的條件，本題得以解決；（2）根據（1）中的結論可以得到AE的長，然后根據△ABE與△BEF如果底邊分別為AE和EF，則底邊上的高相等，面積之比就是AE和EF的比值．試題解析：（1）∵AB∥CD，∴∠A=∠D．又∵∠CBF=∠D，∴∠A=∠CBF，∵∠BFE=∠AFB，∴△FBE∽△FAB，∴∴FB2=FE?FA；（2）∵FB2=FE?FA，BF=3，EF=2∴32=2×（2+AE）∴∴，∴△ABE與△BEF的面積之比為5：4．考點：相似三角形的判定與性質．23．（1）y＝；（2）18；（3）不存在，理由見解析【分析】（1）本題利用待定系數法將A點直接代入反比例函數解析式求解k即可．（2）本題需要過A點向y軸做垂線，繼而利用BD與AD的線段關系確定點C的坐標，繼而利用待定系數法求解直線AB解析式，進而確定點D坐標，最后利用三角形面積公式結合割補法求解三角形面積．（3）本題首先假設點C坐標，利用BC=AC題目已知結合勾股定理列一元二次方程，繼而用根的判別式判定是否有解進而確定點C是否存在．【詳解】（1）∵反比例函數（x＞0）的圖象經過點A(3,4)，∴k＝xy＝3×4＝12，∴反比例函數的解析式為：y＝；（2）作AE⊥y軸于點E，交CD于點F，如下圖所示：則BE∥CD，∴，∵點A的坐標為(3,4)，∴EF＝1，FA＝2，∴點F的橫坐標為1，∴點C的坐標為(1,12)，設直線AB的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝2x﹣2，則點D的坐標為：(1,0)，即CD＝12，∴．（3）不存在，理由如下：設點C的坐標為(m,)，∵BC＝AC，∴根據勾股定理：，整理得，6m2﹣21m+144＝0，△＝212﹣4×6×144＜0，則此方程無解，∴點C不存在．【點睛】本題考查一次函數與反比例函數的綜合問題，待定系數法求解解析式為基礎，當出現線段比例關系時往往需要結合相似知識確定線段長或點的坐標，但輔助線做法則需要根據大量做題以提升題感，勾股定理在幾何求解當中極為常見．24．（1）120，12，36；（2）詳見解析；（3）625【分析】（1）由A所占的百分比及參加A類活動課的人數可求得總人數，再由總人數及B和D所占的百分比即可求得a和b的值，（2）先求得E類活動課參加的人數，再補全條形統計圖即可；（3）先求出抽樣調查中喜愛“葫蘆雕刻”的學生所占的百分比，即可求得全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數．【詳解】解：（1），，，故答案為：120，12，36；（2）類別的人數為：（人）補全條形統計圖如圖所示：（3）類別所占的百分比為：，（人）答：全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數約為625人．【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的