第1頁/共1頁鎮雄縣第四中學2024年秋期中考試試卷（高二數學）考試范圍：必修1，必修2，選擇性必修一第一章考試時間：120分鐘命題人：審題人：第I卷（選擇題）一、單選題（共8題，每題5分，共40分.每題只有一個選項符合題意）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合A,B，再利用并集運算求解.【詳解】故選：C2.復數的共軛復數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據復數的乘法運算，以及共軛復數的概念，即可得出結果.【詳解】由題意可知，則其共軛復數為.故選：B.3.高一年級某班30名同學參加體能測試，給出下列三個判斷：①有人通過了體能測試：②同學甲沒有通過體能測試；③有人沒有通過體能測試.若這三個判斷中只有一個是真，則下列選項中正確的是（）A.只有1名同學通過了體能測試 B.只有1名同學沒有通過體能測試C30名同學都通過了體能測試 D.30名同學都沒通過體能測試【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，分析確定正確的一個判斷，即可求得正確答案.【詳解】“有人通過了體能測試”與“有人沒有通過體能測試”不可能都為真，若“同學甲沒有通過體能測試”為真，則“有人沒有通過體能測試”必真，不符合題意，因此“同學甲沒有通過體能測試”是假的，即同學甲通過了體能測試，②假，①真，③假，由“有人沒有通過體能測試”是假的判斷，得30名同學都通過了體能測試，C正確.故選：C4.已知一組數據：的平均數為6，則該組數據的分位數為（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由平均數及百分位數的定義求解即可.【詳解】依題意，，解得，將數據從小到大排列可得：，又，則分位數為.故選：C.5.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數解析式建立不等關系求解即可.【詳解】∵函數∴∴∴函數的定義域為故選：A．【點睛】本題主要考查了函數的定義域，不等式的解法，屬于容易題.6.已知是定義域為的奇函數，而且是減函數，如果，那么實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數的奇偶性，把題設中的不等式轉化為，再結合函數的定義域和單調性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數是定義域為的奇函數，即，且，又由，即，可得，又因為是減函數，所以，解得．故選：A.【點睛】本題主要考查了函數的單調性與函數的奇偶性的應用，其中解答中根據函數的奇偶性合理轉化，以及利用函數的單調性求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.7.設，函數，則的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的值，根據指對數的運算代入即可.【詳解】因為，所以，所以，故選：C.8.基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數，基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間t（單位：天）的變化規律，指數增長率r與，T近似滿足．有學者基于已有數據估計出．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要的時間約為（）A.3.6天 B.3.0天 C.2.4天 D.1.8天【答案】A【解析】【分析】由已知先確定系數,即可確定函數解析式，再利用解析式及提供數據即可求解累計感染病例數增加3倍需要的時間【詳解】因為，，且，則，于是得設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要的時間為，則有即，所以，而，解得所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要的時間約為3.6天故選：A．二、多選題（共3題，每題6分，共18分.每題有多個選項符合題意，全對得6分，選對但不全對得2分，有選錯或不答得0分）9.已知向量，，下列命題中正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據向量模公式計算可判斷A；由向量平行的坐標表示可判斷B；由向量垂直的坐標表示可判斷C；根據向量模公式計算可判斷D.【詳解】因為，所以不平行，B錯誤；

因為，所以，C正確；因為，所以，又，所以，A正確，D錯誤.故選：AC10.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性質對合選項一一進行判斷可得答案.【詳解】解：A項，若，取，可得，故A不正確；B項,若,可得：，故，故B正確；C項，若可得，由可得：，故C正確；C項，舉反例，雖然，但是，故D不正確；故選：BC.【點睛】本題主要考查利用不等式的性質比較大小，屬于基礎題型.11.如圖，線段AB為圓O的直徑，點E，F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，則下列說法正確的是（）A.OF//平面BCE B.BF⊥平面ADFC.三棱錐C-BEF外接球的體積為 D.三棱錐C-BEF外接球的表面積為5π【答案】ABD【解析】【分析】利用線面平行判定定理判斷選項A；利用線面垂直判定定理判斷選項B；求得三棱錐C-BEF外接球的體積判斷選項C；求得三棱錐C-BEF外接球的表面積判斷選項D.詳解】選項A：由，AB=2，EF=1，可得則四邊形為平行四邊形，則又平面BCE，平面BCE，則OF//平面BCE.判斷正確；選項B：連接BF，線段AB為圓O的直徑，則由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF平面ABCD，，則平面ABEF則，又，平面ADF，平面ADF則BF⊥平面ADF.判斷正確；選項C：取CD中點H，連接OH由平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF,平面ABEF，可得平面ABEF又點E，F，B在圓O上，則三棱錐C-BEF外接球球心在直線上，由，平面BCE，平面BCE可得平面BCE，則三棱錐C-BEF外接球球心到平面BCE的距離為點O到平面BCE的距離由平面ABEF，平面，可得平面平面ABEF，則點O到平面BCE的距離即點O到直線的距離，又點O到直線的距離為，則三棱錐C-BEF外接球球心到平面BCE的距離為在△BCE中，，，則，則△BCE外接圓半徑為則三棱錐C-BEF外接球的半徑則三棱錐C-BEF外接球的體積為.判斷錯誤；選項D：由三棱錐C-BEF外接球的半徑則三棱錐C-BEF外接球的表面積為.判斷正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12.某學校高三有1800名學生，高二有1500名學生，高一有1200名學生，現采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則應在高一抽取_____人．【答案】40【解析】【分析】運用分層抽樣原理可求得答案.【詳解】解：由題意得：高一抽取人數為，故答案為：40.13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用誘導公式以及同角三角函數的基本關系求出的值，然后利用弦化切的基本思想求出的值.【詳解】，即，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導公式、同角三角函數的基本關系以及弦化切思想求值，解題時要熟悉弦化切思想所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎題.14.函數的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數”，并把其與y軸的交點關于原點的對稱點稱為“囧點”，以“囧點”為圓心，凡是與“囧函數”有公共點的圓，皆稱之為“囧圓”，則當時，函數的“囧點”坐標為______________；此時函數的所有“囧圓”中，面積的最小值為_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接求出與y軸的交點即可求解；第二空：畫出函數圖象，考慮軸及軸右側的圖象，軸下方的函數圖象顯然過點時面積最小，軸上方的圖象，設出公共點，表示出半徑的平方，借助二次函數求出最小值，再比較得出半徑最小值即可求解.【詳解】第一空：由題意知：，，，故與y軸的交點為，則“囧點”坐標為；第二空：畫出函數圖象如圖所示：設，，圓心為，要使“囧圓”面積最小，只需要考慮軸及軸右側的圖象，當圓過點時，其半徑為2，是和軸下方的函數圖象有公共點的所有“囧圓”中半徑的最小值；當圓和軸上方且軸右側的函數圖象有公共點時，設，則點到圓心的距離的平方為，令，則，當即時，最小為3，，顯然在所有“囧圓”中，該圓半徑最小，故面積的最小值為.故答案為：；.四、解答題（共5題，總77分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）15.如圖，在三棱柱中，側棱底面，，為的中點，，．（1）求證：平面．（2）求三棱柱的表面積；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）分別求三棱柱每個面的面積相加即可.【小問1詳解】連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點．因為為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為側棱底面，所以三棱柱為直三棱柱，所以側面，，均為矩形．因為，所以底面，均為直角三角形．因為，，所以．所以三棱柱的表面積為．16.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件A：“兩數之和為8”，事件B：“兩數之和是3的倍數”，事件C：“兩個數均為偶數”．（I）寫出該試驗的基本事件，并求事件A發生的概率；（II）求事件B發生的概率；（III）事件A與事件C至少有一個發生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列舉法列舉出所有的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件發生的概率.（II）根據（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件發生的概率.（III）根據（I）列舉的基本事件，利用古典概型概率計算公式求得事件與事件至少有一個發生的概率.【詳解】（I）所有可能的基本事件為：共種.其中“兩數之和為”的有共種，故.（II）由（I）得“兩數之和是的倍數”的有共種，故概率為.（III）由（I）“兩個數均為偶數”的有種，“兩數之和為”的有共種，重復的有三種，故事件與事件至少有一個發生的有種，概率為.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算公式，考查列舉法求解古典概型問題，屬于基礎題.17.從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組的人數為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的平均數和中位數；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數為，中位數為；(3)．【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質求第七組的頻率；(2)根據平均數和中位數的定義利用頻率分布直方圖求平均數和中位數；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設這所學校的800名男生的身高中位數為m，則，由得，所以這所學校800名男生的身高的中位數為174.5cm，平均數為．(3)第六組的抽取人數為4，設所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數為，設所抽取的人為A，B，則從中隨機抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．18.在中，角的對邊分別為，在條件①，②，③中任選一個解答．（1）求角A（2）若，，求的面積．【答案】（1）若選①，；若選②或③，；（2）若選①，；若選②或③，【解析】【分析】（1）選①，由正弦定理化邊為角，然后由誘導公式，兩角和的正弦公式變形可求得；選②，由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得角；選③，由正弦定理化邊為角，由誘導公式、二倍角公式變形可求得；（2）選①②③方法均相同：結合余弦定理求出，再由面積公式求得面積．【小問1詳解】選擇條件①，由及正弦定理，得．又，所以有．因為，所以．從而有．又，所以；若選②：由正弦定理得，即，所以，因為，所以．若選③：由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以，因為，，所以，，，所以．【小問2詳解】選擇①，又，，，所以，所以選擇②或③，，，所以，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點是的中點．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角為？若存在請求出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，N為