第一章數與式第04講二次根式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01二次根式有意義的條件??題型02與二次根式有關的開放性試題??題型03二次根式的非負性??題型04二次根式的性質化簡??題型05二次根式與數軸??題型06應用乘法公式求二次根式的值??題型07最簡二次公式的判斷??題型08分母有理化??題型09二次根式的混合運算??題型10二次根式估值??題型11與二次根式有關的新定義問題??題型12與二次根式有關的規律探究??題型13二次根式的應用??題型01二次根式有意義的條件1．（2024·全國·模擬預測）在函數y=?3x?2?x+12．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）要使代數式x?2+2?x有意義，則x的取值范圍是（A．x≥2 B．x≤2 C．x=2 D．全體實數3．（2023·浙江寧波·模擬預測）a表示不超過a的最大整數．若實數a滿足方程a=1?1aA．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江蘇南京·模擬預測）整數a滿足a2?a<a<aA．0 B．1 C．?1 D．1或?1??題型02與二次根式有關的開放性試題1．（2024松江區三模）下列m取值中，能滿足m在實數范圍內有意義的是（）A．m=?2 B．m=2024 C．m=?0.2 D．m=?12．（2024·河北邢臺·模擬預測）若32a是正整數，則a不可能的值為（

）A．14 B．12 C．23．（2024·浙江·模擬預測）若式子11?x在實數范圍內有意義，則x的值可以是4．（2024·山西大同·模擬預測）請寫出一個無理數，使它與27的積是有理數，這個無理數可以是．（寫出一個即可）??題型03二次根式的非負性1．（2024儀征市一模）若2023?m+m?2024=m，則2．（2024·四川廣元·三模）先化簡，再求值1?a2+4ab+4b2a2??題型04二次根式的性質化簡1．（2024·貴州畢節·模擬預測）若7<t<9，則化簡5?t+t?102A．5 B．?5 C．2t?15 D．15?2t2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數：y=?mx+n的圖象經過第二、三、四象限，則化簡(m?n)2A．n B．?m C．2m?n D．m?2n3．（2024·四川樂山·模擬預測）已知△ABC的三邊分別為2,x,5，化簡x2?6x+94．（2024·湖南·模擬預測）設A=1+11A．2027 B．2026 C．2025 D．2024??題型05二次根式與數軸1．（2024·寧夏銀川·模擬預測）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則?a2+1+a?1A．2 B．2a?1 C．0 D．1?2a2．（2024·江蘇鹽城·三模）a，b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡a?b?a2

A．2a?b B．b C．?b D．?2a+b3．（2023·山東濱州·二模）若實數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡a2?b

4．（2024·河北·二模）計算2×6的結果為，這個數落在了數軸上的??題型06應用乘法公式求二次根式的值1．（2024·河北·模擬預測）老師在復習二次根式的運算時，給出了一道題：計算3×甲：3×乙：3×對于甲、乙的計算過程及結果，下列判斷正確的是（

）A．甲和乙都對 B．甲對乙錯C．甲錯乙對 D．甲和乙都錯2．（2024·天津濱海新·模擬預測）計算5?323．（2024·山西長治·模擬預測）計算(21?194．（2024·江蘇蘇州·三模）計算：2?120242??題型07最簡二次公式的判斷1．（2024·廣東江門·模擬預測）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A．32 B．0.4 C．43 D．2．（2024·河北·模擬預測）若a的倒數是18，則a的值為3．（2024·吉林長春·二模）7與最簡二次根式22m+1是同類二次根式，則m的值為4．（2024·江西九江·三模）在等式“???????÷6=??題型08分母有理化1．（2024·江蘇南京·二模）計算18?882．（2024·廣東·模擬預測）先化簡，再求值：2x23．（2024·湖南岳陽·模擬預測）化簡求值：x2?y2x÷x?2xy?y4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）先化簡，再求代數式a?2a?1÷a+1???題型09二次根式的混合運算1．（2024·甘肅隴南·模擬預測）計算：22．（2024·湖南·模擬預測）計算：π3．（2024·廣東中山·模擬預測）計算：24．（2024·浙江杭州·一模）以下是小濱計算12÷解：原式=23小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．??題型10二次根式估值1．（2024·云南昆明·二模）估算12?A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間2．（2024·重慶·模擬預測）估計22+4÷A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間3．（2024·江蘇南京·一模）如圖，實數m在數軸上對應的點M到原點的距離為5．下列各數中，與m最接近的是（

）A．?42 B．?32 C．?224．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，估計3×13?1A．點A處 B．點B處 C．點C處 D．點D處??題型11與二次根式有關的新定義問題1．（2023·山東菏澤·三模）對于實數P，我們規定：用{p}表示不小于p的最小整數．例如：{4}=2，3=22．（2024·內蒙古烏海·一模）對于任意兩個不相等的正實數a，b定義新運算“※”，規定：a※b=a×b3．（2024烏海二中一模）對于任意的正數a、b，定義運算“*”為計算a?b=a+b4．（2022·重慶·模擬預測）材料一：若a是正整數，a除以3的余數為1，則稱a是“三拖一數”．例如：13是正整數，且13÷3=4?1，則13是“三拖一數”．材料二：對于任意四位正整數p，p的千位數字為a、百位數字為b、十位數字為c、個位數材字為d，規定：Fp請根據以上材料，解決下列問題：(1)判斷：124，1838是不是“三拖一數”？并說明理由；(2)若四位正整數p是“三拖一數”，p的千位數字的2倍與個位數字的和等于9，百位數字與十位數字的和等于8，Fp是有理數，求所有滿足條件的p??題型12與二次根式有關的規律探究1．（2023·貴州六盤水·二模）人們把5?12≈0.618這個數叫做黃金比，優選法中的“0.618法”與黃金分割緊密相關，這種方法經著名數學家華羅庚的倡導在我國得到大規模推廣，取得了很大的成果．設a=5?12，b=5+12，記SA．55 B．25 C．652．（2024·山東泰安·三模）細心觀察下面圖形，其中，Sn表示圖中第n個三角形的面積，認真分析各式：OA22=12+12=2，S1=123．（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規律作下去，第2024個正方形的邊長為（

）A．222024 B．222025 C．4．（2023·湖北黃岡·模擬預測）觀察下列等式：第1個等式：a1第2個等式：a2第3個等式：a3…根據以上等式給出的規律，計算：a1+a5．（22-23九年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1=30°，過點A1作A1B1⊥l1交直線l2于點B1，OB1=2，以A1B1為邊在△O6．（2024·安徽池州·模擬預測）觀察下列等式：①3?22=(2?1)2；請你根據以上規律，解答下列問題：(1)寫出第6個等式：；第n個等式：；(2)計算：5?26??題型13二次根式的應用1．（2024·湖南益陽·模擬預測）小靜、小智、小慧是同一學習小組里的成員，小靜在計算時出現了一步如下的錯誤：2小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對這一錯誤的認識：小智的思路：將2+3，小慧的思路：以2，3，5為三邊構造一個三角形，再由三角形的三邊的關系判斷2+3與根據小智與小慧的思路，請解答下列問題：(1)填空：∵2+32∴2+32≠(2)如圖，以2，3，5為三邊構造△ABC，①請判斷△ABC是什么特殊的三角形，并說明理由；②根據圖形直接寫出2+3與2．（2024·廣東肇慶·一模）【發現問題】由(a?b)2≥0得，a2+b2≥2ab；如果兩個正數a，b，即a>0【提出問題】若a>0，b>0，利用配方能否求出a+b的最小值呢？【分析問題】例如：已知x>0，求式子x+4解：令a=x,?b=4x，則由a+b≥2ab，得x+【解決問題】請根據上面材料回答下列問題：（1）2+3__________22×3（用“=”“>”“<”填空）；當x>0，式子x+【能力提升】（2）用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別是8和14，求四邊形ABCD面積的最小值．3．（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究a+b2與ab(1)觀察猜想：a+b2與ab的大小關系是a+b2______(2)計算驗證：當a=8,b=8時，a+b2與ab的大小關系是a+b2______ab；當a=2,b=6時，a+b2與ab的大小關系是a+b(3)推理證明：如圖，以AB為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作CD⊥AB于點D，設AD=a，BD=b．先用含a，b的式子表示出線段OC，CD，再寫出他們（含a，

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值．4．（2023·河南洛陽·二模）閱讀材料：我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：當a>0，b>0時，有a+b2=a?2ab請利用上述結論解決以下問題：(1)當x>0時，x+1x的最小值為_________；當x<0時，(2)當x>0時，求y=x(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為9和16，求四邊形ABCD的最小面積．1．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:y=33x?33與x軸相交于點A1，以OA1為邊作等邊三角形OA1B1，點B1在第一象限內，過點B1作x軸的平行線與直線l交于點A2，與y軸交于點C1，以2．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數形結合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數y=12x+1212+122+123即兩個函數圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數圖象的交點(1,1)到x軸的距為1，所以，12

【實踐應用】任務一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23方法2：借助函數y=23x+23因為兩個函數圖象的交點的坐標為______，所以，23任務二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求34任務三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出5?1

一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）函數y=x+2自變量的取值范圍是（

A．x>0 B．x>?2 C．x≥?2 D．x≠?22．（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．123．（2023·遼寧大連·中考真題）下列計算正確的是（

）A．20=2 C．8=42 4．（2023·河北·中考真題）若a=2，b=7，則A．2 B．4 C．7 D．25．（2022·貴州安順·中考真題）估計(25+52A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間6．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點E．若AE=mAB，則m

A．5?12 B．5?22 C．二、填空題7．（2024·山東青島·中考真題）計算：18+18．（2021·貴州銅仁·中考真題）計算27+189．（2022·四川宜賓·中考真題）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a10．（2022呼倫貝爾市中考真題）已知x，y是實數，且滿足y=x?2＋2?x＋18，則x?y11．（2021·湖北鄂州·中考真題）已知實數a、b滿足a?2+b+3=0，若關于x的一元二次方程x2?ax+b=0的兩個實數根分別為x112．（2021·湖北荊州·中考真題）已知：a=12?1+?3三、解答題13．（2024·青海·中考真題）計算：18?14．（2022·四川遂寧·中考真題）計算：tan30°+15．（2023·江蘇·中考真題）先化簡，再求值：aa2?2a+116．（2023·遼寧盤錦·中考真題）先化簡，再求值：1x+1+117．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形