新人教版八年級數學上冊知識點總結歸納+重點整理

新人教版八年級上冊數學各章節知識點總結

第十一章三角形

一、知識框架:

」三角形的外角畫------------多邊形的內角和

—形的內角和卜I多邊形的.角和

二、知識概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的

高.

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線.

5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的

線段叫做三角形的角平分線.

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性.

7.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

11.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平

面，

13.公式與性質：

⑴三角形的內角和：三角形的內角和為180°

⑵三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

⑶多邊形內角和公式：〃邊形的內角和等于（〃-2）?180°

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

⑸多邊形對角線的條數：從〃邊形的一個頂點出發可以引（〃-3）條對角線,

第十二章全等三角形

第一節：全等三角形

形狀大小放在一起完全重合的圖形，叫做全等形。換句話說，全等形就是能夠完全重合

的圖形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

兩個全等的三角形重合放在一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重

合的角叫做對應角。兩個三角形全等用符號“且”表示。如A4BC絲AA5C。其中對應的邊

是與4B，、4c與AC，、BC與B'C'。如若前一個三角形的邊的表示字母變換位置，那么

后一個三角形的對應字母也要變換位置，如CB與C?為對應邊。

全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。

第二節：三角形全等的判定

上節中知道全等三角形的三條對應邊，三個對應角均分別相等。那么是否可以從逆推得

三角形全等呢？

由于三角形具有穩定性，那么畫圖得兩個對應邊分別相等的三角形，發現它們全等，對

應角也相等。

再次，畫圖得兩個對應角分別相等的三角形，發現，它們的對應邊成比例，但是不一定

相等，例如，兩個等邊三角形，角都相等，但是邊長不一定相等。

所以有判定一：三邊對應相等的兩個三角形全等（邊邊邊或SSSZ

畫圖得兩個角度相等，邊分別相等的兩個角，依次分別連接角的邊的端點，得兩個全等

的三角形（兩邊與夾角確定第三邊）.

有判定二：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（邊角邊或SAS）。

畫圖得兩條長度相等的線段，分別以線段兩端點為起點做射線，射線與線段的夾角對應

相等，兩條射線相交與一點，形成兩個三角形。這兩個三角形全等。

有判定三：兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（角邊角或ASA）。

畫圖得兩個角度和一邊對應相等的兩個角，分別從該邊向另一邊引一條射線，射線與另

一邊的夾角對應相等。形成的兩個三角形全等。

有判定四：兩個角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（角角邊或4AS）。

畫圖得兩個直角三角形，它們的斜邊和一條直角邊對應相等，這兩個三角形全等。

有判定五：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（斜邊、直角邊或

第三節：角的平分線的性質

作圖：已知NA08,求作NAQB的平分線

做法：1、以。為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于交0B于N；2、分別以M、

N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在NAQB的內部交于點C；3、畫射線0C。

2

射線0C即為所求。

從射線OC上任選一點，分別作OA、0B的垂線段，沿著0C折疊，會發現OA、0B的垂

線段完全重合。

故，有角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

同理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

①確定己知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、

等腰三角形、等所隱含的邊角關系）；

②回顧三角形判定，搞清我們還需要什么；

③正確地書寫證明格式（順序和對應關系從已知推導出要證明的問題）。

可以逆推，由需要證明的結論一步步推導出已知條件。

第十三章軸對稱

第一節軸對稱

如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形就叫做軸對

稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。

把一個圖形沿著以一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。

把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形；把一個軸對稱圖形沿對

稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱。

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

第二節：畫軸對稱圖形

畫軸對稱圖形的步驟：1、選擇已知圖形的關鍵點；2、依次過它們做垂直于已知直線的

垂線，截取直線兩邊的線段長度相等，則新點即是已知圖形的關鍵點關于直線對稱的點；3、

依次連接各個點。所得圖形即為已知圖形的軸對稱圖形。

軸對稱圖形可以經過旋轉得出。

用坐標軸表示軸對稱：關于x軸對稱（x,y）與（x,-y）；關于y軸對稱（x,y）與（-x,

y）。

第三節等腰三角形

有兩個邊相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的性質：1）等腰三角形的兩個底角相等。簡言之：等邊對等角。

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。簡

言之：等角對等邊。

一種特殊的等腰三角形一一等邊三角形，三條邊相等，三個角相等并且都為60。。

反推，三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角

形。

在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

第十四章整式的乘法與因式分解

第一節：整式的乘法

1.同底數幕的乘法

一般地，對于任意底數。與任意正整數小，有o'"'（機、〃都是正整數）。即同底

數基相乘，底數不變，指數相加。該乘法法則是累的運算中最基本的法則.

在應用法則運算時，要注意以下幾點：

①法則使用的前提條件是：嘉的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數

字式字母，也可以是一個單項或多項式；

②指數是1時，不要誤以為沒有指數；

③不要將同底數基的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相

加；而對于加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加：

④當三個或三個以上同底數塞相乘時，法則可推廣為4?"'?一'=a"""+「（其中加、

〃、p均為正整數）；

⑤公式還可以逆用：/'+"=，"?〃"（〃?、〃均為正整數）。

2.哥的乘方

一般地，對任意底數。與任意正整數〃?、〃，有（〃八〃都是正整數）。即幕的

乘方，底數不變，指數相乘。該法則是基的乘法法則為基礎推導出來的，但兩者不能混淆。

另有：（廢尸（n〃都是正整數）。

當底數有負號時,運算時要注意,底數是。與G。）時不是同底,但可以利用乘方法則化成同

底,

如將（-4化成

優（當〃為偶數時），

一般地（一0）”=<

-優（當〃為奇數時）.

底數有時形式不同，但可以化成相同。

要注意區別（必尸與3+5）"意義是不同的，不要誤以為（。+6尸=/+父（a、b均不為零）。

3.積的乘方法則

一般地，對于任意底數。、〃與任意正整數人有（。與"=優力"（〃為正整數）。即積的

乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

塞的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

4.整式的乘法

1）單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單

項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

①積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的

是，將系數相乘與指數相加混淆：

②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；

③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

2）單項式與多項式相乘：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即

單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式。

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；

③在混合運算時，要注意運算順序。

3）多項式與多項式相乘：先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再

把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項

數應等于原兩個多項式項數的積；

②多項式相乘的結果應注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘

（x+a）（x+Z?）=x2+（a+h）x+ah,

其二次項系數為1,一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的

積。對于一次項系數不為1的兩個一次二項式（3+〃）和（nx+b）相乘可以得

(iwc+a)(nx+b)-mnx1+(mb+nd)+ah?

第二節：乘法公式

1.平方差公式

兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即（。+與（。-。

其結構特征是：

①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；

②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

2.完全平方公式

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即

（a+b）2=a~+2ab+b2?

口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央。

結構特征：

①公式左邊是二項式的完全平方；

②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現

（a±b）2=a2±b2這樣的錯誤。

添括號法則：添括號是，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；

如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號。即添正不變號，添負各項變號。

去括號法則同樣。

第三節：整式的除法

1.同底數暴的除法法則：一般地，有詭"（存0,小〃都是正整數，且加>〃），

即同底數基相除，底數不變，指數相減。

在應用時需要注意以下幾點：

①法則使用的編提條件:“同底數塞相除”而且。不能做除數，所以法則中存0。

②任何不等于0的數的0次幕等于1,即。°=1（。工0）,如10°=1,（-2.5）°=1,則0°無意

義。

③任何不等于0的數的-P次基S是正整數），等于這個數的p的次基的倒數，即

二（四0,P是正整數），而0L0-3都是無意義的；當〃>0時，力的值一定是正的；當

ap

a

時，V的值可能是正也可能是負的，如

（一2）-2=—=工，（_2）-3=_L^=_JL；

（-2）24（-2）38

④運算要注意運算順序。

2.整式的除法

1）單項式除法單項式

單項式相除，把系數、同底數基分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字

母，則連同它的指數作為商的一個因式；

2）多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。

特點：把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項

數相同，另外還要特別注意符號。

第四節：因式分解

把一個多項式化成兒個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做

把這個多項式分解因式。因式分解與整式乘法是互逆關系。

因式分解與整式乘法的區別和聯系：

（1）整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；

（2）因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘。

分解因式的一般方法：

1.提公共因式法

如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化

成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

如：ab+ac-a(b+c)?

概念內涵：

(1)因式分解的最后結果應當是“積”；

(2)公因式可能是單項式，也可能是多項式；

(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律，即：

ma+mh—mc-m(a+h—c)

易錯點點評：

(1)注意項的符號與幕指數是否搞錯；

(2)公因式是否提“干凈”；

(3)多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1,不漏掉。

2.運用公式法

如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做

運用公式法。

主要公式：

(1)平方差公式：a2-b2-(a+h)(a-b)

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2-(a-b)2

易錯點點評：

因式分解要分解到底。如-)/=(x2+y2)(x2-/)就沒有分解到底。

運用公式法：

(1)平方差公式：

①應是二項式或視作二項式的多項式；

②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方；

③二項是異號。

(2)完全平方公式：

①應是三項式；

②其中兩項同號，且各為一整式的平方；

③還有一項可正負,且它是前兩項塞的底數乘積的2倍。

因式分解的思路與解題步驟：

(1)先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的。

(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止。

第五節：補充

1.分組分解法：

利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

如：am+an+bm+bn-a(m+n)+b(m+n)-(a+/?)(〃?+〃)

概念內涵：

分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續分

解，分組后是否可利用公式法繼續分解因式。

注意：分組時要注意符號的變化。

2.十字相乘法：

對于二次三項式以2+bx+c,將a和c分別分解成兩個因數的乘積，

ay

a-ax-a2,c-c{-c2,且滿足》+。2。1，往往寫成加的形式，將二次三項

式進行分解。

2

如：ax+bx+c=(a]x+cl)(a2x+c2)

二次三項式/+川+^的分解：

p=a+bq=ab

1va

1入b

/++夕=(x+a)(x+b)

規律內涵：

把f+px+q分解因式時，如果常數項g是正數，那么把它分解成兩個同號因數，它

們的符號與一次項系數P的符號相同。

如果常數項g是負數，那么把它分解成兩個異號因數，其中絕對值較大的因數與一次

項系數P的符號相同，對于分解的兩個因數，還要看它們的和是不是等于一次項系數p。

易錯點點評：

(1)十字相乘法在對系數分解時易出錯；

(2)分解的結果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正

確。

第十五章分式

知識點一：分式的定義

A

一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式，A為

B

分子，B為分母。

知識點二：與分式有關的條件

①分式有意義：分母不為O(BwO)

②分式無意義：分母為0(B=0)

A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0（《)

">°或.A<0

④分式值為正或大于0：分子分母同號（!)

S>0B<0

A>0A<0

⑤分式值為負或小于0：分子分母異號（或,)

B<0B〉0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為T：分子分母值互為相反數（A+B=O）

經典例題

1、代數式4一,是（）

X

A.單項式B.多項式C.分式D.整式

.21、71工工中，分式的個數為（）

2、在一,—(z尤+y)，-----，一

x3)一3a4

A.1B.2C.3D.4

3、當。是任何有理數時，下列式子中一定有意義的是（）

Q+1Q+1a+1。+1

A.----B.C.-3—D.

aa~Q-+1a2-l

八?^冗+1z-xX—1oX—11

4、當x=l時,分式①——，——,④中，有意義的是（)

x—12x—2X—1丁+1

A.①③④B.③④C.②④D.@

QI4

5、使分式r絲的值為0,則X等于（）

8x—3

6、若分式一x----1---的值為0,則X的值是（）

x+x—2

A.1或一1B.1C.-1D.-2

_r4-1

7、當x_________時，分式上」的值為正數.

X-1

8、當x_________時，分式上r4」-1的值為負數.

x-\

9、當％=__________時，分式—Y-4-1的值為L

3x—2

知識點三：分式的基本性質

1.分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

上一AA*CAA

字母表不：一=-----,?=其中A、B、C是整式，CHO。

BB?CBB+C

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的

值不變，即

A__A__4_A

--W~~^B

注意：在應用分式的基本性質時，要注意CHO這個限制條件和隱含條件BHO。

經典例題

1、把分式‘一的分子、分母都擴大2倍，那么分式的值（）

a+b

A.不變B.擴大2倍C.縮小2倍D.擴大4倍

2、下列各式正確的是（）

a+x_a+\y_y2

_nnaz八、nn-a

A.—D.—7C.—=-----,(QW0)D.—=

b+xb+\xx~mmamm-a

3、下列各式的變式不正確的是（）

-22-yy_3x3xr-8尤8x

A.—=------B.—:-=——C.------=-------D.--------=

3y3y-6x6x-今4y3y—3y

知識點四：分式的約分

定義：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因式。

注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數的最大公約數，然

后約去分子分母相同因式的最低次幕。

②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。

知識點四：最簡分式的定義

一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

經典例題

,,..?2ab,%2—9

1、約分：①———；---------

2Qa2bx~-6x+9

2、化簡修的結果是（）

m

D、

m+3m+3加一33-/77

知識點五：分式的通分

第四節分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等

的同分母分式，叫做分式的通分。

第五節分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次嘉的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡公分母。

確定最簡公分母的一般步驟：

I取各分母系數的最小公倍數；

II單獨出現的字母（或含有字母的式子）的哥的因式連同它的指數作為一個因式;

III相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指數最大的。

IV保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的事的因式都要取。

注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。

經典例題

1、分式42c，—aV，5上b二的最簡公分母是（）

3crb-4b4clac2

A.12abcB.—\2abcC.24a2b4c2D.\2a~b4c2

2、通分：而‘赤'與痂

知識點六:分式的四則運算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

ac_a*c

式子表示為:bed-bTd

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

adaed

式子表示為：3十￡——?—=-------

bdbcb-c

②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子（二］=—

IbJb"

③分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

aba+b

-i-=-------

CCC

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為

a+cad±he

bdbd

整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數，整式前面是負號，要加括號，看作是分

母為1的分式，再通分。

④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序

先乘方、再乘除、后加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也

要注意靈活，提高解題質量.

注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規范，不要隨便

跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。加減后得出的結果一定要化成最簡分式

（或整式）。

經典例題

1、下列運算正確的是（）

6

%x+y八-x+V?a+x_a

A.——=xB.——-=0C.--------=-1D.

Xx+yx-yb+xb

2、計算：①（一處）3=②(―與一(士)3、4)2

3cacb

知識點七:整數指數累

①引入負整數、零指數暴后，指數的取值范圍就推廣到了全體實數，并且正整數幕的法則

對負整數指數事一樣適用。即

★a"'d=a"'+"★（aw）Z，=amn★（ab）"=a?"V"=產"（aW0）

★f-1=—★<?-"=，（a/0）

IbJb'1an

★。。=1（。/0）（任何不等于零的數的零次幕都等于1）

其中m,n均為整數。

科學記數法

若一個數x是0<x<l的數，則可以表示為axlO"（1<同<10,即a的整數部分只有一

位，n為整數）的形式，n的確定n=從左邊第一個0起到第一個不為0的數為止所有的。的

個數的相反數。0.0000125-1.25xlO-7

7個0

若一個數x是x>10的數則可以表示為axl（r（l<|a|<10,即a的整數部分只有一位，n

為整數）的形式，n的確定n二比整數部分的數位的個數少1。如12QOOOOQO=1.2x108

9個數字一

YIc21

1,計算：①———-;②法+標

X-11-X

2x工的結果是（

2、化簡)

X2-4x-2

113x—23x+2

A.B.-------C.——DF

x+2x—2X2-4

9—的結果是（

3、化簡，

a-ha(a-b)

a+ba-bb-a

A.B.-------C.----D.Q+b

aaa

x-3x+31221111

4.計算：①②-9---------—5-------1-----------1---------

x+3x-3ci—19。+33—ax—1x+1X—1

知識點八：解分式方程的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的過程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中:

如果最簡公分母為0,則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不

為0,則是原方程的解。

產生增根的條件是：①得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。

知識點九:列分式方程

基本步驟

①審一仔細審題，找出等量關系。

②設一合理設未知數。

③列一根據等量關系列出方程（組）。

④解一解出方程（組）。注意檢驗

⑤答一答題。

經典例題

2+xxiII4

1、已知方程①二一1=e；?-+—=0；5；④—I----4,其

353x-3x-3x+2兀2萬

中是分式方程的有（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

2x

2、分式方程+一一=1,去分母時兩邊同乘以，可化整式方程

X2-}x-\

3、若關于x的方程竺擔+1=0有增根，則a的值為_________

x-1

4、如果分式方程「一='上無解，則m的值為_________

X+lX+1

新人教版八年級上冊數學知識點總結歸納

第十一章三角形

3）全等三角形

4）軸對稱

5）整式乘法和因式分解

6）分式

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的

線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三

角形的內角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫

做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線

(簡稱三角形的高)。

3、三角形的穩定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質

在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

(1)三角形有三條線段]

(2)三條線段不在同一直線上J三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號表示，頂點是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形

ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關系分類如下：

不等邊三角形

三角形1r底和腰不相等的等腰三角形

Y

、等腰三角形I

等邊三角形

三角形按角的關系分類如下：

直角三角形(有一個角為直角的三角形)

三角形J銳角三角形(三個角都是銳角的三角形)

斜三角形一

鈍角三角形(有一個角為鈍角的三角形)

把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角

邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關系定理及推論

(1)三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

(2)三角形三邊關系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關系。

7、三角形的內角和定理及推論

三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三

角形的面積='X底X高

2

多邊形知識要點梳理

(

定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

r凸多邊形

分類1：i

<凹多邊形

—

J正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

分類2：L

多邊形非正多邊形:

J1、n邊形的內角和等于180。(n-2)。

多邊形的定理I2、任意凸形多邊形的外角和等于360。。

3、n邊形的對角線條數等于l/2.n(n-3)

只用一種正多邊形：3、4、6/。

、>

鑲嵌IJ拼成360度的角

只用一種非正多邊形(全等)：3、4。

知識點一：多邊形及有關概念國

1、多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(1)多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應注意：

①一些線段(多邊形的邊數是大于等于3的正整數)；

②首尾順次相連，二者缺一不可；

③理解時要特別注意“在同一平面內”這個條件，其目的是為了排除幾個點不共面

的情況，即空間

多邊形.

2、多邊形的分類：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整

個多邊形都在這

條直線的同一側，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見圖1).本章所講的

多邊形都是指凸

多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數命名，多邊形有〃條邊就叫做〃邊形.三角形、四邊形都屬于

多邊形，其中三角

形是邊數最少的多邊形.

知識點二：正多邊形面

正三角形正方形正五邊形正六邊形

正十二邊形

要點詮釋：青

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊

形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個

角也都相等的四邊形才是正方形

知識點三：多邊形的對角線底1

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.如圖2,

BD為四邊形ABCD的一條對角線。

要點詮釋：國

(1)從n邊形一關力啰以引(n—3)條對角線，將多邊形分成(n—2)個三角形。

(2)n邊形共有2條對角線。

證明：過一個頂點有n-3條對角線(n23的正整數)，又二?共有n個頂聲，.?.共有n(n-3)

—?(?—3)

條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復了一次，.?.凸n邊形，共有2條對角

線。

知識點四：多邊形的內角和公式闔

1.公式：閥邊形的內角和為5-2)180-伽23)

2.公式的證明：

證法1：在花邊形內任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構成％個三角形，這

萬個三角形的內角和為北180,再減去一個周角，即得到北邊形的內角和為伽一2)?180"

證法2：從抬邊形一個頂點作對角線，可以作仍一為條對角線，并且力邊形被分成

伽-2)個三角形，這伽-2)個三角形內角和恰好是“邊形的內角和，等于8-2)1即°

證法3：在閥邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得伽一1)個三角形，花邊形內角和

等于這(％-1)個三角形的內角和減去所取的一點處的一個平角的度數，

即(?-1)180,-180°=(?-2)180,

要點詮釋：國

(1)注意：以上各推導方法體現出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。

(2)內角和定理的應用：

①已知多邊形的邊數，求其內角和：

②已知多邊形內角和，求其邊數。

知識點五：多邊形的外角和公式施

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以北

邊形的內角和加外角和為止180-,外角和等于“1即--5-2)-181=360°注意：n邊形

的外角和恒等于360°,它與邊數的多少無關。

要點詮釋：施

(1)外角和公式的應用：

①已知外角度數，求正多邊形邊數；

②已知正多邊形邊數，求外角度數.

(2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關系：

①n邊形的內角和等于(n—2)780°(n23,n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數

n有關，每增加

1條邊，內角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360。，與邊數的多少無關。

知識點六：鑲嵌的概念和特征詞

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做

用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公

共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實現鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內

角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決

問題的關鍵在于正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起

恰好組成一個周角360°時，就能孵一球懶圖形。

事實上，正n邊形的每一個內角為左色一5[go。要求k個正n邊形各有一個.角拼于一

點，恰好覆蓋地面，這樣360°=?，由此導出k=〃一2=2+2,而k

是正整數，所以n只能取3,4,6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正

方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規則的

四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處

各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用

正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三

角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以

作平面鑲嵌，見下圖：

又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個

(4)(5)(6)

正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角

360°。

規律方法指導國

1.內角和與邊數成正比：邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少.每增加一

條邊，內角的和

就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內角和必須是180°的整數倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數的多少無關.

3.多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三

個鈍角，最少

沒有鈍角.

4.在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程

思想是解決本節

問題的常用方法.

5.在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決.三角形是一

種基本圖形，是

研究復雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數學中的應用.

經典例題透析底1

螺-：多邊形內角和及外角和定理應用向

IFi.一個多邊形的內角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結升華：本題是多邊形的內角和定理和外角和定理的綜合運用.只要設出邊數

%,根據條件列出關于閥的方程，求出然的值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個多邊形的內角和與外角和的總度數為1800°,求這個多邊形的邊數.

[

【變式2】一個多邊形除了一個內角外，其余各內角和為2750°,求這個多邊形的內角

和是多少？

【答案】設這個多邊形的邊數為力,這個內角為/，

【變式3】一個多邊形的內角和與某一個外角的度數總和為1350°,求這個多邊形的邊

數。

類型二：多邊形對角線公式的運用面

【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數是().

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一個十二邊形有幾條對角線。

?(?-3)

總結升華：對于一個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規律一~條,牢記這

個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數，要記住這個公式只有在理解

的基礎之上才能記得牢。

類型三：可轉化為多邊形內角和問題贏

【變式1】如圖所示，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

2

【變式2】如圖所示，求NA+/B+/C+/D+/E+/F的度數。

類型呸實際應用題誦

4.如圖，一輛小汽車從P市出發，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回

P市，這輛小汽車共轉了多少度角？產」

思路點撥：根據多邊形的外角和定理解決.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，小亮從A點出發前進10m,向右轉15°,再前進10m,又向右

轉15°,…，這樣一直走下去，當他第一次回到出發點時，一共走了m.

【變式2】小華從點A出發向前走10米，向右轉36°,然后繼續向前走10米,

再向右轉36°,他以同樣的方法繼續走下去，他能回到點A嗎？若能，當他走回

點A時共走了多少米？若不能，寫出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產的一塊模板，己知該模板的邊AB〃CF,

CD〃AE.按規定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測

量.這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎

規定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由.

思路點撥：本題中將AB、CD延長后會得到一個五邊形，根據五邊形內角和為540。，

又由AB〃CF,CD〃AE,可知/BAE+/AEF+NEFC=360°,從540°中減去80°再減去

360°,剩下NC的度數為100°,所以只需測NC的度數即可，同理還可直接測NA的度

數.

總結升華：本題實際上是多邊形內角和的逆運算，關鍵在于正確添加輔助線.

類型%鑲嵌問題國

IF5.分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設計圖。“封

(1)正方形和正八邊形；

(2)正三角形和正十二邊形；

(3)正三角形、正方形和正六邊形。

思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內角的和能構成一個周角，那么這些多邊形就能作

平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊

形、正八邊形、正十二邊形的每一個內)

角分別是60°、90°、120°、135°、

(1)因為90+2X135=360,所以一⑴⑵

個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，

如圖⑴所示。

(2)因為60+2X150=360,所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖(2)

所示。

(3)因為60+2X90+120=360,所以一個頂點處有1個正三