第四章三角形專(zhuān)題二利用垂線(xiàn)段解決最值問(wèn)題模型一垂線(xiàn)段最短如圖，已知直線(xiàn)l外一定點(diǎn)A和直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)B，求點(diǎn)A，B之間距離的最小值．通常過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)AB，利用垂線(xiàn)段最短解決問(wèn)題，即連接直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短．1．如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，BC＝3，AC＝4，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為eq\f(12,5)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．如圖，在△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線(xiàn)段AQ長(zhǎng)的最小值是5．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))3．如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，以DP，CP為鄰邊作?DPCQ，連接PQ，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值為2eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))4．如圖，在菱形ABCD中，P為對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在邊CB上，CB＝2，∠BCD＝120°，則CP＋PM長(zhǎng)的最小值為eq\r(3).eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))模型二“胡不歸”問(wèn)題問(wèn)題：A為直線(xiàn)l上一定點(diǎn)，B為直線(xiàn)l外一定點(diǎn)，P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．解題步驟：第一步：作角(過(guò)點(diǎn)A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)；第二步：作垂直(構(gòu)造直角三角形，在Rt△APE中將kAP轉(zhuǎn)化為PE)；第三步：化折為直(使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線(xiàn)段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長(zhǎng)).5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，且AM＝3，P為線(xiàn)段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB長(zhǎng)的最小值是eq\f(7\r(3),2)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋eq\f(\r(3),2)PD長(zhǎng)的最小值為3eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4eq\r(3)，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O.若P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DP＋eq\f(\r(2),2)BP長(zhǎng)的最小值為2eq\r(2)＋2eq\r(6).第四章三角形(解析版）專(zhuān)題二利用垂線(xiàn)段解決最值問(wèn)題模型一垂線(xiàn)段最短如圖，已知直線(xiàn)l外一定點(diǎn)A和直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)B，求點(diǎn)A，B之間距離的最小值．通常過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)AB，利用垂線(xiàn)段最短解決問(wèn)題，即連接直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短．1．如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，BC＝3，AC＝4，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為eq\f(12,5)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．如圖，在△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線(xiàn)段AQ長(zhǎng)的最小值是5．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))3．如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，以DP，CP為鄰邊作?DPCQ，連接PQ，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值為2eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))4．如圖，在菱形ABCD中，P為對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在邊CB上，CB＝2，∠BCD＝120°，則CP＋PM長(zhǎng)的最小值為eq\r(3).eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))模型二“胡不歸”問(wèn)題問(wèn)題：A為直線(xiàn)l上一定點(diǎn)，B為直線(xiàn)l外一定點(diǎn)，P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．解題步驟：第一步：作角(過(guò)點(diǎn)A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)；第二步：作垂直(構(gòu)造直角三角形，在Rt△APE中將kAP轉(zhuǎn)化為PE)；第三步：化折為直(使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線(xiàn)段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長(zhǎng)).5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，且AM＝3，P為線(xiàn)段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB長(zhǎng)的最小值是eq\f(7\r(3),2)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋eq\f(\r(3),2)PD長(zhǎng)的最小值為3eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖