§5-1電容元件

數字邏輯電路中的延遲現象產生這一現象的原因：構成邏輯門的晶體管或MOS管具有內部電容所致。

XX內容提要電容元件的基本性質和VCR電容元件的串并聯1.電容元件的基本性質和VCR絕緣介質電容元件(capacitor)是電容器的理想化模型。電容元件是一種電荷與電壓相約束的電容器的理想化模型，具有存儲電荷從而在電容器中建立電場的作用。充電X演示1.1定義：如果在任一時刻t，一個二端元件的端電壓u(t)與其存儲的電荷q(t)之間的關系可以用u-q平面上的一條曲線確定，則稱此二端元件為電容元件。1.2符號X1.電容元件的基本性質和VCR1.3線性非時變電容元件：電容元件的特性曲線是u-q平面上的一條過原點的直線，且不隨時間而變化。1.4電容(capacitance):C

單位：法拉（F）

V,C微法()，皮法(pF)X或：1.電容元件的基本性質和VCR1.5電容元件的VCR在關聯參考方向下：非關聯參考方向：通常，電壓、電流采用關聯參考方向。結論：某一時刻，電容的電流取決于該時刻電容電壓的變化率。電容元件是一種動態元件。X1.電容元件的基本性質和VCR電容在直流電路中相當開路——隔直作用電容動態特性的體現

X1.電容元件的基本性質和VCR在關聯參考方向下：X1.電容元件的基本性質和VCR結論：某一時刻的電容電壓不僅與該時刻的電流有關，而且還與此時刻以前的所有電流值有關。電容電壓具有“記憶”性質，電容元件是一種記憶元件。初始電壓設電容電流波形雖然不連續，但電容電壓波形卻是連續的。X1.電容元件的基本性質和VCR（電容電壓不能躍變）電容電壓的連續性質：若電容電流在閉區間內為有界的，則電容電壓在開區間內為連續的。特別是對任意時刻t，且有：

如圖(a)所示，電容與一電流源相接，電流源的波形如圖(b)所示，試求電容電壓。設u(0)=0。

解：(1)先寫出電流的函數表達式。X例題1(2)根據公式進行分段積分解（續）X解（續）XX1.6電容元件的功率和儲能1.電容元件的基本性質和VCR瞬時功率：每一瞬間的功率。電容的瞬時功率:某一時刻電容的儲能結論：某時刻電容的儲能只與該時刻的電壓有關，電容的儲能總為正。電容是無源元件。X1.電容元件的基本性質和VCR>0電容不斷儲能<0電容向外電路釋放能量t1~t2期間電容儲存或釋放的能量：結論：t1~t2期間電容儲存或釋放的能量只與t1、t2時刻的電壓值有關，而與此期間內的其他電壓值無關。X1.電容元件的基本性質和VCR返回結論：電容的功率有正有負，說明電容有時吸收功率，有時放出功率。總結：電容的儲能本質使電容電壓具有記憶性質；在電容電流為有界條件下儲能不能躍變使電容電壓具有連續性質。2.電容元件的串并聯

2.1電容元件的串聯

根據KVL:

等效電路

……X其中：為等效電容的初始電壓，是各串聯電容初始電壓的代數和。X2.電容元件的串并聯Cs

為等效電容，其倒數為各串聯電容倒數之和。

2.2

電容元件的并聯

（設電容初始電壓為0）

根據KCL可得等效電容:

為各并聯電容之和。X2.電容元件的串并聯

例題2

如圖所示電路中，各電容元件的電容值均為，試求端口ab的等效電容。解

X例題3兩個1F電容并聯的等效電容為：

根據電荷平衡原理，3F上的電荷應與電荷相等。上的

求如圖所示電路中各電容元件上的電壓。已知。解

返回X§5-2電感元件X內容提要電感元件的基本性質和VCR電感元件的串并聯1.電感元件的基本性質和VCR電感元件(inductor)是電感器的理想化模型。X演示電感元件是一種磁鏈與電流相約束的電感器的理想化模型，具有存儲磁通從而在電感器中建立磁場的作用。

1.1定義：如果在任一時刻t，一個二端元件的電流i(t)與其磁鏈

(t)之間的關系可以用i-

平面上的一條曲線確定，則稱此二端元件為電感元件。1.2符號X1.電感元件的基本性質和VCR1.3線性非時變電感元件：電感元件的特性曲線是i-

平面上的一條過原點的直線，且不隨時間而變化。1.4電感(inductance):L

單位：亨利（H）

W,A毫亨(mH)，微亨()X或：1.電感元件的基本性質和VCR關聯參考方向下結論：某一時刻，電感的電壓取決于該時刻電感電流的變化率。電感元件是一種動態元件。非關聯參考方向：X1.電感元件的基本性質和VCR1.5電感元件的VCR電感動態特性的體現電感在直流電路中相當于短路X1.電感元件的基本性質和VCR任選初始時刻t0X1.電感元件的基本性質和VCR初始電流結論：某一時刻的電感電流不僅與該時刻的電壓有關，而且還與此時刻以前的所有電壓值有關。電感電流具有“記憶”性質，電感元件是一種記憶元件。X1.電感元件的基本性質和VCR（1）在電感電壓為有界值的情況下，電感電流不能躍變——電感電流的連續性。-------------------------------（2）某時刻電感的儲能只與該時刻的電流有關，電感的儲能總為正。電感是無源元件。t1~t2期間電感儲存或釋放的能量：例題1已知流過3H電感元件的電流為,如果電壓與電流為關聯參考方向，試求電感兩端的電壓及和時電感的儲能。解：

時，時，返回X2.1電感的串聯（設電感初始電流為0）根據KVL：2.電感的串并聯

等效電路

X其中：為等效電感，是各串聯電感的總和。2.2電感的并聯根據KCL：2.電感的串并聯X

其中：為等效電路電感的初始電流，是各并聯電感初始電流的代數和。Lp為等效電路的等效電感，其倒數為各并聯電感倒數之和。2.

電感的串并聯X試求如圖所示電路端口ab的等效電感。例題2解：X將如圖所示電路化為最簡形式。例題3等效電容：等效電感：解：返回X§5-3憶阻元件三種無源元件——電阻R、電容C和電感L與電路的基本變量之間的聯系。電路基本變量之間的關系結構圖憶阻元件1971年加州大學伯克利分校的華裔科學家蔡少棠提出在和q之間存在類似R、L、C的第四類基本電路元件——憶阻器。憶阻器的定義如下：

將M

稱為憶阻，M是q的函數。符號憶阻元件憶阻器的一些基本特性：是耗能元件；具有記憶性；只有非線性憶阻器才有實際意義；只在交變狀態才能正常工作。2008年5月1日，來自惠普實驗室的四位科學家在Nature雜志上發表了題為“Themissingmemristor

found”的文章，宣布研制出了納米尺度的憶阻元件。惠普實驗室發現的憶阻器可以在納米尺度上實現開關，這將極大地縮小存儲器的體積，因此，對數字計算機的發展可能具有深遠意義。憶阻元件§5-4換路定則及初始值的確定X內容提要基本概念換路定則初始值的確定X換路(circuitchanging)：由于某種原因(例如電源或某部分電路的接通或斷開、電路元件參數的改變等)使電路的工作狀態發生變化，使其由一種工作狀態變化到另外一種工作狀態，將這種工作狀態的改變稱為換路。過渡過程(transition)：換路過程中電路的電量隨時間變化的過程稱為過渡過程或瞬態(transient)。電路的瞬態分析：對電路過渡過程的分析。初始值(initialvalue)：電量在換路后瞬間的值。換路時刻：換路前時刻：換路后時刻：1.基本概念返回換路定則(circuitchangingrule)：在電容電流和電感電壓為有界值的情況下，電容電壓不能躍變，電感電流不能躍變。2.換路定則X返回（1）由時刻的等效電路計算和。（2）根據換路定則確定、。（3）由時刻的等效電路計算其他各電量的初始值。電容用電壓值等于的電壓源代替；獨立源則取其在時的值。電感用電流值等于的電流源代替；3.初始值的確定在直流激勵下，電容相當于開路，電感相當于短路。X例題1

如圖所示電路，開關S在時刻打開，S打開前電路已處于穩態，求開關打開后電路中各元件的電壓值。開關打開前電容開路X解：畫出開關打開后的等效電路例題2

求如圖所示電路中的、、和。t=0時，開關閉合。X解：時，開關未閉合，電感短路。畫出開關閉合后的等效電路因為所以的單位換算：

X解（續）例題3

如圖所示電路中，已知,。求、、、、。

X解：畫出等效電路根據KVL：因為，所以，由此可見：

時，雖然，但電流變化率不為零。X解（續）所以，求初始值的基本步驟2）根據換路定則，，。3）畫出等效電路，其中，電容用電壓值為的電壓源代替，電感用電流值為的電流源代替。4）用分析直流電阻電路的方法計算待求量。X返回等效電路計算和。1）由§5-5一階電路的零輸入響應內容提要一階RC電路的零輸入響應一階RL電路的零輸入響應時間常數基本概念X

動態電路(dynamiccircuit):至少含有一個動態元件的電路。1.基本概念

一階動態電路(one-ordercircuit):用一階微分方程描述的動態電路。X

二階動態電路(two-ordercircuit):用二階微分方程描述的動態電路。

高階動態電路:二階以上的動態電路。

狀態變量(statevariable):如果已知該量在初始時刻的值，則根據該時刻的輸入就能確定電路中任何量在隨后時刻的值，稱具有這種性質的量為狀態變量。

電容電壓，電感電流1.基本概念零輸入響應

零狀態響應

＋X＝1.基本概念零狀態響應(zerostateresponse--z.s.r)：動態元件的初始儲能為零，僅由外加激勵產生的響應。零輸入響應(zeroinputresponse--z.i.r)：在沒有外加激勵作用下，僅由動態元件的初始儲能產生的響應。全響應(completeresponse--c.r)：零輸入響應與零狀態響應之和。返回X2.一階RC電路的零輸入響應KVL方程:

X

時發生換路，開關S閉合。求時的、、。——一階常系數線性齊次微分方程已知，2.一階RC電路的零輸入響應得:X特征方程:

特征根:

根據換路定則:電壓、電流曲線:

2.一階RC電路的零輸入響應X一階RC電路的零輸入響應是一個放電過程。時間常數(timeconstant)：時間常數的單位：秒(s)

歐姆()

法拉(F)——RC電路的固有頻率

(naturalfrequency)只要知道了某量的初始值和電路的時間常數，就能夠得到該量在過渡過程中的變化規律。2.一階RC電路的零輸入響應X零輸入響應的標準形式：返回庫侖3.一階RL電路的零輸入響應

開關打開后的KVL方程:

X開關S打開前電路已處于穩態，求開關打開后的、、。——一階常系數線性齊次微分方程3.一階RL電路的零輸入響應

得:X特征方程:

特征根:

根據換路定則:電流、電壓曲線3.一階RL電路的零輸入響應

X一階RL電路的零輸入響應是一個放電過程。——RL電路的固有頻率3.一階RL電路的零輸入響應

X時間常數(timeconstant)：時間常數的單位：秒(s)

亨利(H)/歐姆()電路中各量的零輸入響應符合如下標準形式：線性非時變電路的零輸入響應滿足齊次性，即如果初始值增加或減小K倍，則響應也增加或減小K倍。返回RC電路:工程上常取t=(4~5)

作為放電完畢所需時間。4.時間常數XRL電路:電壓、電流衰減的快慢取決于時間常數的大小，越大，衰減越慢，反之則越快。X一階RC電路不同時間常數時的放電曲線4.時間常數X同一電路中各響應量的時間常數相同。零狀態響應和全響應都具有這種特點。求解電路中的電壓、電流變量只涉及根據KCL、KVL進行的加、減運算和根據元件的VCR進行的乘、除、微分及積分運算，這些運算都不會改變指數函數的形式。X解：根據換路定則：例題1已知時電路處于穩態，時開關打開。求時的。例題2

如圖所示電路中，已知；。求時的和。

時，電容開路解：與電容連接的等效電阻為：時，根據換路定則：

X

解（續）X根據

時的等效電路求。解（續）X例題3

如圖所示電路中，電感元件已有初始儲能，。求時的先求AB左端網絡的等效電阻。解：與電感連接的等效電阻為：X，解（續）X返回§5-6一階電路的零狀態響應

內容提要一階RL電路的零狀態響應一階RC電路的零狀態響應X零狀態響應(z.s.r)是在零初始狀態下，僅由外加激勵源產生的響應。KVL方程：（一階線性常系數非齊次微分方程）1.一階RC電路的零狀態響應X開關閉合1.一階RC電路的零狀態響應解的形式為：由初始值求得：X——齊次方程的通解——非齊次方程的特解（與激勵形式相同）時間常數：固有頻率：1.一階RC電路的零狀態響應X一階RC電路的零狀態響應是儲能從無到有的建立過程——充電過程。不同時間常數時的充電曲線X仿真電阻消耗的能量：（與R的大小無關）充電效率為50%。1.一階RC電路的零狀態響應X終值（穩態值）電容的最終儲能：返回2.一階RL電路的零狀態響應KCL方程：X（一階線性常系數非齊次微分方程）

一階RL電路的零狀態響應是儲能從無到有的建立過程——充電過程時間常數：固有頻率：2.一階RL電路的零狀態響應X電阻消耗的能量：（與R的大小無關）充電效率為50%。2.一階RL電路的零狀態響應X終值（穩態值）電感的儲能：零狀態響應滿足齊次性和疊加性：激勵增長k倍，響應也增長k倍。如果有多個激勵，則零狀態響應是每個激勵單獨作用產生的零狀態響應的疊加。R為與動態元件連接的戴維南等效電阻或諾頓等效電阻。

——只適用于狀態變量的零狀態響應的一般形式2.一階RL電路的零狀態響應X例題1如圖所示電路在時處于穩態，。求開關S閉合后的和并畫出他們的變化曲線。

解：電容電壓的穩態值：與電容連接的等效電阻：電路的時間常數：X電容電壓：電壓變化曲線X解（續）例題2如圖所示電路在時處于穩態，。求開關S閉合后的和，并畫出他們的變化曲線。

開關S閉合后電路再達穩態時，電感短路，所以電感電流的穩態值為：解：與電感連接的等效電阻：電路的時間常數為：X電感電流：電壓、電流變化曲線解（續）X例題3如圖所示電路在時處于穩態，，。求開關S閉合后的和。

開關閉合后，左右兩條支路的端電壓相等。左右兩部分電路是兩個獨立的部分，可以分別考慮。X解：與電感連接的等效電阻：右邊電路的時間常數：與電容連接的等效電阻：X解（續）左邊電路的時間常數：返回

——只適用于狀態變量的零狀態響應的一般形式總結X§5-7一階電路的全響應全響應——動態元件既有初始儲能，電路又有外加激勵情況下的電路響應。開關閉合后：全響應＝零輸入響應＋零狀態響應X一階電路的全響應經典法X一階電路的全響應自由分量

暫態響應強制分量

穩態響應X一階電路的全響應forcedcomponent

steady-stateresponse

transientresponse

naturalcomponent

電容放電電容充電沒有過渡過程如圖所示電路，開關S閉合前電路已處于穩態，t=0時S閉合。試求uC(t)，

。電路處于穩態解:X例題1(1)零輸入響應(2)零狀態響應

解（續）X(3)全響應解（續）X(4)12V電壓源改為24V電壓源此時，只影響零輸入響應，零狀態響應不變。全響應為：思考：如果36V電壓源改為48V電壓源結果如何？解（續）X§5-8

一階電路的三要素法

內容提要三要素法三要素法解題步驟X1.三要素法X——穩態值——三要素公式零輸入、零狀態法：經典法：穩態值初始值時間常數1.三要素法X三要素法可用于求解在直流激勵下，一階動態電路中任一支路的電壓和電流。返回2.三要素法解題步驟

1.X(1)畫等效電路，注意：此時電容開路，電感短路。(2)畫等效電路，2.求穩態值此時電容用電壓值為的電壓源替代，電感用電流值為的電流源替代。畫等效電路，注意：此時電容開路，電感短路。3.暫態分量穩態分量4.寫出所求變量的函數表達式2.三要素法解題步驟

X求時除去動態元件后的含源單口網絡的戴維南等效電阻或諾頓等效電阻。解:X例題1時(1)畫等效電路，

解（續）X(2)畫等效電路，解（續）X(3)畫等效電路，解（續）X等效電阻時間常數穩態暫態z.i.rz.s.r

穩態暫態z.i.rz.s.r解（續）X寫出

的函數表達式電路在時已達到穩態，于時突然打開開關S，求。

解:X例題2例題3

已知下圖橋型電路中的電容電壓和電感電流的初始值都為零，時合上開關，設,表的內阻無限大，求開關閉合后：電壓1）流過開關的電流2）電壓表讀數達到最大值的時間；3）電壓表的最大讀數。X開關閉合后、L串聯支路與、C串聯支路具有相同的電壓，他們各自與電壓源構成充電回路。1）

X解:2）

當

時，達到最大值，此時：整理得：因為，所以：上式兩邊取自然對數：整理得：由可得：X解（續）時電壓表讀數達到最大值。3）

X解（續）例題4圖(a)所示RL電路中的電壓源電壓如圖(b)所示，

(a)(b)X且。試求時的并繪出變化曲線。（c）解:由于,所以在區間為零狀時，因為沒有了外加激勵，而且態響應；當由于前一段的充電，電感中已有儲能，所以為零輸入響應。

X解（續）是第一段在時刻的值，此即為第二段的初始值。例題5已知圖示電路中，，求開關閉合后：1）電容電壓的全響應、穩態響應、暫態響應、零輸入響應、零狀態響應并畫其波形。2）電阻上的電壓。

1）

X解：穩態響應：40V暫態響應：零輸入響應：零狀態響應：X解（續）2）方法一：根據電路結構和元件的VCR方法二：直接應用三要素法畫等效電路求X解（續）穩態值：返回X解（續）北京郵電大學電子工程學院退出開始電路分析基礎§5-9

一階電路的階躍響應內容提要單位階躍函數一階電路的階躍響應X1.單位階躍函數(unitstepfunction)

是奇異函數

延遲的(delayed)單位階躍函數

1.1

定義X1.2單位階躍函數的作用①可以表示信號的接入(起始)，故稱開關函數。③表示函數的定義域②表示脈沖信號(pulse

signal)定義域為[0,1]1.單位階躍函數(unitstepfunction)XX連續脈沖(分段常量信號)返回1.單位階躍函數(unitstepfunction)X2.一階電