階段方法技巧訓練（二）專訓2構造三角函數基本圖形解實際問題的幾種數學模型習題課

解直角三角形及其應用是近幾年各地中考命題的熱點之一，考查內容不僅有傳統的計算距離、高度、角度的應用題，還有要求同學們根據題中給出的信息構建三角函數的基本圖形，建立數學模型，將某些簡單的實際問題轉化為數學問題，把數學問題轉化為銳角三角函數問題來求解．運用銳角三角函數知識解決與實際生活、生產相關的應用題是近年來中考的熱點題型．1模型構造一個直角三角形解實際問題1．【2017·臺州】如圖是一輛小汽車與墻平行停放

的平面示意圖，汽車靠墻一側OB與墻MN平行

且距離為0.8米，已知小汽車車門寬AO為1.2米，

當車門打開角度∠AOB為40°時，車門是否會

碰到墻？請說明理由．(參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)如圖，過點A作AC⊥OB，垂足為點C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽車靠墻一側OB與墻MN平行且距離為0.8米，∴車門不會碰到墻．解：2．【2017·鄂州】如圖，小明想要測量學校食堂和食堂

正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發，向

前走3米到達A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他

又繼續走下臺階到達C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點離地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三點在同一直線上．(1)求樹DE的高度；(2)求食堂MN的高度．(1)設DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝(x－2)．

又∵CD＝

，BC＝

，∴BD＝BC＋CD＝

2＋

x.由AF＝BD可得(x－2)＝2＋

x，

解得x＝6.∴樹DE的高度為6米；解：(2)如圖，延長NM交DB的延長線于點P，則AM＝BP＝3.

由(1)知CD＝

x＝×6＝2，BC＝2，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4.∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋4－2＝1＋4，∴食堂MN的高度為(1＋4)米．2構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題模型3．【2016·資陽】如圖，“中國海監50”正在南海海域A處

巡邏，島礁B上的中國海軍發現點A在點B的正西方向

上，島礁C上的中國海軍發現點A在點C的南偏東30°

方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里.(1)求出此時點A到島礁C的距離；(2)若“中國海監50”從A處沿AC方向向島礁C駛去，當到達點A′時，測得點B在A′的南偏東75°

的方向上，求此時“中國海監50”的航行距離．(注：結果保留根號)(1)如圖所示，過點C作CD⊥BA交BA延長線于點D，

由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，

則DC＝60海里，

故cos30°＝

，

則AC＝40海里．

答：點A到島礁C的距離為40海里．解：(2)如圖所示：過點A′作A′N⊥BC于點N，A′E⊥AD于點E，

可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，則∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°.∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA.∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，

設AA′＝x，則A′E＝

x，

故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×x＝

x，∵x＋x＝40，∴x＝20(3－)海里．

答：此時“中國海監50”的航行距離為20(3－)海里．4．【2016·黔東南州】黔東南州某校吳老師組織九(1)班同

學開展數學活動，帶領同學們測量學校附近一電線桿

的高．如圖，已知電線桿直立于地面上，某天在太陽

光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平

地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，

在C處測得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請你根據這些數據求電線桿的高(AB)．(結果精確到1m，參考數

據：≈1.4，≈1.7)延長AD交BC的延長線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示．則∠G＝30°.在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝

＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，解：設AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝

，∵BG－BC＝CG，∴x－x＝8，解得：x≈11.答：電線桿的高約為11m.5．【中考·安徽】如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，

其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來臨前對其進行了加

固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡長AB＝20m，

求改造后的坡長AE(結果保留根號)．如圖，過點A作AF⊥BC于點F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×＝10(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，∴AE＝(m)．答：改造后的坡長AE為10m.解：3構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題模型6．【2016·深圳】某興趣小組借助無人飛機航拍校園．如

圖，無人飛機從A處水平飛行至B處需8s，在地面C處

同一方向上分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°.已知無人飛機的飛行速度為4m/s，求這架無人飛

機的飛行高度．(結果保留根號)．如圖，作AD⊥BC于D，BH⊥水平線于H，由題意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32(m)，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16m，BD＝AB·cos30°＝16m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋16)m，則BH＝BC·sin30°＝(8＋8)m.答：這架無人飛機的飛行高度為(8＋8)m.解：7．【2017·紹興】如圖，學校的實驗樓對面是一幢教學樓，

小敏在實驗樓的窗口C測得教學樓頂部D的仰角為18°，

教學樓底部B的俯角為20°，量得實驗樓與教學樓之間

的距離AB＝30m.(1)求∠BCD的度數．(2)求教學樓的高BD.(結果精確到0.1m，參考數據：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)(1)如圖所示，過點C作CE⊥BD于點E，

則有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由題意得，CE＝AB＝30m，

在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°，

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°，∴教學樓的高BD＝BE＋DE＝CE·tan20°＋CE·tan18°≈20.4(m)．

答：教學樓的高約為20.4m.解：4構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題模型8．【2017·濰坊】如圖，某數學興趣小組要測量一棟五層

居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5m；上面五

層居住，每層高度相等．測角儀支架離地1.5m，在A

處測得五樓頂部點D的仰角為60°，在B處測得四樓頂

部點E的仰角為30°，AB＝14m．求居民樓的高度．(精確到0.1m，參考數據：≈1.73)設每層樓高為xm，由題意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，則DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′