微積分 第二章習(xí)題2.9學(xué)習(xí)課件_第1頁
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文檔簡介

2．9有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題2.9假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且對上任一點(diǎn)有。試證明中必存在一點(diǎn)，使得（稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)）。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則在上連續(xù)。。若，由零點(diǎn)定理，在中存在一點(diǎn)使得，即否則必有或，即或證明方程其中至少有一個(gè)正根，并且它不超過證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則為連續(xù)函數(shù)。若由零點(diǎn)定理，在中有根。否則，為根。證明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。證明：記，則連續(xù)。，由零點(diǎn)定理，方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。若在上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。證明：記則。若，則，令即得所需結(jié)論。若，則。設(shè)，則在以為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，使，結(jié)論也成立。證明：若在內(nèi)連續(xù)，且存在，則必在內(nèi)有界。證明：證法1：設(shè)，則對于，存在，當(dāng)時(shí)，，于是有。在區(qū)間上，連續(xù)函數(shù)有界，不妨設(shè)。所以即為在上的界。證法2：設(shè)，記，，補(bǔ)充定義，則在上連續(xù)，故有界。所以在上有界。設(shè)在上連續(xù)，且又存在，使得證明在上有最大值。證明：補(bǔ)充定義，則在上連續(xù)，故有最大值。又存在，使得，所以最大值必可在上取到。設(shè)在上連續(xù)，且證明在上有最小值。證明：由存在當(dāng)或時(shí)，。在區(qū)間上連續(xù)，所以有最小值。顯然，所以即為在上的最小值。如果存在直線使得當(dāng)（或）時(shí)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，則稱為曲線的漸近線。證明：直線為曲線的漸近線的充分必要條件是求曲線的漸近線。證明：不失一般性，以為例。必要性：點(diǎn)到直線的距離為，所以由此可得，即充分性：由得進(jìn)而。所以直線為曲

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