②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．（3）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.2.奇偶性：函數奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數關于軸對稱奇函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數關于原點對稱3.周期性：（1）周期函數：對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.4.對稱性：(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．題型：題型1【函數定義相關類型】備注：利用函數定義域、值域、解析式的關系進行判斷【例1】．（2324高一上·上?！て谀┐嬖诤瘮禎M足：都有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：令，則，故，顯然不滿足函數定義；B：令，則，故，顯然不滿足函數定義；C：令，則，故，顯然不滿足函數定義；D：令，則，故，滿足函數定義.故選：D【例2】．（2324高一·浙江·期末）存在函數滿足對于任意都有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A.，一個對應兩個，錯誤；B.，，一個對應兩個，錯誤；C.，，一個對應兩個，錯誤；D.，則，正確.故選：D.【變式11】．（2324高一上·湖北宜昌·期中·多選）函數概念最早是在17世紀由德國數學家萊布尼茨提出的，后又經歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國數學家柯西給出了這樣的定義：在某些變數存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著確定時，則稱最初的變數叫自變量，其他的變數叫做函數．德國數學家康托爾創立的集合論使得函數的概念更嚴謹．后人在此基礎上構建了高中教材中的函數定義：“一般地，設是兩個非空的數集，如果按某種對應法則，對于集合中的每一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應叫做從到的一個函數”．下列對應法則滿足函數定義的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】解：對于A中，令，可得，則，所以不滿足函數的定義，所以A不正確；對于B中，令，則，則，滿足函數的定義，所以B正確；對于C中，令，則，所以，滿足函數的定義，所以C正確；對于D中，由于函數中的每一個值，都有唯一的一個與之對應，所以滿足函數的定義，所以D正確.故選：BCD.【變式12】．（2024·安徽合肥·模擬預測）存在函數，對于任意都成立的下列等式的序號是．①；②；③；④．【答案】④【解析】①當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；②當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；③當時，；當時，，與函數定義矛盾，不符合；④令，所以，令，所以，所以，所以，符合，故答案為：④.題型2【單一函數的性質綜合】備注：利用函數的對稱性、奇偶性判斷出周期，再進行判斷【例1】．（2324高一下·湖南懷化·期末）已知函數對任意的都有，若的圖象關于直線對稱，且對于，當時，，則（

）A． B．是奇函數C．是周期為4的周期函數 D．【答案】D【解析】由的圖象關于直線對稱，知的圖象關于y軸對稱，所以是偶函數，所以B錯誤.在中，令得，又，所以，所以，知是周期為6的周期函數，所以C錯誤.對于，當時，，故在上單調遞減，所以，所以A錯誤.對于D，，，由在上單調遞減，得即，D正確，故選：D【例2】．（2324高二下·安徽·期末）已知定義域為的函數滿足，且為奇函數，則下列結論錯誤的是（

）A． B．函數為偶函數C． D．【答案】D【解析】對于A，因為為奇函數，所以，即，令，得，即，故A正確；對于B，令，因為，所以，所以函數為偶函數，故B正確；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，由選項B知，為偶函數，所以，所以①，所以②，由①②得，，所以，即是周期為4的周期函數，所以，又因為，所以，解得，故C正確；對于D，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以所以，又因為，，由選項C知，是周期為4的周期函數，所以，，所以，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：D.【變式21】．（2024·重慶·模擬預測）已知是定義在上的函數，若函數為偶函數，函數為奇函數，則（

）A．0 B．1 C．2 D．1【答案】A【解析】因為函數為偶函數，所以，函數的圖象關于直線對稱，又函數為奇函數，所以，所以函數的圖象關于對稱，所以，所以，即，所以，則函數的一個周期為4，對，令，則，所以，令，則，又，所以，，所以.故選：A【變式22】．（2324高二下·山東濱州·期末·多選）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于點對稱 B．是周期為4的周期函數C． D．【答案】ABD【解析】因為為奇函數，所以，即，則的圖象關于點對稱，且，令，則，故A正確，C錯誤；又為偶函數，所以，則的圖象關于直線對稱，因為，所以函數是周期為4的周期函數，故B正確；由對稱性可知，所以，則，故D正確；故選：ABD【變式23】．（2024·河南·模擬預測·多選）已知函數的定義域為，函數為偶函數，函數為奇函數，則（

）A．函數的一個對稱中心為B．C．函數為周期函數，且一個周期為4D．【答案】ABD【解析】對A：由函數為奇函數，故，即，即，故函數的一個對稱中心為，故A正確；對B：由，令，則，即，由函數為偶函數，故，即，令，則，故B正確；對C：由函數的一個對稱中心為，，則，即，故函數不以的為周期，故C錯誤；對D：由，令，有，由，，故，故D正確.故選：ABD.【變式24】．（2024·河南·模擬預測·多選）已知定義域為的函數滿足下列三個條件：①的圖象關于直線對稱；②對任意的實數都有；③．則下列結論正確的是（

）A．B．是周期函數C．函數圖象的對稱軸為D．當時，【答案】BCD【解析】由題中條件①的圖象關于直線對稱，知函數的圖象關于直線對稱，即函數是偶函數．令，代入條件②得，即，即，A錯誤．把代入條件②得，即．所以函數的一個周期為B正確．由函數是周期為2的偶函數可知，是函數圖象的對稱軸．在中以代得，即，所以直線是函數圖象的一條對稱軸．所以是圖象的對稱軸．所以圖象的對稱軸為，C正確．因為是周期為2的函數，且，所以．所以當時，有，，D正確．故選:BCD．題型3【換元法在函數性質中的運用】備注：換元法注意范圍不變【例1】．（2324高一上·浙江寧波·階段練習）已知函數在定義域上是單調函數，若對任意）都有，則（

）A． B．2022C．2023 D．2024【答案】D【解析】根據題意，令，則可得即，又因為函數在定義域內單調，所以可得，解得；所以，經檢驗滿足題意；因此.故選：D【例2】．（2023下·浙江杭州·高二統考期末）設函數為單調函數，且時，均有，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】解：函數為單調函數，且，為常數，不妨設，則，原式化為（a），即，解得或（舍去），故，（1），故選：D．【變式31】．（2023上·云南楚雄·高一統考期末）設是定義域為R的單調函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，因為是定義域為R的單調函數，所以t為常數，即，所以，解得，所以，故.故選：B【變式32】．（2023高三·全國·專題練習）已知單調函數，對任意的都有，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】設，則，且，令，則，解得，∴，∴．故選C．【變式33】．（2023高三·全國·專題練習）設，函數單調遞增，且對任意實數，有（其中為自然對數的底數)，則【答案】【解析】由，設，則且.又，令有，故，顯然為其中一根.又為增函數，故為方程的唯一解，故.故答案為：.題型4【兩個函數的性質綜合】備注：兩個函數分別考慮對稱性，兩個相關函數的周期一致【例1】．（2324高二下·江蘇常州·階段練習）已知函數的定義域為，且滿足的導函數為，函數為奇函數，則（

）A．－3 B．3 C．－1 D．1【答案】B【解析】根據題意，滿足，令可得：，則有，又由，兩邊同時求導可得：，即①，因為函數為奇函數，所以，即，所以的圖象關于點對稱，則有②，且，聯立①②可得：，變形可得，則有，綜合可得：，即函數是周期為的周期函數，所以，故.故選：B.【例2】．（2023·福建福州·二模）已知函數的定義域均為，是奇函數，且，則（

）A．為奇函數 B．為奇函數 C． D．【答案】D【解析】A選項，因為，所以，又，則有，因為是奇函數，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數，故也是周期為4的周期函數.因為且.所以，所以為偶函數.故A錯誤，C選項，由是奇函數，則，因為，所以，又，是周期為4的周期函數，故，所以，所以C錯誤；B選項，由得，故不是奇函數，所以B錯誤；D選項，因為，所以，.所以，所以，所以D選項正確故選：D【例3】．（2324高二下·天津北辰·階段練習）設定義在上的函數與，若，，且為奇函數，設的導函數為，則下列說法中一定正確的是（

）A．是奇函數B．函數的圖象關于點對稱C．D．點（其中）是函數的對稱中心【答案】D【解析】對于A，因為為奇函數，則，可知的圖象關于中心對稱，令，可得，即，又因為，可得，所以一定不是奇函數，故A錯誤；對于選項B：因為，兩邊求導得，即，所以的圖象關于對稱，不一定關于點對稱，故B錯誤；對于選項D：由可得，且，則，即，所以關于對稱，即，由可得，則，即，可得，可知4為的周期，由，可知4為的周期，且的圖象關于中心對稱，可知的圖象關于中心對稱，又因為關于對稱，可知的圖象關于中心對稱，則關于對稱，且關于中心對稱，結合周期性可知：點（其中）是函數的對稱中心，故D正確；對于選項C：因為，關于對稱，則，又因為的圖象關于中心對稱，則，可得，且的周期為，，所以，但的值不確定，故C錯誤；故選：D．【變式41】．（2024·湖北黃岡·二模）已知函數的定義域為，若函數為奇函數，為偶函數，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因為函數為奇函數，所以有，又因為為偶函數，所以，于是有，所以函數的周期為4，因為，所以，所以，于是，故選：B.【變式42】．（2324高二下·安徽馬鞍山·期末·多選）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為，和都是奇函數，，則下列說法正確的是（

）A．關于點對稱 B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A：由為奇函數，則，則，即的圖象關于點對稱，故A正確；對于B：由為奇函數，則，即，即得為常數，令，即得，則，故，即，則，又為奇函數，所以，即，可得，故，故，即，即是奇函數，故B正確；對于C：由于，故，即，故是的一個周期，又，即，所以為周期為的周期函數，因為，所以，即，所以，故C錯誤；對于D：因為是R上的奇函數，故，，結合得，，，故，故D正確.故選：ABD【變式43】．（2324高二下·浙江·期中·多選）已知，的定義域為R，若，，且為奇函數，為偶函數，則（）A．為偶函數 B．為奇函數C． D．關于對稱【答案】ACD【解析】D選項，因為為奇函數，所以，所以函數關于中心對稱，且，；又因為為偶函數，所以，所以關于對稱，且，故D正確；A選項，又因為，用替換x，得，又因為，所以，用x替換，得，所以是R上的偶函數，故A正確；C選項，由，可得，即，，所以，所以函數的周期為8，在中，令，則有，又因為，所以，在中，令，則有，又因為為偶函數，所以，故C正確；B選項，在中，令，則有，又因為，所以，又因為的定義域為R，所以不為奇函數，故B錯誤．故選：ACD．【變式44】．（2324高二下·湖北宜昌·階段練習·多選）已知函數與的定義域均為，，，且，為偶函數，則下列選項正確的是（

）A．函數的圖象關于對稱 B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，為偶函數，，即有，則的圖象關于對稱，A正確；對于B，，令，可得，又，，B正確；對于C，，，，①，②，將①②式分別與聯立，化簡得：，，，，，，即與的周期均為4，，，，，又函數的圖象關于對稱，，，，C錯誤；對于D，又，，，，，，，，D正確.故選：ABD.題型5【與導數有關的性質綜合】備注：原函數和導函數的對稱性有關，周期性一致【例1】．（2324高二下·安徽馬鞍山·階段練習·多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記．若滿足關于對稱，且，則（

）A． B．是奇函數C．8是的一個周期 D．【答案】ACD【解析】對于A選項，因為，令，可得，即，等式兩邊求導得，即，所以，函數的圖象關于點對稱，在等式中，令可得，可得，A對；對于B選項，因為函數的圖象關于直線對稱，所以函數的圖象關于直線對稱，所以函數為偶函數，又因為，則，令，則，所以，為常值函數，設，其中為常數，當時，，此時，函數不是奇函數，B錯；對于C選項，因為，則，可得，所以，，顯然有，即8是的一個周期，C對；對于D選項，在等式兩邊同時求導得，即，所以，函數是以為周期的周期函數，因為，所以，，，，可得，，，由中令，可得，則，，所以，，因為，則，D對.故選：ACD.【例2】．（2024·山東濰坊·一?！ざ噙x）已知函數及其導函數的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C． D．（）【答案】ABD【解析】因為，所以，即，令，得，故A正確；因為，當時，，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，假設成立，求導得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯誤；對于D，因為，，所以，，，，所以有，所以數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，數列的偶數項是以為首項，為公差的等差數列，又，，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以，故D正確．故選：ABD．【例3】．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測·多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記．若與均為偶函數，且，則下列選項正確的是（

）A．是周期4的周期函數 B．圖象關于點對稱C． D．圖象關于點對稱【答案】AB【解析】對于A、B，因為為偶函數，所以，即，所以函數的圖象關于對稱，又為偶函數，所以，兩邊求導得，所以，即，即，關于對稱，所以，即，所以是周期為4的函數；故A、B正確；對于C，由，令，得，令，得，因為，所以，即，又周期為4，所以，故C錯誤；對于D，又因為周期為4，故，即，所以，因此，又，則，所以，所以，即得，所以函數的圖象關于直線對稱，結合A、B結論，選項D錯誤.故選：AB.【變式51】．（2024·福建南平·二?！ざ噙x）已知函數及其導函數的定義域均為，記.

滿足，的圖象關于直線對稱，則（

）A． B．C．為奇函數 D．【答案】ABD【解析】對于A，由可知，即.從而，即，故A正確；對于B，在兩邊同時求導，可得，即.代入即得，故B正確；對于C，考慮，，則，且，故此時滿足全部條件，但并不是奇函數（因為顯然不過原點），故C錯誤；之前已證，再由的圖象關于直線對稱，知，即.故.所以，故D正確.故選：ABD.【變式52】．（2024·貴州·模擬預測·多選）已知函數的導函數為，與的定義域都是R，且滿足，，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于中心對稱 B．為周期函數C． D．是偶函數【答案】ABD【解析】對于AB，，為奇函數，為偶函數；，，故，關于中心對稱，且又關于y軸對稱，故，,所以，故，的周期為，故的周期為，A，B正確.對于D，對兩邊同時求導得，，即，的對稱軸為直線，故為偶函數，故D正確.對于C，關于中心對稱，所以，，C錯誤.故選：ABD.【變式53】．（2324高二下·上?！て谥小ざ噙x）已知函數的定義域是R，的導函數為，且，，若為偶函數，則下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．若存在使在上嚴格增，在上嚴格減，則2024是的極小值點D．若為偶函數，則滿足題意的唯一，不唯一【答案】C【解析】對A，因為為偶函數，所以是奇函數，所以，又，所以，故A對；對B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數，也是周期為4的函數，所以，故B對；對C，在上嚴格增，在上嚴格減，由，可知在嚴格遞減，在嚴格遞增，又的周期為4，所以在嚴格遞增，所以在嚴格遞減，在嚴格遞減，又，所以0是的極大值點，是周期為4的函數，所以2024是的極大值點，C錯.對D，若為偶函數，由于是奇函數，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對故選：C【變式54】．（2024·山東泰安·模擬預測·多選）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于，∵為偶函數，則兩邊求導得:,∴，為奇函數，,令，則，，所以不正確對于，令，可得，則,

所以正確;

對于，，可得，，兩式相加的令，即可得，所以正確;對于，∵，則，又，可得，所以是以為周期的函數，所以，所以正確.故選：【變式55】．（2023·河北·模擬預測·多選）已知函數，的定義域均為，導函數分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數的一個周期 B．函數的圖象關于點對稱C． D．【答案】ABC【解析】由得，由求導得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4為函數的一個周期，A正確；，故，因此，故函數的圖象關于點對稱，B正確，在中，令由得為常數，故，由函數的圖象關于點對稱，，因此，所以由于的周期為4，所以的周期也為4，由于，所以，，所以，故C正確，由于,故D錯誤，故選:ABC【變式56】．（2023·全國·模擬預測·多選）已知函數，的定義域均為，其導函數分別為，．若，，且，則（

）A．函數為偶函數 B．函數的圖像關于點對稱C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以．又因為，所以．于是可得，令，則，所以．所以，即函數的圖像關于直線對稱，即．因為，所以函數的圖像關于點對稱，即，所以，即，于是，所以函數是周期為4的周期函數．因為函數的圖像關于直線對稱，所以的圖像關于軸對稱，所以為偶函數，所以A選項正確．將的圖像作關于軸對稱的圖像可得到的圖像，再向右平移3個單位長度，可得到的圖像，再將所得圖像向下平移2個單位長度，即可得到的圖像，因此函數也是周期為4的函數．又的圖像關于點對稱，所以的圖像關于點對稱，所以B選項不正確．因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確．因為，所以，，，，，則有，可得，所以D選項正確．故選：ACD．【變式57】．（2024·廣東·一?！ざ噙x）已知定義域均為的函數與，其導函數分別為與，且，，函數的圖像關于點對稱，則（

）A．函數的圖象關于直線對稱 B．8是函數的一個周期C． D．【答案】ABD【解析】因為，令，則，即，所以，用替換可得，即，又，則，，所以，令，可得，所以，再由，令，則，所以，即，用替換，可得，且，即，將代入，可得，所以函數關于直線對稱，故A正確；又函數的圖像關于點對稱，即，所以是函數的一個周期，故B正確；由，令，則，因為函數關于直線對稱，則，且函數的圖像關于點對稱，所以，則，故C錯誤；由，令可得，令可得，則，又8是函數的一個周期，且函數關于直線對稱，則，，又函數的圖像關于點對稱，即，令，則，所以，則，故D正確；故選：ABD【變式58】．（2024·安徽合肥·三?！ざ噙x）已知函數的定義域為為的導函數，且，，若為偶函數，則下列一定成立的（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】解：由是偶函數，則，兩邊求導得，所以是奇函數，故．對于A，由，得，所以，代入，得，又因為是奇函數，所以，，即，所以是周期函數，且周期為，故A正確；對選項B，令得，，令得，，故，故B正確；對于C：令，得，因為是周期函數，且周期為，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D：由得，，由A選項知，令得，故，因為是周期函數與奇函數，且周期為，所以，即，因為，所以所以故D錯誤．故選：AB題型6【與抽象函數相關的性質綜合】備注：抽象函數最主要運用賦值法【例1】．（2324高一上·四川樂山·期中·多選）定義域為的函數滿足，，且時，，則（

）A．為奇函數 B．在單調遞增C． D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】對于A，由題，，于是，令，則，即，所以為奇函數，A正確；對于B，設，則有，即，即有，所以在上單調遞增，由于，為奇函數，可知在上單調遞增，B正確；對于C，由，得，又為奇函數，則，C錯誤；對于D，由題意得，，則等價于，則有，即，D正確．故選：ABD【例2】．（2024·山東泰安·模擬預測·多選）已知函數是上的奇函數，且過點，對于一切正實數，都有．當時，恒成立，則（

）A．B．在上是單調函數C．有三個零點D．當時，【答案】ACD【解析】由題，對于A：令，，所以A正確；對于B：令，，得；令，，得，令，，得，所以B不正確；對于C：當時，，得，故，即又即，所以，設，則，因為，所以，，因為當時，恒成立，所以，即，故在上單調遞增，又，，且函數是上的奇函數，所以，故有三個零點．所以C正確；對于D：當時，因為在上單調遞增，，，所以；當時，因為，，，，，由奇函數在上單調遞增，所以；所以當時，.所以D正確.故選：ACD．【變式61】．（2324高三下·浙江·階段練習）已知定義在R上的函數恒大于0，對，，都有，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．是奇數 D．有最小值【答案】D【解析】對于A，，取，則，，選項A正確；對于B，取，則，則，選項B正確；對于C，取，，則，則，取，，，則，所以是奇數，選項C正確；取函數，符合題目條件，但此時無最小值，故選項D錯誤．故選：D.【變式62】．（2324高二下·湖南岳陽·期末·多選）已知函數，對任意的實數x，y都有成立，，，則（

）A．為偶函數 B．C． D．4為的一個周期【答案】BCD【解析】對于A，令，代入計算得，，即2．則.令，代入計算得，，則，故為奇函數，故A錯誤；對于B，令，代入計算得，，即，則，故B正確；對于C，令為，令，則，變形即，故C正確；對于D，令為，，代入計算得，即，則.令為代入得到，則周期為4.由C得，，且，運用周期為4，則，則，故4為的一個周期，故D正確．綜上所得，正確答案為：BCD.故選：BCD.【變式63】．（2024高三·全國·專題練習）已知定義域為的函數滿足，給出以下結論：①；②；③；④是奇函數.所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】因為，對于①：令，可得，故①正確；對于②：令，可得，解得；③令，可得，解得，故③錯誤；對于④：令，可得，且的定義域為，所以是奇函數，故④正確.故選：D【變式64】．（2324高二下·福建·期末）已知函數定義域為R，且，下列結論成立的是（

）A．為偶函數 B．C．在上單調遞減 D．有最大值【答案】D【解析】由于函數的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，B不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數，A不確定；由于的對稱軸為與的位置關系不確定，故在上不一定單調遞減，C不確定，由于表示開口向下的拋物線，故函數必有最大值，D正確.故選：D【變式65】．（2324高二下·浙江舟山·期末）已知函數的定義域為，且，的圖像關于直線對稱，，在上單調遞增，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．的一條對稱軸是直線C． D．【答案】D【解析】，令，可得，解得；令，，則，∴，∴為奇函數；∵的圖像關于對稱，,∴關于對稱，故B正確；∴，∴，∴，即的周期為6，∵關于對稱，可得關于對稱∴，，，，，所以，，故A正確，D錯誤；∵，又在上單調遞增∴在上單調遞減，所以，即，故C正確.故選：D.【變式66】．（2324高二下·福建福州·期末·多選）已知定義在上的函數，對任意有，其中；當時，，則（

）A．為上的單調遞增函數B．為奇函數C．若函數為正比例函數，則函數在處取極小值D．若函數為正比例函數，則函數有兩個零點【答案】AB【解析】對于選項A，設，且，，，即，故單調遞增，選項A正確；對于選項B，是定義在上的函數，取，則，取，則，即，故是奇函數，選項B正確；對于選項C、D，設，代入，得，其中C選項，，，當時，，在區間上單調遞增，當時，，在區間上單調遞減，函數在處取極大值，無極小值，選項C錯誤；其中D選項，函數，其中，，，，由零點存在性定理可知，函數分別在區間，和上各至少存在一個零點，選項D錯誤；故選：AB題型7【奇函數延伸對稱性類型】備注：運用函數的奇函數+常數可以推出函數的對稱性【例1】.已知函數在區間上的最大值為M，最小值為m，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】函數，可設，，，則為奇函數，可得在的最大值和最小值之和為0，即有的最值之和為．故選B．【例2】.已知函數，，若的最大值為，最小值為，則______.【答案】【解析】由題意可得，令，則，因為所以為奇函數，所以在最大值與最小值之和為0，所以.故答案為：8【變式71】.設，最大值為，則最小值為（

）A． B．1 C．3 D．5【答案】B【解析】設，，所以，所以函數是奇函數，因為的最大值是5，所以的最大值是，的最小值是，即的最小值是.故選：B【變式72】.已知函數，若，則（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】根據題意，即，所以故選：D【變式73】.已知函數，則________．【答案】2【解析】令，則函數定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為奇函數，所以所以.故答案為：2.【變式74】．已知函數，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【常規方法解析】，則，令為奇函數，所以，其中，所以，即，所以.故選：D題型8【類似周期函數】備注：和周期性比較類似，但不完全相等時，還是可以用周期性來考慮【例1】.（2019年全國Ⅱ卷（理）T12）設函數的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】時，，，，即右移1個單位，圖像變為原來的2倍．如圖所示：當時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B．

【例2】.（重慶市巴蜀中學校2024屆適應性月考（一）T7）定義在上的函數滿足，且當時，，當時，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數滿足，且當時，當時，可得；當時，可得，所以在區間上，可得，作函數的圖象，如圖所示，所以當時，，故選：B.

【變式81】.設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：時，，，，即右移1個單位，圖像變為原來的2倍．如圖所示：當時，，令，解得，所以要使對任意，都有，則，，故選：B．【變式82】.已知定義在R上的函數滿足，當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，因為當時，，所以；當時，，；當時，，；且，如圖令，得或；若對任意，都有，結合圖像則的取值范圍是.故選：B.【變式83】.定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為時，，所以,因為函數滿足，所以，所以，，又因為，恒成立，故，解不等式可得或.【變式84】.（24深圳市高二下期末T15）已知定義在上的函數，滿足，當時，，若方程在區間內有實數解，則實數的取值范圍為.【答案】【解析】當時，則，所以，即，當時，則，所以，即，則，當時，則，所以，即，畫出的圖象如下：

由圖象可知，當時，方程在區間內有實數解，所以實數的取值范圍為鞏固練習：1．（2324高三下·湖南·階段練習·多選）已知函數的定義域為，的圖象關于對稱，且為奇函數，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，點關于的對稱點是，因為的圖象關于對稱，該點在函數的圖象上，所以，故A正確.對于B，因為為奇函數，所以，將替換為有，則.又的圖象關于對稱，所以，則，故B正確.對于C，在中將替換為有，由B知，，兩式相減得到，故C錯誤.因為為奇函數，所以，又的圖象關于對稱，從而，故由C得，故D正確.故選：ABD2．（2324高二下·湖南·階段練習）已知定義在上的函數可導，且不恒為0，為奇函數，為偶函數，則下列說法正確的是．（填序號）①的周期為4；②的圖象關于直線對稱；③；④．【答案】①③【解析】因為為奇函數，可得，即，又為偶函數，即，所以，可得，則的周期為4，故①正確；又為偶函數，即，即，則的圖象關于對稱，故②錯誤；因為為奇函數，即，令得，又，所以，，故③正確；由以上可知，，，但是不知道等于多少，函數的周期為4，則，故④錯誤．故答案為：①③.3．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，，則.【答案】4048【解析】由題意得為奇函數，所以，即，所以函數關于點中心對稱，由為偶函數，所以可得為偶函數，則，所以函數關于直線對稱，所以，從而得，所以函數為周期為4的函數，因為，所以，則，因為關于直線對稱，所以，又因為關于點對稱，所以，又因為，又因為，所以，所以.故答案為：4048.4．（2324高二下·云南曲靖·階段練習）設函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由為奇函數，得①，由為偶函數，得②，由①，令，得，解得；由①②，令，得，；由①②，令，得，所以；故選：B5．（2324高一上·山西太原·階段練習）已知是定義域為R的單調函數，且對任意實數都有，則=.【答案】【解析】∵函數f（x）是R上的單調函數，且對任意實數x，都有f[]＝，∴＝a恒成立，且f（a）＝，即f（x）＝﹣+a，f（a）＝﹣+a＝，解得：a＝1，∴f（x）＝﹣+1，∴f（log25）＝，故答案為：．6．（2022高三·全國·專題練習）若函數在上是單調函數，且滿足對任意，都有，則的解析式【答案】【解析】對任意，都有，且函數在上是單調函數，故，即，，解得，故.故答案為：.7．（2324高二下·遼寧遼陽·期中）已知定義在上的單調函數，對任意的，都有，則函數的圖象在處的切線的傾斜角為.【答案】【解析】設，則.因為為單調函數，故不隨的變化而變化即是常數.又，，，，，，，切線斜率為1，所以傾斜角為.∴答案為:.8．（2024·遼寧·模擬預測·多選）已知和分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，則下列說法中正確的是（

）A．4為的一個周期 B．8為的一個周期C． D．【答案】BCD【解析】因為和分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，，且，又因為，所以，即，①用替換中的，得，即，②由①＋②，得，所以函數關于中心對稱，且，由，可得，，所以，所以為周期函數，8為周期，故A錯誤；用替換且的，得，又因為，所以，所以，所以為周期函數，8為周期，故B正確；所以，故C正確；又因為，即，令，則有，令，則有，……令，則有，所以所以，故D正確．故選：BCD.9．（2024·湖南邵陽·三模·多選）已知非零函數及其導函數的定義域均為，函數和均為奇函數，且，則（

）A．函數為偶函數 B．C． D．【答案】ABC【解析】由題意可知：函數及其導函數的定義域均為，對于選項A：因為為奇函數，則，兩邊同時求導可得，即，所以函數為偶函數，故A正確；對于選項C：因為為奇函數，則，令，可得，即，又因為函數為偶函數，則即，可得，可知2為的周期，由，可得，則，令，可知；令，可得，即；綜上所述：，且，所以，故C正確；對于選項BD：因為，則，又因為，則，令，則，即，可得，即，則，即，則，則，可知2為的周期，對于，令，可得，則，即；可得，令，可得，則，令，可得，則，綜上所述：，所以，，故B正確，D錯誤；故選：ABC.10．（2024·湖南衡陽·三?！ざ噙x）已知函數，的定義域為，若函數是奇函數，函數是偶函數，，且.則下列結論正確的是（

）A．函數圖像關于直線對稱B．函數為偶函數C．4是函數的一個周期D．【答案】BCD【解析】因為是偶函數，所以，所以函數圖象關于直線對稱，因為是奇函數，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函數為偶函數.故選項B正確；因為，所以，由，得，所以，得，所以，所以4是函數的周期.故選項C正確；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因為，所以，故選項A錯誤；由，得即，所以，故選項D正確.故選:BCD11．（2024·河北邢臺·二模·多選）已知函數，的定義域均為，且，，若，且，則下列結論正確的是（

）A．是奇函數 B．是的對稱中心C．2是的周期 D．【答案】BD【解析】對于A，由已知有，所以是偶函數.假設是奇函數，那么必有，故，矛盾.所以不是奇函數，A錯誤；對于B，由已知有，故.所以，故是的對稱中心，B正確；對于C，由已知有.所以.假設2是的周期，那么，從而.但，故，矛盾.所以不以2為周期，C錯誤；對于D，由于，，故.所以，即.再由可得，即.這就得到，故D正確.故選：BD.12．（2324高二下·山西呂梁·期末）已知函數的定義域均為為奇函數，為偶函數，，，則．【答案】63【解析】因為為偶函數，則，又因為，則，，即，可得，因為為奇函數，則，且，可得，即，則，可得，所以函數是以4為周期的周期函數，由，可得，，則，即，所以.故答案為：63.13．（2024·湖北·模擬預測·多選）設定義在上的函數與的導函數分別為和.若，，且為奇函數，則下列說法正確的是（

）A．函數的圖象關于直線對稱 B．C． D．【答案】AC【解析】對于選項A：因為，則，可得，又因為，可得.令，可得，解得，可得，所以函數的圖象關于直線對稱，A正確；對于選項C：因為為奇函數，可知的圖象關于點對稱，且，令，可得，即；令，可得；令，可得；由函數的圖象關于直線對稱，可得；所以，又因為，則，可知函數的周期，所以，故C正確；對于選項B：由AC可知，可得，，所以，故B錯誤；對于選項D：可得，故D錯誤.故選：AC.14．（2024·廣東廣州·模擬預測·多選）已知函數，及導函數，的定義域均為.若是奇函數，且，，則（

）A． B．是偶函數C． D．【答案】CD【解析】因為，所以（，）.又因為，所以，.則，所以.于是可得，令，則，所以.所以，所以，又因為，所以，即①因為是奇函數，所以②，，，所以A錯誤.由①②得，所以函數是周期為4的周期函數.因為，因此函數也是周期為4的函數.又的圖像關于點對稱，所以的圖像關于點對稱，所以B選項不正確.因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確.因為，所以，，，，則有，可得，所以D選項正確.故選：CD.15．（2024·江西鷹潭·一模）已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求=．【答案】【解析】因為是偶函數，則，兩邊求導得，所以是奇函數，故，由，代入，得，則，所以，又是奇函數，所以，所以是周期函數，且周期為4，又，可知也是以4為周期的周期函數，令，得，故，而所以，令，得，則，而，，又，則，，故答案為：.16．（2024·新疆·三?！ざ噙x）已知，都是定義在上的函數，對任意實數x，y滿足，且，則下列結論正確的是A． B．C．為奇函數 D．【答案】ABC【解析】.A：