6MATLAB數值積分定積分：函數f(x)在區間[a,b]上的定積分定義為其中

6.1數值積分基本原理求解定積分的數值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區間[a,b]分成n個子區間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。6.2數值積分的實現方法6.2.1變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數來求定積分。該函數的調用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現積分過程，若取非0則展現積分過程，取0則不展現，缺省時取trace=0。返回參數I即定積分值，n為被積函數的調用次數。例1求定積分：(1)建立被積函數文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調用數值積分函數quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)6.2.2牛頓－柯特斯法基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數來求定積分。該函數的調用格式為：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中參數的含義和quad函數相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數調用的步數明顯小于quad函數，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。例2求定積分:(1)被積函數文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)調用函數quad8求定積分。I=quad8('fx',0,pi)例3分別用quad函數和quad8函數求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數的調用次數。調用函數quad求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)

調用函數quad8求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)6.2.3被積函數由一個表格定義trapz(x,y)為梯形積分法，x表示積分區間的離散化向量，y是與x同維數的向量，表示被積函數在x處的函數值，z返回積分值。

例4用trapz函數計算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數關系數據向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163936.3二重定積分的數值求解使用MATLAB提供的dblquad函數就可以直接求出上述二重定積分的數值解。該函數的調用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區域上的二重定積分。參數tol，trace的用法與函數quad完全相同。a,b

分別為x的上、下限，c,d分別為y上、下限。例5計算二重定積分(1)建立一個函數文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于統計被積函數的調用次數f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調用dblquad函數求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kitriplequad(‘fun’,a,b,c,d,e,f)為三維矩形區域上的三重數值積分，fun表示被積函數的M函數名，a,b分別為x的上、下限，c,d分別為

y上、下限，e,f分別為z上、下限。

其它命請同學們用help命令查閱詳細信息及調用方法。2/26/2025137MATLAB符號計算2/26/2025147.1符號對象7.1.1建立符號對象

1.建立符號變量和符號常量

MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數：sym和syms，兩個函數的用法不同。

(1)sym函數

sym函數用來建立單個符號量，一般調用格式為：符號量名=sym('符號字符串')

該函數可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數或表達式。應用sym函數還可以定義符號常量，使用符號常量進行代數運算時和數值常量進行的運算不同。2/26/202515(2)syms函數函數sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數的一般調用格式為：

syms

符號變量名1符號變量名2…符號變量名n

用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號分隔。2/26/2025162.建立符號表達式含有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達式。(2)用sym函數建立符號表達式。(3)使用已經定義的符號變量組成符號表達式。2/26/2025174.符號表達式的化簡

MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數有：

simplify(s):應用函數規則對s進行化簡。

[r,how]=simple(S):通過對表達式嘗試多種不同的算法進行化簡，以尋求符號表達式S的最簡形式;r為返回的簡化形式，how為化簡過程中使用的主要方法，simple函數綜合使用了下列化簡方法：simplify函數對表達式進行化簡；

simple(s)：調用MATLAB的其他函數對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。2/26/202518

函數subs是用指定符號替換符號表達式中的某一特定符號，調用格式為：R=subs(S,old,new)，它可用新的符號變量new替換原來符號表達式S中的old.當new為數值形式時，顯示的結果雖然是數值，但它事實上是符號變量。2/26/2025197.2.3符號積分符號積分由函數int來實現。該函數的一般調用格式為：

int(s)：沒有指定積分變量和積分階數時，系統按findsym函數指示的默認變量對被積函數或符號表達式s求不定積分。

int(s,v)：以v為自變量，對被積函數或符號表達式s求不定積分。2/26/202520int(s,v,a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數求被積函數在區間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個具體的數，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數f關于變量x在閉區間[a,b]上可積時，函數返回一個定積分結果。當a,b中有一個是inf時，函數返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數返回一個符號函數。例9-3求積分解：（１）Matlab代碼為

clear;symsx;int(x^2*sin(x))運行結果為ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)。用int及數值積分命令計算解：（１）先用int命令求精確值，相應的Matlab代碼為

clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)運行結果為ans=64/5用trapz求數值解，相應的Matlab代碼為clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;%積分步長為0.1（可改變，演示）

trapz(x,y)運行結果為ans=12.8533

用quad命令，先編寫M文件

%M函數fun1.mfunctiony=fun1(x)y=x.^4;

MATLAB代碼為clear;quad(‘fun1’,-2,2)vpa(quad(‘fun1’,-2,2),10)%以10位有效數字顯示運行結果為ans=12.8000，ans=12.80000000

計算數值積分

解

(1)用dblquad命令求解：functionz=fun3(x,y)z=y*sin(x)+x*cos(y);

用dblquad命令求解，相應的Matlab代碼為Q=dblquad(@fun3,pi,2*pi,0,pi)運行結果為Q=-9.869604377254573先編寫M文件%M函數fun3.m(2)用int命令求解：先將重積分化成累次積分：MATLAB代碼為clear;symsxy;int(int(’y*sin(x)+x*cos(y)’,y,0,pi),x,pi,2*pi)運行結果為ans=-pi^2

計算數值積分

先編寫M文件%M函數fun4.m

functionf=fun4(x,y,z)f=y*sin(x)+z*cos(x);用dblqu