“考研數學”——做到更好，追求最好

南工程考研數學輔導材料之一

國］等數學

主編：楊降龍楊帆

劉建新

翁連貴吳業軍

序

近幾年來，隨著高等教育的大眾化、普及化，相當多的大學本科畢業生由

于就業的壓力，要想找到自己理想的工作比較困難，這從客觀上促使越來越

多的大學畢業生選擇考研繼續深造，希望能學到專業的知識，取得更高的學

歷，以增強自己的競爭能力；同時還有相當多的往屆大學畢業生由于種種的

原因希望通過讀研來更好地實現自我。這些年的統計數據表明：應屆與往屆

的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入學數學考試實行全國統一命

題，其命題的范圍與內容嚴格按照國家考試中心制定的“數學考試大綱”，該考

試大綱除了在1996年實施了一次重大的修補以外，從1997年起一直沿用至

今，但期間也進行了幾次小規模的增補。因此要求考生能及時了解掌握當年

數學考試大綱的變化，并能按大綱指明的“了解”:理解”,“掌握”的不同考試要求

系統有重點的復習。通常研究生入學數學考試與在校大學生的期末考試相比，

考試的深度與難度都將大大的增加，命題者往往將考試成績的期望值設定在

80（按總分150分）左右命題，試題涉及的范圍大，基礎性強，除了需要掌

握基本的計算能力、運算技巧外，還需掌握一些綜合分析技能（包括各學科

之間的綜合b這使得研究生數學入學考試的競爭力強，淘汰率很高。為了我

院學生的考研需要，我們編寫了這本輔導講義。該講義共分三個部分，編寫

時嚴格按照考試大綱，含蓋面廣、量大，在突出重點的同時，注重于基本概

念的理解及基本運算能力的培養，力求給同學們做出有效的指導。

第一章函數極限與連續

考試內容

函數的概念及其表示，函數的有界性、單調性、奇偶性及周期性，復合函數、反函數、分段函數、

隱函數，基本初等函數的圖形與性質，初等函數的建立，數列極限與函數極限的性質，函數的左右極

限，無窮小與無窮大的關系，無窮小的性質及無窮小的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則，

兩個重要極限，函數連續的概念，函數間斷點的類型，閉區間上連續函數的性質。

考試要求

1、理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立簡單應用問題中的函數關系。

2、了解函數的有界性、單調性、奇偶性及周期性的概念，注意這些問題與其它概念的結合應用。

3、理解復合函數、分段函數的概念，了解隱函數、反函數的概念。

4、掌握基本初等函數的性質及其圖形。

5、理解極限、左右極限的概念，以及極限存在與左右極限的關系。

6、掌握極限的性質與四則運算。

7、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8、理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小計算極限。

9、掌握利用羅必達法則求不定式極限的方法。

10、理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型。

11、理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最值存在、介值定理），并會利用這些性質。

§1函數

一、函數的概念

二、函數的性質：有界性、單調性、奇偶性、周期性；

三、函數的運算（重要考點）：四則運算、復合運算（復合函數x逆運算（反函數）;

四、函數的分類：初等函數、非初等函數。

例題

1、（88）已知/（x）：，2,/[0（x）]=l—x,且e（x）N0,求夕（x）及定義域。

2、(92)已知f(x)=sinx,/[^(x)]=l-x2,求夕(x)定義域。

3、設/d）=x（i+G71）,尤>o,求/1（X）。

X

4、/(sinx+—5-)=sin2Tr3,求心

sinx

2—x,x<0X2,U,求gg)]。

5、(97)g(x)=

2+x,x>0,r,

1+x,X<°七rr〃

6、設/(x)=<婦0，求〃（切。

1,

1,\x\<1

7、(90)/(x)=一求/[/U)lo

0,W>i

x2+2-l<x<0

8、求y=?的反函數。

2

廠0<x<l

1—2x2,x<-1

9、(96)設函數/(無)=<d,-1<x<2,

12x-16,x>2

(1)寫出f(x)的反函數g(x)的表達式；

(2)g(x)是否有間斷點、不可導點，若有，指出這些點。

I「

10、設f(x)滿足：af(x)+bf(-)=-,。也。為常數，且時工網，試證：f(x)為奇函數。

11、Vxe/?,/(x)滿足:2f(x)+/(l-x)=x2,求f(x)。

einY

12、設f(x)連續,且f(x)=—+21imf(x),求.f(x),lim/(x)。

x—71m4

13、(89)設/(%)連續，且/(x)=x+2￡f{x}dx,求f(x)。

14、(97)設/(無)=----7+Vl-x2['f[x)dx,求['f{x)dxo

1+x%%

§2極限

一、定義及性質(1)唯一性；(2)局部有界性;(3)局部保號性:

(i)若/(x)20,(或/(x)40),月.lim/(x)=A,則A20(或A40);

(ii)若limf(x)=A>0(A<0),^3U(x0,3),VxeU(x0,6),/(x)>0(或/(x)<0);

二、求極限的方法(重點)

1、用定義證明和觀察法

如limarctanx--\limarctanx=---;limex=-boo；limex=0o

Xf+oo2XT-X2XT(T

2、用極限的四則運算法則和函數的連續性

3、用兩個重要極限：

「sinx./—sinw1、

i)lim----=1(或lvim-----=1)

XTOxu

注意比較如下幾個極限：

[.sinx八1.sinx〔.11「.1

lim----=(),lim-----=1,limxsin—=1,limxsin—=0M

XT8XX->0%XT8XX-?0冗

ii)lim(l+—)v=e,lim(l+—)?,=e,lim(l+%戶=e

XT8%〃一>00〃Xf°

一般形式：lim(l+〃)“=e,lim(l+—)w=e

M->0M->00"

通常對于含三角函數的9型極限用i),對于r0型極限用ii)o

o

4、(1)用等價無窮小計算極限

xfo時，常見的等價無窮小有

sinx,tanx,ln(l+x),ex一1,arcsinx,arctanx?羽

1-cosx-x2,(l+x)，-l~ax(a>0).

注意：x的廣泛的代表性

sin",tarn/,ln(l+〃)，eu-1,arcsinw,arctanw~u

10

1-cosw?+一1~CKW等

(2)有界函數乘無窮小仍為無窮小。

5、用羅必達法則

設(1)limf(x)=0(oo),limF(x)=0(oo),(%—或％―8)

(2)在后的某個去心鄰域內(當x充分大時)/(幻,尸。)可導，且F(x)wO

(3)=A(oo)

F,(x)

貝ij1i=Hn/^1=A(OO)

F(x)F'(x)

基本類型有9和方。對于0?8,8—8,可以通過初等變形轉化為。和雙。對于「，00°,0°,

000000

通過取對數再用羅必達法則。

6、用變量代換

注意：該方法要視極限的具體形式而定，如：在計算XfX。的極限時，如果被求極限中含有的

因式時，可以令％—；在計算Xf8的極限中，如果被求極限中含有L，則可令,=人在研究

XX

生數學入學考試中不常出現

7、用極限存在的二個準則

i)夾逼(兩邊夾)定理；

")單調有界定理：單調遞增(減)有上界(下界)的數列必有極限。

8、利用導數定義(ch.2)

9、用定積分定義(ch.3)

當已知函數/(x)可積時，有

型f(x)dx,limJ/(—)-=

Z8盤〃〃〃T8篇〃〃aJ0

limff(a+-)-=['/(?+x)dx=「"f(x)dx

〃T8富nnJGJa

[.S,/(b-ci)ib-a「b,

hm\f(a+-----------)-------=f(x)dxx

"-8汽nn

10、用微分和積分中值定理(ch.2)

11、用Taylor公式(ch.2)

注意：下面幾類極限一般要討論左右極限：

分段函數在分段點的極限；

xf與時，與絕對值或開偶次方根有關的極限；

]

XfX。時，含有形如。石因式的極限。

三、無窮小階的比較

設a,尸均為無窮小，且不為0,如果：

(1)lima//7=0時，則稱a是6的高階無窮小，或稱，是a的低階無窮小，記。=0(2)。

(2)lima/，=cw0時，則稱a與尸為同階無窮小，特別當c=l時，稱a與，是等價無窮小。

(3)lima/13k=c/0時，則稱a是，的k階無窮小。

注意：無窮小的比較是在數學考試中一個經?？嫉目键c，尤其在數二、三、四中。其主要考法有：

已知函數/(幻與另一已知函數g(x)是同階無窮小，求/(x)中所含的參數；

當函數/(x)滿足什么條件時，是x”的同階(高階)無窮?。?/p>

將給出的幾個無窮小按其階從小到大排列。

例題

(-)極限的計算

1、(00)設對任意的x,總有e(x)</(x)<g(x)，且lim[g(x)-Q(x)]=0，則lim/(x):

.If8XT8

(A)存在且等于零，(B)存在但不一定為零，

(C)一定不存在，(D)不一定存在。

e'+sinx,c、「tanx-x

2、(1)lim()黑fsmx

…xcosx+sinx

3sinx+x2cos*-

,，、，cc、「arctanx-x

(3)(97)lim(4)(00)hm........-

3

x->0(1+cosx)-ln(l+x)'A->0ln(l+2x)

、..+x-Jl+tanx

3、(1)hm——~/.；(2)(99)lim業幽三亞可叵

。Vl+x-Vl+sinxA^°xln(l+x)-x

￡

2+exsinx1+x1

4、(1)(。。)理(「)o(2)(05)(數三、四)lim

,vlx—-e

1+e*

儂。+3田X；(2)2

5、(1limx(Vx+1004-x)o

6、(1)(04)求極限lim4K2+cosx、*,2

)-1]；(2)(93)limsin—;

ktO%’3x-?oo5尤+3x

1

7(1)(99))：72

'W1-^(2)(94)lim[x-xln(l+—)J0

XT8X

I、3x

]ii

ax+"+cx

8,(1)(03)lim(cosx)ln(l+x2);(2)lim,(a,b,c>0)o

x->0X->003

7

9,(05)設函數/(x)連續，且/(0)N0,求極限lim業一----------(-)

―。A*￡f(x—t)dt2

"/n-r\arctanx-sinx

10、(07)hm------------=o

(二)關于數列極限：

10、(03)設｛4｝,也｝,匕｝均為非負數列,且lima“=0,lim。=1,limcn=8,則必有：

(A)%<2對任意n成立；(B)2<c.對任意n成立；

(C)極限lima“c”不存在；(D)極限lim。,%不存在。

M—>00

11、(98)設數列七與此滿足lim(相y,)=0,則下列判斷正確的是：

rt—>00

(A)若毛發散，則以必發散，(B)若天無界，則此必有界，

(C)若%有界，則以必為無窮小，(D)若」-為無窮小，則必必為無窮小。

,r

12,(1)(98)〃l一i>m8(?-tan—〃);(2)lim>/rt(VH-1)□

(3)(02)lim1吟篝石"

〃->8〃(]一2a)

13、x,=V2,X2=，2+亞,…,x=《2+G++五,求limx〃。

〃一>00

14、(96)玉=10,%?+1="+七，證明limx?存在并求之。

15、(97)設4=2,a.=-(??+—),證明：lima“存在。

2a?"T8

16、設M=2,x=2+—,(n＞1)，求limx“。

n+l〃一＞8

17、(06)設數列｛x,J滿足0＜玉〈%，xn+I=sinxn,n=1,2,…

1

(

證明：(1)limx〃存在，并求該極限；(2)計算limX

“TookXn)

lim()o

18、J+[+....+J

"fgNn2+11n?+n

12n

19、(95)lim(—-------+—-------+--------)o

〃T8〃+〃+i〃+〃+2〃+〃+〃

(三)極限中常數的確定

sinx

20、(04)若lim-----(cosx-/?)=5，求a、b

ioex-a0

21、(1)(97)設x-0時，/皿一/與爐是同階無窮小，則〃=?

(2)(96)設%-0時，/(x)=e"—匕絲為x的三階無窮小，求a,b。

l+Zzx

(3)(05數二)當x—>()時，a(x)=kx1與/?(%)=VT+xarcsinx—Vcosx是等價無窮小，則

k=?

(4)設/(X)=("4sin/2Jr,g(x)=—+—,則當x.0時/(x)是g(x)的()

Jo56

A:低階無窮小B:高階無窮小

C:等價無窮小D:同階但不等價無窮小

(5)(06)試確定常數A,B,C,使得(1/3,-2/3,1/6)

e'(1+C?)=1+而+0(/)

22、(98)求a,b,c,使lim——~我W—=c,(cH0)。

xfor]n(l+')力

,…、、…(2tanx+b(l-cosx)2)八^

23、(94)設hm--------------------=2,a2+c2。0,貝niUl有:

』，111(1_2幻+或1_"『)

(A)力=4d,(B)/?=-4d,(C)a=4c,(D)a=-4co

24、(1)(01)設當x—>0時,(1—cos%)ln(l+“2)是比xsinx"高階的無窮小,而xsinx"是比

(e*—1)高階的無窮小，則正整數n等于：

(A)1,(B)2,(C)3,(D)4o

(2)(01)已知f(x)在(-co,+oo)內可導，且limfr(x)=e,

Xf8

lim(X±+j「)，=lim"(x)—/(x—1)],求c的值。

XTOOX—CXT8

25、(02)設函數/(x)在x=0的某個領域內具有一階連續導數，且.y(O)HO,尸(0)#0,若

af(h}+bf{2h)-/(0)在力-0時是比h高階的無窮小，試確定a、b的值。

26、(02)設函數/(x)在x=0的某領域內具有二階連續導數，且/(0)。0J'(0)w0，/(0)#0,

證明：存在惟一的一組實數4,4,4,使得

當〃—（）時，4/（〃）+4/（2〃）+4/（3/2）—/（0）是比好高階的無窮小。

27、lim（yjax3+bx2+x-x）=—，求a,b。

.EX3

§3連續與間斷

—>/（x）在點連續（重點）:limf（x）=/（x）或limAy=0。

XT%0Ax-?O

初等函數在定義區間內是連續的，分段函數分界點的連續性要用定義討論。

二、若/（X）在點a不連續，稱a為/（X）的間斷點。間斷點分兩類：

第一類間斷點（左、右極限都存在）：可去間斷點（左、右極限都相等）和跳躍間斷點（左、右極

限不相等）

第二類間斷點：無窮間斷點（至少有一側極限為無窮大）,振蕩間斷點等。

注意：這一部分在數三、四中是一個?？嫉目键c，主要以已知連續性或間斷點的類型確定參數，計算

題中以討論間斷點類型并補充定義使其連續為主；在數一、二中一般不單獨以單個概念出題，

通常會跟函數的建立、極限、微分方程等概念結合考查。

三、閉區間上連續的函數有以下性質：

1）最值定理：閉區間上連續的函數一定取到最大值M和最小值171（必有界）；

更一般地：我們可以得到如下結論

設了（幻在開區間（。，份內連續，且lim/*）及lim/（X）都存在，則/（x）在3,加內有界。

2）介值定理：閉區間上連續的函數一定取到介于最小值和最大值M之間的任一數;

3)零點定理：設/(x)在［a,/上連續，/(a)與/(〃)異號，則至少有一點Jc(a,b),使得

/0=0。

推廣的零點定理:

設f(x)在區間(一8,+8)上連續，且lim/(x)=-00(400),lim/(x)=-H?(-oo)，則至少存

JT—>-00X—>+00

在一點Je(—8,+oo)，使/C)=0

例題

1/anx

1—e八

--------X>0

r

1(02)設函數f(x)="arcsin一在x=0處連續，則a=。

2

ae2xx<0

ln(l+ox3),、

-----------x<0

x-arcsinx

2(03)設函數/(x);二<6x=0，問a為何值時，/(x)在x=0處連續；a

e(LX+x2-ax-l八

---------------x>0

.X

xsin-

4

為何值時，犬=0是/(》)的可去間斷點？

Y

3、(00)設函數f(x)=——-在(-co,+00)內連續，且lim/(x)=0,則常數a、b滿足：

a+ex->y

(A)tz<0,Z?<0,(B)?>0,b>0,

(C)〃<0,b>0,(D)tz>0,Z?<0.

4、(05)設/(x)=——，則()

(A)x=0,x=l都是/(x)的第一類間斷點。

(B)x=0,x=l都是/(x)的第二類間斷點。

(C)x=()是/(x)的第二類間斷點，》=1是/(X)的第二類間斷點

(D)x=()是/(x)的第二類間斷點，》=1是/(冷的第一類間斷點

(n1)X

5、(04)設/(x)=lim，則/'(幻的間斷點為x=____________o

8依7+J

］+X

6、(98)設/(x)=lim——-,討論f{x}的間斷點，結論為：

51+X

(A)不存在間斷點，(8)存在間斷點》=1,

(C)存在間斷點x=0,(D)存在間斷點％=-1。

7、下列命題中正確的是()

(A)設函數/(x)在x=x()處連續,g(x)在x=x0處不連續，則/(x)+g(x)在x=x()處必不連續

(B)/(x),g(x)都在x=4處不連續，則/(x)+g(x)在x=x()處必不連續

(C)設函數f(x)在x=X。處連續，g(x)在x=處不連續，則/(x)g(x)在x=項)處必不連續

(D)f(x),g(x)都在x=x()處不連續，則f(x)g(x)在x=/處必不連續

X

tan(x—)

8、(98)求/G)=(l+x)4在(0,2萬)內的間斷點及類型。

〃、(ex+e)tanx

9、(07)函數/(幻=1——r——在［-4,加上的第一類間斷點是1=

x(ex-e)

(A)0;(B)1;(C)(D)|0

10,設/(x)在［a向上連續，且/?/(幻《》2，求證：*63向,使/《)=§2。

11、/(%)在［0,1］上非負連續，/(0)=/⑴=0,證明：對V/wR(0</<1),叫使

/(尤0)=/(毛+/)。

12、證明：方程x+p+qcosx=0恰有一個實根，其中p,q為常數，且0<q<l

13、設/(x)在[〃,句上連續，a<x,<x2<b,試證，對V兩個正數乙與4，一定三點cw[a,b],

使"(西)+t2f(x2)=(t]+t2)f(c)o

(本題的證明思想應掌握，并應能將結論推廣到更為一般的情況)

14、(04)函數f(x)=N'm"-2)下列哪個區間內有界:

x(%-l)(x-2)2

(A)(-1,0);(B)(0,1);(C)(1.2);(D)(2,3b

單元練習

1、求函數/(x)=Jsin(五)的定義域

2、函數/(x)=ln(l—e」x)的定義域為o

3、若f(x)的定義域為(0,1),則函數/(e'-l)的定義域為.

4、/(x)=|xsin^eCCKX,xe(-co,+8)是

(A)有界函數(B)單調函數(C)周期函數(D)偶函數

〃2+y/n

〃為奇數

，則當枕—8時，x“是

〃為偶數

(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量(D)無界變量

6、設/(x)是連續函數，且/(x)=x+2]/Q)df,則/(%)=

7、當X-()時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高階的無窮小

(A)x(B)71-x2-1(C)x-tanx(D)1-cosx

8、設/(x),g(x)在x=()的某個領域內連續，且當xf()時/(x)是g(x)高階的無窮小，則當

xf0時，￡/(/)sintdt是jtg(t)dt的()

(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)同階但不等價無窮小(D)等價無窮小

SinZrsinx

9、a(x)=|----力，/(x)=[(1+。，山，則當0時a(x)是4(x)的()

J0/J0

(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)同階但不等價無窮小(D)等價無窮小

10、已知lim則土。二段土20=2，則()

Xx

(A)a=l,b=-y(B)a-0,b-2(C)a=0,b=(D)a-l,b——2

11、當x-0時，變量[sin，是()

x~x

(A)無窮大量(B)無窮小量

(C)有界變量，但不是無窮小