核心熱點真題印證核心素養

統計圖表2018I,3數學抽象、數據分析

二項分布2018-I,20;2017.I,19數學運算、數據分析

分布列、期望2017411,18;2016-I,19數學運算、數據分析

正態分布2017-I,19數據分析

條件概率2016-II,18數據分析

回歸分析2018-II,18;2016III,18直觀想象、數據分析

獨立性檢驗■2018III,18;2017-11,18數據分析

教材鏈接高考——莖葉圖、獨立性檢驗

［教材探究］(引自人教A版必修3P7()莖葉圖)某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比

賽得分的原始記錄如下：

甲運動員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；

乙運動員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

繪制甲乙兩名運動員得分的莖葉圖，根據莖葉圖判斷哪名運動員的成績更好？并

說明理由.

［試題評析］統計的基本思想是由樣本來估計總體，根據莖葉圖能夠用樣本的數

字特征估計總體的數字特征，從而作出統計推斷.

【教材拓展】甲、乙兩名同學在7次數學測試中的成績如莖葉圖所示，其中甲同

學成績的眾數是85,乙同學成績的中位數是83,試分析甲乙兩名同學哪個一個成

績較穩定.

解根據眾數及中位數的概念易得x=5,y=3,故甲同學成績的平均數為

78+79+80+85+85+92+96

------------=------------=85乙同學成績的平均數為

72+81+81+83+91+91+96=85,故甲同學成績的方差為3(49+36+25+49

7

1398

+121)=40,乙同學成績的方差為,X(169+16+16+4+36+36+121)=—>40,

故成績較穩定的是甲.

探究提高1.作樣本的莖葉圖時先要根據數據特點確定莖、葉，再作莖葉圖.

2.作樣本的莖葉圖一般對稱作圖，數據排列由內向外，從小到大排列，便于數據

的處理.

3.莖葉圖完全反映了所有原始數據，解決莖葉圖給出的統計圖表試題時，要充分

使用圖表提供的數據進行相關計簿或者對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨

著對數據的平均值或者方差的計算等.

【鏈接高考】(2018.全國in卷)某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出

了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40

名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二

組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了如

圖所示的莖葉圖：

(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數機，并將完成生產任務所需時間

超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：

超過m不超過m

第一種生產方式

第二種生產方式

(3)根據(2)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異?

解(1)第一種生產方式時間集中在區間［80,90］,且平均工作時間加=84.

第二種生產方式的時間集中在區間［70,80),且平均工作時間為

所以第一種生產方式完成任務的平均時間大于第二種,

工第二種生產方式的效率更高.

⑵由莖葉圖數據得到m=80.

由此填寫列聯表如下：

超過機不超過m總計

第一種生產方式15520

第二種生產方式51520

總計202040

(3)根據(2)中的列聯表計算.

j____________一(ad-be)2___________40(15X15-5X5)2

片=(o+b)(c+d)(Q+C)(b+d)=-20X20X20X20

所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.

教你如何審題——回歸分析問題

【例題】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折

線圖.

注：年份代碼1?7分別對應年份2008?2014.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與Z的關系，請用相關系數加以說明;

(2)建立y關于t.

附注：

參考數據：￡“￡砂(yc)班憶

Z=1i=li=l

￡(ti—t)(yj—y)

參考公式：相關系數-J］.”.,

避"一)2百(M-)，)2

回歸方程y=o+初中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

b,=J=I,a=y—b,t.

￡(4一/)2

1=1

［審題路線］

［自主解答1

解(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得

1=4,￡(力一廳=28,yji(yt-y)2

7-7-7

印_f)(yt—y)=Etiyt-tEyiX

i=l1=1r=l

「九錯誤！七

因為y與)與/的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與，的

關系.

(2)由》=錯誤!七錯誤!=錯誤!=錯誤!-

a=y—b個Xg

所以y關于/的回歸方程為".

將2020年對應的t=\3代入回歸方程得yX

探究提高在兩個變量的回歸分析中要注意以下兩點：

（1）求回歸直線方程要充分利用已知數據，合理利用公式減少運殍.

（2）借助散點圖，觀察兩個變量之間的關系.若不是線性關系，則需要根據相關知識

轉化為線性關系.

【嘗試訓練】某公司為了準確地把握市場，做好產品生產計劃，對過去四年的數

據進行整理得到了第x年與年銷售量），（單位：萬件）之間的關系如表：

Xi234

y12284256

（1）在圖中畫出表中數據的散點圖；

⑵根據散點圖選擇合適的回歸模型擬合），與x的關系（不必說明理由）；

（3）建立），關于x的回歸方程，預測第5年的銷售量.

參考公式：回歸直線x的斜率和截距的最小二乘估計分別為

n-n---

耳（國一幻（8一），）Yxiyi-nxy

b=~-fci=y—bx.

E（x/-x）2Xx}-nx2

i=\i=\

解（1）作出的散點圖如圖：

（2）根據散點圖觀察，可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.觀察散點圖可知各點

大致分布在一條直線附近，列出表格：

XyrW

1112112

2228456

33429126

445616224

￡1013830418

5-

-69

y=一

可得X”

2J

4——569

4xy418—4X-X—

所以。=3——=—y-

濘30—4X得

故回歸直線方程為2.

（3）當x=5時，y=yX5-2=71.

故預測第5年的銷售量大約為71萬件.

滿分答題示范——分布列、期望、方差

【例題】（12分）（2017.全國IH卷）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同,

進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格

當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：°C）有關.

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間［20,25）,需

求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計

劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫（單位：元），當六月份這種酸奶一天的

進貨量〃（單位：瓶）為多少時，丫的數學期望達到最大值？

［規范解答］

［高考狀元滿分心得］

?得步驟分：抓住得分點的步驟、步步為贏：如第（1）問，指出隨機變量X所有的

可能取值，有則得1分，無則沒有分；隨機變量X的各個值對應的概率也是每個

1分，列出其分布列是1分，每個步驟都有分，都是得分點，第（2）問也是如此.

?得關鍵分：解題過程的關鍵點，有則給分，無則沒分，如第（2）問中，根據〃的

范圍求E（r）,即當300W〃W500時，E（r）=640—2〃；當200W〃W300時，E（Yn.

若這兩個關鍵運算結果有誤，即使有計算過程和步驟也不得分.

?得計算分：解題過程中計算正確，是得滿分的保證，如第⑴問中三個概率值的

計算要正確，否則不得分.

［構建模板］

【規范訓練】（2019?寶雞模擬）某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者

從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成.規定：至少正確

完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2

道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是2:，且每題正確完成與否互不影

響.

(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列及數學期望;

(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？

解(1)設甲正確完成面試的題數為焉則4的可能取值為1,2,3.

CiC?1

%=1)=5,

CiCj3

%。=2)=5'

由91

g)=m與

應聘者甲正確完成題數的分布列為

二123

P

131

￡01X5+2X5+3X5=2.

設乙正確完成面試的題數為小則〃的可能取值為0,1,2,3.

P(〃=o)=c《l—|)

P(,=D=C(|)(1-1)=^

尸(〃=2)=良|)(1一|)=隹;

應聘者乙正確完成題數〃的分布列為

40123

P

?A[,0

E(4)=0X蘇+1X或+2X萬+3X蘇=2.

(或因為〃?B(3,I),所以E(4)=3x|=2)

i312212

(2)因為0(S=(l_2)2Xg+(2_2)2Xm+(3_2)2Xm=5,￡>(〃)=3X§X§=§.

所以D?VD(冷.

綜上所述，從做對題數的數學期望考查，兩人水平相當；

從做對題數的方差考查，甲較穩定；

從至少完成2道題的概率考查，甲面試通過的可能性大.

1.(2019?淮北一模汝J圖為2017屆淮北師范大學數學與應用數學專業N名畢業生的

綜合測評成績(百分制)分布直方圖，已知80?90分數段的學員數為21人.

(1)求該專業畢業總人數N和90?95分數段內的人數小

(2)現欲將90?95分數段內的〃名畢業生隨機地分配往A,B,C三所學校，每所

學校至少分配兩名畢業生.

①若這〃名畢業生中甲、乙兩人必須進同一所學校，共有多少種不同的分配方法？

②若這〃名畢業生中恰有兩名女生，設隨機變量j表示〃名畢業生中分配往B學

校的兩名畢業生中女生的人數，求4的分布列和數學期望.

解(1)80?90分數段的頻率piX

此分數段的學員總數為21人，

???畢業生的總人數N=錯誤!=60,

90?95分數段的頻率P2X

A90-95分數段內的人數〃=60X

(2)①將90?95分數段內的6名畢業生隨機地分配往A,B,。三所學校，每所學

cic?

校至少分配兩名畢業生，且甲、乙兩人必須進同一所學校，則共有黃?A§=18

種不同的分配方法.

②4的所有可能取值為0，1，2,

C§Ci6mil堡

〈=-

P(0)=-cF^P(D—c?-15,

c3c9i

P(<=2)="CT=15,

所以4的分布列為

w012

p

所以隨機變量<的數學期望為E?=OX^+1X得+2Xa=?

2.(2019?石家莊調研)甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲、乙

兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得

0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為本%看乙隊每人答對的概率都是9

設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用4表示甲隊總得分.

(1)求4=2的概率；

(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.

解(l)f=2,則甲隊有兩人答對，一人答錯，

故PC=2)=弭x(T用x(i一飄打(T)x狗吟

(2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A,甲隊比乙隊得分高為事件8.設乙隊得分

311

---

42-4

P(〃=2)=C唱x|=1,

P(〃=3)=C(|)=探

???P(A)=尸e=l)P(〃=3)+P《=2)P(〃=2)+Pe=3>P(〃=1)

=1X.L.llxl.lx2=l

-4X27+24X9+4X9-3,

191

P(AB)=P4=3)P(〃=l)=wX'=同，

1

；?所求概率為P(B\A)=AX-

Ip(Z1。

3

3.(2019?安陽一模)某公司為了準確把握市場，做好產品計劃，特對某產品做了市

場調查：先銷售該產品50天，統計發現每天的銷售量x分布在［50,100)內，且

銷售量x的分布頻率yu)=錯誤！

(1)求a的值并估計銷售量的平均數；

(2)若銷售量大于或等于70,則稱該日暢銷，其余為滯銷.在暢銷日中用分層抽樣

的方法隨機抽取8天，再從這8天中隨機抽取3天進行統計，設這3天來自X個

組，求隨機變量X的分布列及數學期望(將頻率視為概率).

10心50,

解(1)由題意知'八/一、一…解得5W〃W9,〃可取5,6,7,8,9,

10(，+1)W100,

結合/(X)—錯誤！

得錯誤!+錯誤!+錯誤！+錯誤！+錯誤!=1,則。

???銷售量的平均數為55XXXXX

(2)銷售量分布在[70,80),[80,90),[90,100)內的頻率之比為2：3：3,所以在

各組抽取的天數分別為2,3,3,

X的所有可能取值為1,2,3,

221

P(X=1)=&=*-,

Qclc!”=2

P(X=3)=56=28,

199

P(X=2)=1

X的分布列為

X123

P

I9916

數學期望F(X)=1X—+2X—+3X—=—

ZoZo/

4.中石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘探了

部分油井中的幾口井，取得了地質資料，進入全面勘探時期后，集團按網絡點來

布置井位進行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井

位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用，勘

探初期數據資料見下表：

井號I123456

坐標(x,y)(km)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1，y)

鉆探深度(km)24568io

出油量(L)407011090160205

(1)1?6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為沖+力求人

并估計y的預報值；

(2)現準備勘探新井7(1,25),若通過1,3,5,7號井計算出的江。的值(。，ab\

"的值之差都不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1.y),否則在新位置

打井，請判斷可否使用舊井？

n--

Yxiyi-nx-y

(參考公式和計算結果：b=3———,a=y-bxf

Yxt-nx

i=\

44

E^-1=94,EX2i-\y2i-i=945)

?=1

⑶設出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優質井，那么在原有6

口井中任意勘探4口井，求勘探優質井數X的分布列與數學期望.

解(1)因為x=5,y=50.

回歸直線必過樣本中心點(x,y),則〃=y—ZzxXyx

當x=l時，yy的預報值為24.

(2)因為x=4,y

44

X忌1=94,1=945.

z-i*-i

營產-—4xy945-4X4X

所以“二七二一7^=94-4X42

2LX2/-1—4x

i=l

945-4X4X

=94—4X421

ci=y-bxX

即baba

與3-5%,＜六%8%,均不超過10%,

因此可以使用位置最接近的已有舊井6(1,24).

(3)由題意，1,3,5,6這4口井是優質井，2,4這兩口井是非優質井,

，勘察優質井數X的可能取值為2,3,4,

???X的分布列為:

28ig

E(X)=2X-+3X—+4X—=-

5.(2017.全國H卷)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，

收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg),其頻率分

布直方圖如下：

(1)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：舊養殖法的箱產量低于

50kg,