2024-2025學(xué)年山東省青州市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題1.已知m，n是不重合的直線，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.，則C.若，則 D.，則2.在空間直角坐標(biāo)系中，，點關(guān)于y軸的對稱點為C，則=（）A. B. C.3 D.3.如圖，正方體的棱長為，是線段上的點，且，則點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.4.在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，E是的中點，過、C、E的截面圖形為（）A矩形 B.三角形C.正方形 D.等腰梯形5.如圖所示，點是二面角棱上的一點，分別在、平面內(nèi)引射線、，若，，那么二面角的大小為（）A. B. C. D.6.已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為棱上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（） B. C. D.7.如圖，是直三棱柱，，點、分別是、的中點，若，則與所成角的余弦值是A B. C. D.8.已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（）A.2 B. C. D.二、多選題9.以下命題正確的是（）A.兩個不同平面，的法向量分別為，，則B.若直線l的方向向量，平面的一個法向量，則C.已知，，若與垂直，則實數(shù)D.已知三點不共線，對于空間任意一點O，若，則四點共面10.如圖，在四面體中，點分別是棱的中點，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的為（）A.截面B.異面直線與所成的角為C.D.平面11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為等邊三角形，平面平面，點在線段上，，交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則為的中點B.若為的中點，則三棱錐的體積為C.銳二面角大小為D.若，則直線與平面所成角的余弦值為三、填空題12.已知直線的方向向是為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成的角是__________．13.如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.14.如圖，質(zhì)點從正方體頂點出發(fā)，沿正方體的棱運動，每經(jīng)過一條棱稱之為一次運動，第一次運動經(jīng)過，第二次運動經(jīng)過，第三次運動經(jīng)過，且對于任意的正整數(shù)，第次運動所經(jīng)過的棱與第次運動所經(jīng)過的棱所在的直線是異面直線，則經(jīng)過2021次運動后，點到達(dá)的頂點為________點四、解答題15已知，.（1）若()∥()，求x，y的值；（2）若，且，求x的值.16.如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設(shè)，，．（1）試用表示向量；（2）若，，，求線段的長．17.已知三棱錐中，，，分別為棱的中點，且平面平面，平面平面．（1）求證：；（2）求證：平面平面．18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點E在上.（1）求證：平面；（2）若E為的中點，求直線與平面所成的角的正弦值.19.在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．（1）求證：；（2）在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.2024-2025學(xué)年山東省青州市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題1.已知m，n是不重合的直線，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.，則C.若，則 D.，則【正確答案】D【分析】A選項可以舉反例，B選項考查面面平行判定定理，C選項漏了條件，D選項即為線面平行性質(zhì)定理.【詳解】對于選項A，垂直于同一平面的兩個平面可能平行，也可能相交；對于選項B，根據(jù)面面平行判定定理，直線m，n應(yīng)為相交直線；對于選項C，直線m可能在平面內(nèi)；對于選項D，恰好為線面平行的性質(zhì)定理.故選：D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，，點關(guān)于y軸的對稱點為C，則=（）A. B. C.3 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)系中的對稱性求得點的坐標(biāo)，計算即得的坐標(biāo)和模長.【詳解】因點關(guān)于y軸的對稱點為，，則，故.故選：C.3.如圖，正方體的棱長為，是線段上的點，且，則點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)點，分析可得，利用空間向量的坐標(biāo)運算可求得點的坐標(biāo).【詳解】由題意，點、，是線段上的點，且，則，設(shè)點，則，即，解得，故點的坐標(biāo)為.故選：A.4.在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，E是的中點，過、C、E的截面圖形為（）A.矩形 B.三角形C.正方形 D.等腰梯形【正確答案】D【分析】取的中點，連接，證得共面，得到截面圖形為等腰梯形.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，可得，且根據(jù)平面的基本性質(zhì)，可得共面，且,所以過、C、E的截面圖形為等腰梯形.故選：D.本題主要考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖所示，點是二面角棱上的一點，分別在、平面內(nèi)引射線、，若，，那么二面角的大小為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】過上一點分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點、，則即為二面角的平面角，設(shè)，通過解三角形即可求出答案．【詳解】解：過上一點分別在、內(nèi)做的垂線，交、于點、，則即為二面角的平面角，如下圖所示：設(shè)，∵，∴，，又∵，∴為等邊三角形，則，∴，∴，故選：D．6.已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為棱上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.【詳解】由條件易知.故選：D7.如圖，是直三棱柱，，點、分別是、的中點，若，則與所成角的余弦值是A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】考點：異面直線及其所成的角．分析：先取BC的中點D，連接D1F1，F(xiàn)1D，將BD1平移到F1D，則∠DF1A就是異面直線BD1與AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：取BC的中點D，連接D1F1，F(xiàn)1D∴D1B∥D1F∴∠DF1A就是BD1與AF1所成角設(shè)BC=CA=CC1=2，則AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=/10．故選A．點評：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知正方體的棱長為分別是棱?的中點，點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點的軌跡長度為（）A.2 B. C. D.【正確答案】B【分析】取的中點，連接，易證平面，平面，從而得到平面平面，即可得到的軌跡為線段，再求其長度即可.【詳解】取的中點，連接，如圖所示：分別是棱?的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面，平面，所以平面.因為，所以平面平面.因為點為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）一動點，直線與平面無公共點，所以的軌跡為線段，則.故選：B二、多選題9.以下命題正確的是（）A.兩個不同平面，的法向量分別為，，則B.若直線l的方向向量，平面的一個法向量，則C.已知，，若與垂直，則實數(shù)D.已知三點不共線，對于空間任意一點O，若，則四點共面【正確答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量判定線面、面面關(guān)系可判定AB，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判定C，根據(jù)四點共面的充要條件可判定D.【詳解】對于A，由題意知，所以，故A正確；對于B，由題意知，所以或，故B錯誤；對于C，由題意知，解之得，故C正確；對于D，由，即，所以四點共面，故D正確.故選：ACD10.如圖，在四面體中，點分別是棱的中點，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的為（）A.截面B.異面直線與所成的角為C.D.平面【正確答案】AC【分析】對于選項A:利用線面平行的判定定理即可判斷；對于選項B:結(jié)合題意可得為異面直線與所成的角，借助截面是正方形求解即可；對于選項C:結(jié)合題意利用，，并借助截面是正方形即可判斷；對于選項D:利用分析法并借助線面垂直的性質(zhì)可得到不一定成立，即可判斷.【詳解】對于選項A:點分別是棱的中點，，平面，平面，截面，故A正確；對于選項B:點分別是棱的中點，，為異面直線與所成的角，截面是正方形，，即異面直線與所成的角為，故B錯誤；對于選項C:截面正方形，，又點分別是棱的中點，，，，故C正確；對于選項D:若要使平面，則需要，，但由題意知不一定成立，故D錯誤．故選：AC.11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為等邊三角形，平面平面，點在線段上，，交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則為的中點B.若為的中點，則三棱錐的體積為C.銳二面角的大小為D.若，則直線與平面所成角余弦值為【正確答案】ABD【分析】對于，根據(jù)線面平行性質(zhì)可得，進(jìn)而得到為的中點；對于，利用求解即可；對于，作的中點，則為銳二面角的平面角，再結(jié)合余弦定理可求解二面角的平面角的余弦值，即可判斷錯誤；對于，建系，求平面的法向量，根據(jù)向量的夾角來求直線與平面所成角的余弦值．【詳解】解：對于，連接，當(dāng)平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，從而得到為的中點．故正確；為的中點，，取中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又平面平面，由面面垂直性質(zhì)可得底面，，，所以正確．連接，因為底面，又平面，所以，在中，，取中點，連接，，，，為銳二面角的平面角，在中，，，由余弦定理可得，所以，故錯誤．對于，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，因為，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，取，解得，所以，，故正確．故選：．三、填空題12.已知直線的方向向是為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成的角是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量法計算線面角即可.【詳解】設(shè)直線與平面所成的角為，則故.故答案為.13.如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.【正確答案】【分析】分析可知，，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為平面，平面，則，同理可知，所以，.故答案為.14.如圖，質(zhì)點從正方體的頂點出發(fā)，沿正方體的棱運動，每經(jīng)過一條棱稱之為一次運動，第一次運動經(jīng)過，第二次運動經(jīng)過，第三次運動經(jīng)過，且對于任意的正整數(shù)，第次運動所經(jīng)過的棱與第次運動所經(jīng)過的棱所在的直線是異面直線，則經(jīng)過2021次運動后，點到達(dá)的頂點為________點【正確答案】【分析】由題意設(shè)第次運動前起始點為，分析第次運動后所在的位置與的位置關(guān)系即可.【詳解】由題，不妨設(shè)第次運動前質(zhì)點在點處，則第次運動經(jīng)過的或，當(dāng)?shù)诖芜\動經(jīng)過時，第次運動經(jīng)過或，又第次運動所經(jīng)過的棱與第次運動所經(jīng)過的棱所在的直線是異面直線，故第次運動只能經(jīng)過或，即第次運動后只可能在處，同理當(dāng)?shù)诖芜\動經(jīng)過時也有第次運動后只可能在處，故從開始第3次運動后必定在，第6次運動后必定回到,即6次運動為一個周期，又,故經(jīng)過2021次運動后與經(jīng)過5次后的位置相同,即處.故答案為.四、解答題15.已知，.（1）若()∥()，求x，y的值；（2）若，且，求x的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）先求出和的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計算可得；（2）先根據(jù)向量垂直得，進(jìn)而，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得.【小問1詳解】∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.【小問2詳解】由，得，∴，∴，即，∴，解得.16.如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設(shè)，，．（1）試用表示向量；（2）若，，，求線段的長．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的運算法則，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得且，結(jié)合空間向量的數(shù)量積和模的運算，即可求解.【小問1詳解】解：因，根據(jù)空間向量的運算法則，可得.小問2詳解】解：因為，，，可得且，則，所以，即線段的長．17.已知三棱錐中，，，分別為棱的中點，且平面平面，平面平面．（1）求證：；（2）求證：平面平面．【正確答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析【分析】（1）首先證明平面，然后結(jié)合線面平行的性質(zhì)即可得證；（2）只需證明，，然后結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證.【小問1詳解】因為分別為棱的中點，所以,因為平面，平面，所以平面，因為平面平面，平面，所以；【小問2詳解】因為，點是的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為分別為棱的中點，所以，因為，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，而平面，從而平面平面.18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點E在上.（1）求證：平面；（2）若E為的中點，求直線與平面所成的角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由條件可得，，然后算出的長度可得矩形是正方形，然后可得，即可證明；（2）、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解即可.【小問1詳解】因為底面，、底面，所以，，所以，，所以矩形是正方形，所以，因為，所以平面【小問2詳解】由（1）知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的法向量為，則，，即所以可取，0，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．19.在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．（1）求證：；（2）在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說