復(fù)數(shù)第2章51目錄2.1復(fù)數(shù)的概念2.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算2.3復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式2.4正弦量的復(fù)數(shù)表示52學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解符號(hào)i的幾何意義，理解復(fù)數(shù)及有關(guān)概念.2.能用復(fù)平面上的點(diǎn)和向量（有向線段）表示復(fù)數(shù)；理解復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)等概念.3.了解復(fù)數(shù)的三角形式，會(huì)進(jìn)行代數(shù)形式與三角形式的互化.4.掌握復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義.5.會(huì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程.6.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式的乘除運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.7.了解復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式，會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式的乘除運(yùn)算.8.會(huì)用相量表示對(duì)應(yīng)的正弦量.53知識(shí)回顧實(shí)數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識(shí)實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).有理數(shù)可以表示為兩個(gè)整數(shù)的比值，無(wú)理數(shù)則不能；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.平方根

若

x2=a（a≥0），則稱(chēng)

x為

a的平方根（二次方根），即

x=±

a.分式

如果

A，B

是兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子

（B≠0）就叫做分式，其中

A

為分子，B

為分母.一元二次方程

一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次是2的整式方程，一般形式為

ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且

a≠0）；一元二次方程的常用解法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法和配方法等.542.1復(fù)數(shù)的概念55實(shí)例考察

我們知道－1－1=－2，(－1)×(－1)=1.這樣的算式雖然簡(jiǎn)單，但比較抽象.下面給出一個(gè)幾何模型，可賦予上述算式直觀的幾何意義.－1－1可以寫(xiě)成(－1)+(－1).在如圖所示數(shù)軸上可看作向負(fù)方向走一步，再向負(fù)方向走一步，就得到了－2，即－1－1=－2.這樣，加法可以看成是平動(dòng)的合成.56

如圖所示，(－1)×(－1)可看作先逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°，再逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°，即逆時(shí)針轉(zhuǎn)360°，結(jié)果回到原位，也就是等于1，即(－1)×(－1)=(－1)2=1.這樣，乘法可以看作具有旋轉(zhuǎn)的功能.具體地說(shuō)，可以將乘－1看作逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°.572.1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集如圖所示，我們可以把逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°看成是先逆時(shí)針轉(zhuǎn)一半（90°），再逆時(shí)針轉(zhuǎn)一半（90°）.仿照將乘－1看作逆時(shí)針轉(zhuǎn)180°的方式，我們引入符號(hào)i，將乘i看作逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°.這樣，兩次乘i就逆時(shí)針轉(zhuǎn)了180°，相當(dāng)于乘－1.即i×i=i2=－1.因此，i是－1的一個(gè)平方根.需要說(shuō)明的是，i不是實(shí)數(shù)，也不表示具體的數(shù)量，稱(chēng)為虛數(shù)單位.58有了虛數(shù)單位i，任何負(fù)數(shù)都能開(kāi)方.全體復(fù)數(shù)組成的集合稱(chēng)為復(fù)數(shù)集，用字母

C表示，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}.復(fù)數(shù)

z

表示成

a+bi（a，b∈R）的形式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.規(guī)定：0+0i=0，0+bi=bi.當(dāng)

b=0時(shí)，復(fù)數(shù)

z=a+bi=a稱(chēng)為實(shí)數(shù).當(dāng)

b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)

z=a+bi稱(chēng)為虛數(shù)，其中，當(dāng)

a=0且

b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)

z=a+bi=bi稱(chēng)為純虛數(shù).59把數(shù)系擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系后，復(fù)數(shù)的分類(lèi)如下：60如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，且虛部也相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即若

a，b，c，d∈R，則如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，我們知道它們可以比較大小；如果兩個(gè)復(fù)數(shù)不都是實(shí)數(shù)，即至少有一個(gè)不是實(shí)數(shù)，那么它們只有相等與不相等兩種關(guān)系，而不能比較大小.612.1.2復(fù)平面及相關(guān)概念復(fù)平面任何一個(gè)復(fù)數(shù)

z=a+bi對(duì)應(yīng)一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)；反之，任何一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)

z=a+bi.由于有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)

Z(a，b)是一一對(duì)應(yīng)的，因此可以借用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)

Z(a，b)來(lái)表示復(fù)數(shù)

z=a+bi，也可以用復(fù)數(shù)

z=a+bi來(lái)描述平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)

Z(a，b).62如圖所示，點(diǎn)

Z的橫坐標(biāo)是

a，縱坐標(biāo)是

b，它表示復(fù)數(shù)

z=a+bi.我們把這種建立了直角坐標(biāo)系用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面.這時(shí)，x

軸稱(chēng)為實(shí)軸，y

軸除去原點(diǎn)的部分稱(chēng)為虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，任意一個(gè)復(fù)數(shù)，都有復(fù)平面上唯一確定的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面上任意一個(gè)點(diǎn)，也都有唯一確定的一個(gè)復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng).由此可知，復(fù)數(shù)集

C與復(fù)平面上所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的.63

觀察下面兩對(duì)復(fù)數(shù)：?z1=3+i與

z2=3－i；?z1=－1+2i與

z2=－1－2i.可以發(fā)現(xiàn)，第一對(duì)復(fù)數(shù)

z1=3+i與

z2=3－i的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，如圖所示，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

A

與

B

關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)；第二對(duì)復(fù)數(shù)

z1=－1+2i與z2=－1－2i和第一對(duì)復(fù)數(shù)具有相同的特征.646566用向量表示復(fù)數(shù)如圖所示，設(shè)任意一個(gè)復(fù)數(shù)

z=a+bi在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

Z(a，b).連接

OZ，顯然點(diǎn)

Z

可以唯一確定一個(gè)有向線段（規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段）.習(xí)慣上，把有向線段

稱(chēng)為向量（物理學(xué)中也稱(chēng)為矢量）；反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)向量

也可以唯一確定一個(gè)點(diǎn)

Z(a，b).由此可知，點(diǎn)

Z與向量

一一對(duì)應(yīng).因此，復(fù)數(shù)

z=a+bi與向量

也是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)集

C中的元素與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)

O

為起點(diǎn)的向量組成的集合中的元素是一一對(duì)應(yīng)的.根據(jù)這一結(jié)論，我們可以用向量

表示復(fù)數(shù)

z=a+bi.通常規(guī)定：相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).67

向量

的大小（有向線段

的長(zhǎng)度）稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z=a+bi的模（或絕對(duì)值），記作|z|或|a+bi|.由模的定義可知：特別地，當(dāng)虛部為零，即復(fù)數(shù)

z=a+bi=a是實(shí)數(shù)時(shí)，它的模等于|a|，就是實(shí)數(shù)

a的絕對(duì)值；當(dāng)復(fù)數(shù)

z=0時(shí)，它的模等于0.68復(fù)數(shù)的輻角與輻角主值設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+bi對(duì)應(yīng)于向量，以實(shí)軸的正半軸為始邊，向量

為終邊的角

θ，稱(chēng)為復(fù)數(shù)

z=a+bi的輻角，用argz表示.它表示向量

的方向.顯然非零復(fù)數(shù)

z=a+bi的輻角不是唯一的.若

θ是復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角，則2kπ+θ（k∈Z）也是復(fù)數(shù)

z=a+bi的輻角，即argz=2kπ+θ（k∈Z）.我們把[0，2π)范圍內(nèi)的輻角

θ的值稱(chēng)為輻角的主值，記作argz，即0≤argz<2π，如圖所示.69由任意角的三角函數(shù)定義可知，若已知

θ

終邊上一點(diǎn)

Z

的坐標(biāo)為(a，b)，則tanθ=（a≠0）.從而可以確定復(fù)數(shù)

z=a+bi（a≠0）的輻角

θ.角

θ

所在的象限就是復(fù)數(shù)

z=a+bi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

Z(a，b)所在的象限.一對(duì)共軛復(fù)數(shù)

z=a+bi與

=a－bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)

A和點(diǎn)

B，點(diǎn)

A

和點(diǎn)

B

關(guān)于

x

軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示.設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+bi的模為

r，輻角為

θ，則共軛復(fù)數(shù)

=a－bi的模也是

r，它的輻角為－θ.702.1.3復(fù)數(shù)的三角形式設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+bi的模為

r，輻角為

θ，由下圖可知其中角

θ

所在的象限就是復(fù)平面上的點(diǎn)

Z(a，b)所在的象限.71因此，任何一個(gè)復(fù)數(shù)

z=a+bi都可以表示成我們把這種表示形式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的三角形式.復(fù)數(shù)是研究電工學(xué)中交流電等理論知識(shí)的重要工具.用復(fù)數(shù)表示電壓、電流等量可使電工學(xué)中物理量的分析與研究變得簡(jiǎn)便.722.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算73實(shí)例考察在交流電路中，電壓和電流也用復(fù)數(shù)來(lái)表示.一個(gè)交流電壓記為

U=220(cos30°+isin30°)，表示電壓的幅值為220V，相位角為30°，通過(guò)一個(gè)阻抗為

Z=20+20i的電路元件，求此時(shí)電流的幅值.根據(jù)歐姆定律，電流可以看出，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算在電工電子學(xué)中對(duì)于分析交流電路的特性非常重要，為交流電的計(jì)算提供了有力的工具.當(dāng)我們把復(fù)數(shù)

z1=a+bi，z2=c+di中的虛數(shù)單位i看作多項(xiàng)式中的一個(gè)字母時(shí)，復(fù)數(shù)

z1與

z2間的四則運(yùn)算就變成了多項(xiàng)式的四則運(yùn)算.此外，復(fù)數(shù)用三角形式表示，當(dāng)進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)，可使運(yùn)算過(guò)程變得十分簡(jiǎn)單，這為交流電的計(jì)算提供了有利的工具.742.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則為：很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍是一個(gè)復(fù)數(shù).容易驗(yàn)證，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)于任意復(fù)數(shù)

z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）.設(shè)

z1=a+bi，z2=c+di，z=z1+z2，則z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=z.75設(shè)

z1，z2，z依次對(duì)應(yīng)向量，，（如圖所示）.容易證明，以

O，A，B，C

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.因此，已知，就可以用畫(huà)平行四邊形的方法求得.這種方法稱(chēng)為平行四邊形法則.也就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的加法可以用平行四邊形法則來(lái)進(jìn)行.76復(fù)數(shù)的減法是復(fù)數(shù)的加法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)

x+yi稱(chēng)為復(fù)數(shù)

a+bi減去復(fù)數(shù)

c+di的差，記作(a+bi)－(c+di).由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，得因此所以x+yi=(a－c)+(b－d)i.77由以上推導(dǎo)可知，復(fù)數(shù)的減法法則為：

由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).設(shè)

z1=a+bi，z2=c+di，z=z1－z2，則z1－z2=(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i=z.78設(shè)

z1，z2，z依次對(duì)應(yīng)向量，，（如圖所示）.容易證明，三角形

AOB

的一邊.因此，已知，就可以用畫(huà)三角形的方法求得.這種方法稱(chēng)為三角形法則.也就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的減法可以用三角形法則來(lái)進(jìn)行.79802.2.2實(shí)系數(shù)一元二次方程的根我們知道，對(duì)于一元二次方程

ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0），當(dāng)

Δ=b2－4ac≥0時(shí)，有兩個(gè)不等或者相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

Δ=b2－4ac<0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根.現(xiàn)在，我們進(jìn)一步討論當(dāng)

Δ=b2－4ac<0時(shí)，上述方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根.對(duì)于一元二次方程

ax2+bx+c=0，因?yàn)?/p>

a≠0，所以配方得81因?yàn)?/p>

Δ=b2－4ac<0，所以82由上面的討論可知，實(shí)系數(shù)一元二次方程

ax2+bx+c=0在復(fù)數(shù)集

C中恒有解，而解實(shí)系數(shù)一元二次方程的關(guān)鍵是計(jì)算判別式

Δ=b2－4ac：（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根（2）當(dāng)Δ=0時(shí)，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根（3）當(dāng)Δ<0時(shí)，有兩個(gè)虛數(shù)根832.2.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法法則如下：可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只是運(yùn)算中要將i2

換成－1，并把最后的結(jié)果寫(xiě)成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是一個(gè)復(fù)數(shù).84容易驗(yàn)證，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律，即對(duì)于任意復(fù)數(shù)

z1，z2，z3，有85例

設(shè)

z1=6－i，z2=－1+3i，求

z1z2

和

z1

.解

z1z2=(6－i)(－1+3i)=[6×(－1)－(－1)×3]+[6×3+(－1)×(－1)]i=－3+19i.由

z1=6－i，得

=6+i，則=(6－i)(6+i)=[6×6－(－1)×1]+[6×1+(－1)×6]i=36+1=37.86由例題可以知道，6+i和6－i這一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù).這個(gè)結(jié)果可以推廣為：對(duì)于任意一個(gè)復(fù)數(shù)

z=a+bi(a，b∈R)，有

=(a+bi)(a－bi)=a2

－abi+abi－b2i2=a2+b2.通過(guò)上述計(jì)算可知，任意一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，且這個(gè)實(shí)數(shù)等于復(fù)數(shù)z(或

)的模的平方，即特別地，當(dāng)|z|=1時(shí)，872.2.4復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)的乘法的逆運(yùn)算.也就是說(shuō)，如果(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)，則把復(fù)數(shù)

x+yi稱(chēng)為復(fù)數(shù)

a+bi除以復(fù)數(shù)

c+di的商，記作因?yàn)閮蓚€(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此，通常在計(jì)算

時(shí)，用分母的共軛復(fù)數(shù)同乘以分子和分母.計(jì)算過(guò)程如下：882.2.5復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算如下：以上三個(gè)公式為復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算法則.其中，公式

zn=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N)稱(chēng)為棣莫弗公式.2.3復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式8990

912.3.1復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+bi的模為

r，輻角為

θ，則復(fù)數(shù)

z=a+bi可以表示為此時(shí)

a=rcosθ，b=rsinθ.我們把

稱(chēng)為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式.92在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的運(yùn)算法則，例如，a3a6=a3+6=a9.對(duì)于復(fù)數(shù)而言，如果將它也表示成指數(shù)形式，其乘除運(yùn)算將會(huì)變得很簡(jiǎn)單.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在18世紀(jì)中葉提出著名的歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ.它將指數(shù)與三角函數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起，極大地方便了數(shù)學(xué)處理.根據(jù)這條公式，我們可以把任何一個(gè)復(fù)數(shù)

z=r(cosθ+isinθ)表示成z=reiθ.這一表示形式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式.93其中，r為復(fù)數(shù)的模，底數(shù)e=2.71828···為無(wú)理數(shù)，冪指數(shù)中的i為虛數(shù)單位，θ為復(fù)數(shù)的輻角，單位為弧度.例如：94關(guān)于復(fù)數(shù)的表示形式，我們可以歸納為如圖所示.952.3.2復(fù)數(shù)指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式的乘除運(yùn)算若已知復(fù)數(shù)

，

，

，根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)和“同底數(shù)冪相乘除，底數(shù)不變，指數(shù)相加減”的運(yùn)算法則，我們得到復(fù)數(shù)指數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則為即：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積仍是復(fù)數(shù)，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角之和.（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為零），商仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.（3）復(fù)數(shù)的

n（n是自然數(shù)）次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的

n次冪，而輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的

n倍.96與復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算法則相似，我們可以直接寫(xiě)出復(fù)數(shù)極坐標(biāo)形式的乘除運(yùn)算法則.97982.3.3復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義對(duì)于復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，我們可以在復(fù)平面內(nèi)用向量相加減的方法進(jìn)行（平行四邊形法則或三角形法則）.對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，能否直接在復(fù)平面內(nèi)進(jìn)行呢?下面我們通過(guò)一個(gè)例題來(lái)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義.99例

已知復(fù)數(shù)

，求：（1）（2）將復(fù)數(shù)

和

zi所對(duì)應(yīng)的向量畫(huà)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，并觀察它們的模與輻角分別有什么關(guān)系.解（1）因?yàn)閕可以表示為所以有100（2）在復(fù)平面上復(fù)數(shù)

zi是由復(fù)數(shù)

沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

而得到的（如圖所示），即復(fù)數(shù)

zi與復(fù)數(shù)

z的模相同，復(fù)數(shù)

zi的輻角等于復(fù)數(shù)

z

的輻角加上.101將上例的計(jì)算結(jié)果推廣，如果復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)向量

和，那么

z1z2

對(duì)應(yīng)的向量

可以通過(guò)如下方法得到：先把

繞原點(diǎn)

O

沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角

θ1，然后把它的模伸長(zhǎng)（當(dāng)r1>1）或壓縮（當(dāng)r1<1）成原來(lái)的

r1

倍，如圖所示，這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.102作為特例，是一個(gè)模為1、輻角為

φ

的復(fù)數(shù)，任意復(fù)數(shù)

乘以，等于模不變而將

沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了

φ

角，所以

稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子.當(dāng)

時(shí)，由于

因此，i是一個(gè)特殊的旋轉(zhuǎn)因子，在交流電相量運(yùn)算時(shí)有廣泛的應(yīng)用，復(fù)數(shù)每乘以i，則表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).2.4正弦量的復(fù)數(shù)表示103104實(shí)例考察已知交流電路中的兩個(gè)電流，和，試分別確定它們的最大值及相位差

φ

.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了電工學(xué)中正弦量的概念，知道交流電的