自動控制原理第3章

線性控制系統的時域分析1第三章線性控制系統的時域分析2025/2/253.1系統時間響應的性能指標

一個控制系統的時域響應

不僅取決于系統本身的結構和參數，即系統的傳遞函數

，而且和系統的初始狀態以及系統的輸入信號有關。為便于研究，規定系統在外加輸入信號之前是相對靜止的，即為零初始狀態。

控制系統的實際輸入信號往往是未知的，為了便于對系統進行分析和設計，常需要一些輸入函數作為測試信號。根據其響應情況，對系統的性能作出評價。選取的測試信號應具有下列特點：（1）能反映系統工作時的實際情況；（2）易于在實驗室中獲得；（3）數學表達形式簡單，以便數學上的分析和處理。第三章線性控制系統的時域分析2自動控制原理2025/2/251.階躍信號當階躍信號的幅值為1，即

時，稱為單位階躍信號。2.斜坡信號當

時，稱為單位斜坡信號。自動控制原理典型輸入信號2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析3(a)階躍信號(b)斜坡信號3.等加速度信號當

時，稱為單位等加速度信號。4.脈沖信號當H=1時，稱為單位脈沖信號，記為

。如果令

，則稱為單位理想脈沖函數，如圖所示，并用

表示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析4(c)等加速度信號自動控制原理典型輸入信號5.正弦信號2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析5自動控制原理典型輸入信號實際工作中，如：電源的波動、機械振動、元件的噪聲干擾、海浪對艦艇的擾動力等均可視為正弦作用。另外，還可以用不同頻率的正弦輸入，得到系統的頻率特性，據此判斷系統的性能。在分析控制系統時，究竟采用哪一種輸入信號，取決于系統正常工作時，最常見、最不利的輸入情況。但是無論選用哪一種輸入信號，系統表現的性能是一樣的。動態性能與穩態性能1）穩定性穩定性是控制系統分析和設計中最為重要的概念，也是對控制系統性能的最基本要求，是控制系統在各種非理想條件下能夠可靠工作，對外部擾動有自調節能力的前提條件。2）穩態性能穩態誤差

：指穩態響應的期望值與實際值的差值。若系統輸入為單位階躍信號，則穩態誤差是系統控制精度的一種度量，若穩態誤差

，則稱系統是無靜差的，反之稱系統是有靜差的。3）動態性能穩定是控制系統能夠運行的首要條件，因此只有當動態過程收斂時，研究系統的動態性能才有意義。系統的輸出能準確地跟蹤或復現階躍輸入時，認為是較為嚴格的工作條件，所以評價系統時域性能指標，通常是根據系統的單位階躍響應確定。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析6自動控制原理動態性能與穩態性能2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析7圖3.3系統的單位階躍響應自動控制原理動態性能與穩態性能（1）延遲時間

階躍響應曲線從零第一次到達穩態值的10%所需的時間。（2）上升時間

階躍響應曲線從零第一次上升到穩態值所需的時間。若階躍響應曲線為過阻尼的單調變化狀態，其響應不超過穩態值，則定義階躍響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間為上升時間。（3）峰值時間

階躍響應曲線超過穩態值到達第1個峰值所需的時間。（4）調節時間

階躍響應曲線到達并保持在其穩態值允許的誤差范圍（即誤差帶）內所需的時間，通常誤差范圍定義為

或

。（5）超調量

階躍響應曲線的最大值

與其穩態值

之差與穩態值的百分比，即2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析8自動控制原理抗擾動性能2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析9系統突加擾動的動態過程自動控制原理3.2控制系統的時域分析一階系統時域分析

用一階微分方程式描述的控制系統稱為一階系統。它是工程中最基本、最簡單的系統，如：RC電路、熱處理器、體溫計等，均為一階系統的實例。一階系統的數學模型式中，為電路的輸出電壓；為電路的輸入電壓，，T為時間常數。零初始條件下，其傳遞函數為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析10自動控制原理一階系統的時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析11（a）RC電路（b）一階系統框圖（c）等效框圖圖：一階系統及結構框圖自動控制原理一階系統的時域分析一階系統的時域響應2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析12自動控制原理一階系統的時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析13圖3.6一階系統的單位階躍響應自動控制原理一階系統的時域分析一階系統的單位階躍響應具有兩個特征：時間常數

為表征響應特性的唯一參數響應曲線的初始上升斜率為

1/T2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析14自動控制原理一階系統的時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析15自動控制原理一階系統的時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析16圖3.7一階系統的單位脈沖響應3）單位斜坡響應設，零初始條件下一階系統單位斜坡響應的拉氏變換為自動控制原理一階系統的時域分析對上式取拉氏反變換，得2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析17圖3.8一階系統的單位斜坡響應根據一階系統對上述三種典型信號的時域響應，不難看出線性定常系統的一個重要性質：一個輸入信號導數的時域響應等于該輸入信號時域響應的導數；一個輸入信號積分的時域響應等于該輸入信號時域響應的積分。自動控制原理二階系統時域分析

用二階微分方程式描述的控制系統稱為二階系統。在控制工程中，不僅二階系統非常普遍，如：電機系統、小功率隨動系統等，而且不少高階系統在一定的條件下可用二階系統近似等效。因此，著重研究二階系統的特性及分析計算的方法，具有較大的實際意義。1.二階系統的數學模型

位置隨動系統如圖3.9所示，系統中的負載角位移能跟隨輸入手柄角位移的變化。圖中兩個線性電位器分別把輸入和輸出的角位移轉變為與之成比例的電信號，并進行比較，其差值經過電壓和功率放大器放大后給直流伺服電機供電，使之帶動傳動比為

的齒輪組合負載一起轉動，力圖使角位移的誤差減小到零。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析18自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析19圖3.9位置隨動系統原理圖自動控制原理二階系統時域分析設J和

分別為電動機軸上的等效轉動慣量和等效阻尼系數，不考慮電動機電樞的電感和負載系數，則圖3.9所示系統的框圖如圖3.10所示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析20(a)系統的框圖

（b）系統的簡化框圖

圖3.10位置隨動系統框圖自動控制原理二階系統時域分析由圖3.10（b）可見，位置隨動系統在簡化情況下是一個二階系統，由一個積分環節和一個慣性環節串聯組成，其開環傳遞函數和閉環傳遞函數分別為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析21

其中：阻尼系數，開環增益為了使研究的結果具有普遍的意義，可將式（3.16）改寫為二階系統的標準形式自動控制原理二階系統時域分析相應的結構圖如圖3.11所示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析22圖3.11標準形式的二階系統框圖2.二階系統的單位階躍響應由式（3.17）可知，二階系統的特征方程式為其特征方程的特征根為自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析23自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析24自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析251、其拉氏反變換為:自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析26圖3.12二階系統單位階躍響應曲線自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析272、其拉氏反變換為:對上式進行拉氏變換，得臨界阻尼二階系統的單位階躍響應為式（3.20）表明系統的瞬態響應是一條單調上升的指數曲線。自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析283、自動控制原理二階系統時域分析二階系統欠阻尼時的動態分析

在控制工程中，除了那些不容許產生振蕩響應的系統外，通常都希望控制系統具有適度的阻尼，較快的響應速度和較短的調節時間。因此，二階系統的設計，一般取2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析291、上升時間

當被控制量c(t)首次由零上升到其穩態值所需的時間，稱上升時間tr。自動控制原理二階系統時域分析2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析302、峰值時間瞬態響應第一次出現峰值的時間叫峰值時間,用tp表示簡化上式，求得因為：自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析313、超調量Mp4、調整時間ts

階躍響應曲線開始進入偏離穩態值±Δ的誤差范圍(一般Δ為5%或2%),并從此不現超越這個范圍的時間稱為系統的調整時間,用ts表示之。二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析32求得：近似計算：5、穩態誤差圖3.14欠阻尼二階系統單位階躍響應的一對包絡線二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析33二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析34二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析35二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析36二階系統時域分析自動控制原理4.二階系統性能的改善在改善二階系統性能的方法中，比例-微分控制和測速反饋控制是兩種常用的方法。（1）比例-微分控制2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析37二階系統時域分析圖3.16采用比例-微分控制的系統自動控制原理圖3.16所示系統的開環傳遞函數為則閉環傳遞函數為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析38二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析39二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析40二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析41二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析42二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析43二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析44二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析45二階系統時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析46二階系統時域分析自動控制原理

在工程實際中，控制系統大多是三階或三階以上的高階系統。所以，了解高階系統時域響應的特征以及它和零、極點間的關系，將有助于對高階系統的分析和綜合。1.高階系統的階躍響應設

階系統的閉環傳遞函數為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析47高階系統的時域分析自動控制原理設系統的輸入信號為單位階躍信號，則有將上式用部分分式展開得2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析48對上式取拉氏反變換，系統的階躍響應為高階系統的時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析49高階系統的時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析50高階系統的時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析51高階系統的時域分析圖3.19高階系統的分析自動控制原理2.閉環主導極點在高階系統中，把那些距離虛軸最近且附近又沒有閉環零點的閉環極點稱為主導極點。主導極點可以是實數極點，也可以是共軛復數極點，或者是它們的組合。在工程實際中，除主導極點外，如果其它極點的實部比主導極點的實部大3~4倍，或者它們附近有閉環零點存在，則這些閉環極點對系統動態響應的影響可以忽略不計。在控制工程中，主導極點往往被設置成一對共軛復數極點，以使系統具有較高的響應速度和適當的阻尼。3.閉環偶極子如果某對靠近的閉環極點和閉環零點之間的距離比起它們與其它零、極點之間的距離小一個數量級，則稱該對閉環零、極點為閉環偶極子。不十分靠近坐標原點的偶極子對系統響應的影響很小。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析52高階系統的時域分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析53高階系統的時域分析自動控制原理1.穩定的概念設一線性定常系統原處于某一平衡狀態，若受到擾動作用（如：負載的變化、電網電壓的波動等）時，系統輸出偏離了原來的平衡狀態，但擾動消失后，在經過足夠長的時間會恢復原來的平衡狀態，則稱系統是穩定的（或稱系統具有穩定性），如圖3.20（a）所示。反之，當擾動消失后，偏離量隨著時間的推移不斷增大，系統不能回到原來的平衡狀態，則稱系統是不穩定的，如圖3.20（b）所示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析543.3線性系統穩定性分析

（a）

（b）圖3.20穩定與不穩定系統的單位階躍響應曲線自動控制原理2.系統穩定的充分必要條件基于上述，穩定反映了系統在擾動撤銷后的自恢復能力。因此，可用系統的單位脈沖響應來描述這種特性。設系統的初始狀態為零，在單位理想脈沖函數作用下，其輸出響應為

。這相當于在擾動作用下，系統輸出量偏離了原有平衡狀態的情況。如果系統的單位脈沖響應是收斂的，即2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析55用部分分式展開，并對其拉氏反變換后得3.3線性系統穩定性分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析563.3線性系統穩定性分析自動控制原理系統的閉環極點與單位脈沖響應曲線如圖3.21所示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析572025/2/25系統穩定的充分必要條件系統特征方程的根（即系統閉環傳遞函數的極點）全部分布在s復平面虛軸的左側。

左半平面線性系統穩定的充分必要條件代數穩定判據是一種利用特征方程的系數，運用代數運算來確定特征方程跟的位置，并判斷系統的穩定性的方法。代數穩定判據有勞斯（Routh）穩定判據和古爾維茨（Hurwith）穩定判據兩種。這里僅介紹勞斯（Routh）穩定判據。設系統特征方程為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析59

3.3.2勞斯(Routh)穩定判據自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析60將上式中的各項系數，按下面的格式排成勞斯表勞斯(Routh)穩定判據自動控制原理用同樣的方法，求取表中其余行的系數，一直到n+1行排完為止。勞斯穩定判據是根據勞斯表第一列系數符號的變化，去判別特征方程式的根在S平面上的位置。（1）特征方程式所有的根均在s平面的左半部分，即系統穩定的充要條件是：①特征方程式所有的系數都大于零（正值）；②勞斯表的第一列系數都為正（符號沒有變化）。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析61勞斯(Routh)穩定判據自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析62勞斯(Routh)穩定判據自動控制原理1.確定閉環系統穩定時，其參數的取值范圍

應用勞斯穩定判據不僅可以判別閉環系統的穩定性，還可以了解相關參數對系統穩定性的影響。2.確定系統的穩定裕量

所謂穩定裕量，就是系統距離穩定的邊界（虛軸）有多遠。檢驗系統是否具有

（穩定裕量），把

平面的虛軸向左移動

，并以

代入特征方程式，得到以

為變量的特征方程式。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析65

穩定判據的應用自動控制原理（1）用勞斯判據分析系統確定閉環系統穩定時其參數的取值范圍例：求：系統穩定（2）確定系統的穩定裕量1）相對穩定：考慮一定的穩定裕量2）絕對穩定：不考慮一定的穩定裕量檢驗系統是否具有（穩定裕量），把s平面的虛軸向左移以代入特征方程式，得到以z為變量的特征方程式。例3.12：用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在s的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂直線的右方。1.穩態誤差的定義當誤差是由給定引起的，稱為給定的穩態誤差，用

表示；當誤差是由擾動引起的，稱為擾動的穩態誤差，用

表示。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析683.4線性系統的穩態誤差分析圖3.23控制系統框圖自動控制原理2.誤差的計算由圖3.23所示的系統框圖可知，給定作用下的誤差函數的拉氏變換式為如果系統穩定，且其穩態誤差的終值存在，則該值可用拉氏變換的終值定理求得，即式（3.39）表明，系統的穩態誤差不僅與其開環傳遞函數，即系統的結構和參數有關，還與其輸入信號的形式和大小有關。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析693.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理系統的類型設系統的開環傳遞函數的一般表達式為：典型輸入信號作用下的穩態誤差2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析703.4線性系統的穩態誤差分析1、階躍信號輸入——靜態位置誤差系數自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析712、斜坡信號輸入3.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析723.4線性系統的穩態誤差分析圖3.24系統跟蹤斜坡輸入的響應3、拋物線信號輸入自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析733.4線性系統的穩態誤差分析

圖3.25系統跟蹤拋物線輸入的響應自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析743.4線性系統的穩態誤差分析表3.2參考輸入信號作用下的穩態誤差自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析753.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析76擾動作用下的穩定誤差3.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析773.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析783.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析793.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理減小或消除穩態誤差的措施提高系統穩態精度的方法主要有：（1）增大系統開環增益或擾動作用點之前系統的前向通道增益；（2）在系統的前向通道或主反饋通道設置積分環節；（3）采用串級控制，以抑制內回路的擾動；（4）采用復合控制方法，如前饋控制與反饋控制相結合的系統。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析803.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析81提高系統穩態精度的方法1、對擾動進行補償圖3.29按擾動補償的復合控制系統全補償條件：3.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析822、對輸入進行補償圖3.30按輸入補償的復合控制系統3.4線性系統的穩態誤差分析自動控制原理本節簡要介紹利用MTALAB軟件進行控制系統瞬態響應分析的方法。MATLAB是MATrixLABoratory的縮寫。它是一種基于矩陣數學與工程計算的軟件，目前已成為控制領域最為流行的計算機輔助設計及教學工具軟件。應用MATLAB軟件進行繪圖和分析，有兩種方法可選：一種方法是在MATLAB命令窗口（MATLABCommandWindow）中輸入相關指令，直接獲取結果。這種方法輸入的指令不能保存，在更改參數或功能時，需重新輸入全部指令。另一種方法是在MATLAB環境下，將所有指令編輯為以m為后綴的文件（簡稱m文件），m文件可在MATLAB環境下編輯、保存和運行，使用起來較方便。2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析833.5MATLAB在時域分析與設計中的應用自動控制原理

控制系統的時域響應，主要包括單位階躍、單位脈沖、單位斜坡、單位拋物線響應以及對任意輸入信號的響應。MATLAB控制系統工具箱提供了求解系統時域響應的若干函數。典型的反饋控制系統如圖3.31所示，在特定輸入信號下的輸出響應為2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析84用MATLAB分析系統的時域響應圖3-31反饋控制系統自動控制原理用MATLAB求系統的時域響應時，將式（3.50）中的傳遞函數的分子、分母多項式的系數按寫為兩個數組：2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析85用MATLAB分析系統的時域響應1.用MATLAB求控制系統的階躍響應求系統單位階躍響應的指令有：step(num,den)（1）

或step(num,den,t)（2）在MATLAB程序中，先定義num，den數組，并調用指令（1）或指令（2），即可生成單位階躍輸入信號下的階躍響應曲線圖。指令（1）中雖然沒有時間t出現，但時間向量會自動地予以確定；指令（2）中的t是由用戶確定的時間。響應曲線圖中的x軸、y軸坐標是自動標注的。自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析86用MATLAB分析系統的時域響應自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析87用MATLAB分析系統的時域響應自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析88指令左端若含有變量時，即[y,x,t]=step(num,den,t)（3）若用該指令，顯示屏就不產生系統的輸出相應曲線。計算機根據用戶給出的t，算得相應的y、x值。若要生成響應曲線，需調用指令plot，見MATLAB程序3-2。%MATLAB程序3-2num=[0016];den=[1416];t=0:0.1:10[y,x,t]=step(num,den,t)plot(t,y)gridonxlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’)title(‘unit-stepResponseofG(s)=16/(s^2+4s+16)’)用MATLAB分析系統的時域響應自動控制原理2.用MATLAB求系統的單位脈沖響應求系統單位脈沖響應的MATLAB功能指令為impulse(num,den)（4）

或impulse(num,den,t)（5）

或[y,x,t]=impulse(num,den,t)（6）2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析89用MATLAB分析系統的時域響應自動控制原理2025/2/25第三章線性控制系統的時域分析90用MATLAB分析系統的時域響應自動控制原理2025/2/25第三章線性