第一章統計數據的收集與整理

1.1算術平均數是怎樣計算的？為什么要計算平均數？

乎受

y=I

答：算數立均數由下式計算：〃，含義為將全部觀測值相加再被觀測值的個數除，所得之商稱為

算術平均數。計算算數平均數的目的，是用平均數表示樣本數據的集中點，或是說是樣本數據的代表。

1.2既然方差和標準差都是衡量數據變異程度的，有了方差為什么還要計算標準差？

答：標準差的單位與數據的原始單位一致，能更直觀地反映數據地離散程度。

1.3標準差是描述數據變異程度的量，變異系數也是描述數據變異程度的量，兩者之間有什么不同？

答：變異系數可以說是用平均數標準化了的標準差。在比較兩個平均數不同的樣本時所得結果更可靠。

1.4完整地描述一組數據需要哪幾個特征數？答：平均數、標準差、偏斜度和峭度。

1.5下表是我國青年男子體重（kg）。由于測量精度的要求，從表面上看像是離散型數據，不要忘記，

體重是通過度量得到的，屬于連續型數據。根據表中所給出的數據編制頻數分布表。

666964656466656264696161685766696665

7064586766666866666266666462666564656672

606665616166626565616462646265686865

6768626370656765626662636865625767666863

64666864636O6769656667676765656766686467

596665635666664363666763706770686472696767

6668646571616643616464676970666276564637064

62697068656365666468696563677065686769

6665676674646965646565686765646667726567

6267716965657562696868656366636562616865

64676664606168676359656O646366596271696063

596761686966646965686764646666697368606063

3862676565696567657266676461646663636666

6663656367686662636166616368656669646670

697O6364656467676566626165656O6365626664

答：首先建立一個外部數據文件，名稱和路徑為：E:\data\exerl-5e.dat。所用的SAS程序和計算結果如

下：

procformat;

valuehfmt

56-57:'56-57'58-59;‘58-59’60-61;‘60-61,

62-63='62-63'64-65:'64-65'66-67='66-67'

68-69='68-69'70-71=70-71,72-73=72-73,

1/177

74-75=74-75';

run;

dataweight;

infile'E:\data\exerl-5e.dat';

inputbw

run;

procfreq;

tablebw;

formatbwhfmt.;

run;

TheSASSystem

CumulativeCumulative

BWFrequencyPercentFrequency

Percent

56-5731.03

1.0

58-5941.37

2.3

60-61227.329

9.7

62-634615.375

25.0

64-658327.7158

52.7

66-677725.7235

78.3

68-694515.0280

93.3

70-71134.3293

97.7

72-7351.7298

99.3

74-7520.7300

100.0

1.6將上述我國男青年體重看作一個有限總體，用隨機數字表從該總體中隨機抽出含量為10的兩個樣

本，分別計算它們的平均數和標準差并進行比較。它們的平均數相等嗎？標準差相等嗎？能夠解釋為什

么嗎？答：用means過程計算，兩個樣本分別稱為乙和乙，結果見下表：

TheSASSystem

VariableNMeanStdDev

Y11064.50000003.5039660

Y21063.90000003.1780497

隨機抽出的兩個樣本，它們的平均數和標準差都不相等。因為樣本平均數和標準差都是統計量，統計量

2/177

有自己的分布，很難得到平均數和標準差都相等的兩個樣本。

1.7從一個有限總體中采用非放回式抽樣，所得到的樣本是簡單的隨機樣本嗎？為什么？本課程要求

的樣本都是隨機樣本，應當采用哪種抽樣方法，才能獲得一隨機樣本？

答：不是簡單的隨機樣本。從一個有限總體中以非放回式抽樣方法抽樣，在前后兩次抽樣之間不是相互

獨立的，后一次的抽樣結果與前一次抽樣的結果有關聯，因此不是隨機樣本。應采用隨機抽樣的方法抽

取樣本，具體說應當采用放回式抽樣。

_7X其中土C。/=4,「

1

1.8證明2Mii若gic或？編碼時，前式是否仍然相

等？

答：(i)令

則歹=y±c平均數特性之③。

?=1

=S[(y±C)-(y±C)J

i

(2)令fC

則C平均數特性之②。

C2

用第二種編碼方式編碼結果，兩式不再相等。

L9有一個樣本：乂，匕’，匕，設B為其中任意一個數值。證明只有當B=P時，

-最小。這是平均數的一個重要特性，在局面講到一元線型回歸時還會用到該特性。

"％-B)2

答：令P='G-8)2,為求使p達最小之B,令一詡-=0

-B)=0B=_=y

貝|J〃O

3/177

1.10檢測菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中種植小麥，成苗后測量苗高，共100株，數據如下⑴：

10.09.37.29.8.58.010.510.69.610.1

7.06.79.57.10.57.98.19.67.69.4

o

10.07.57.25.7.38.77.16.15.26.8

oV

10.09.97.554,7.67.09.76.28.06.9

8.38.610.04.4.97.08.38.47.87.5

8

9.8.511.09.76.610.05.0

6.610.06.55

6.58.08.48.7.47.48.17.77.57.1

Jq

7.87.68.66.7.06.46.76.36.411.0

nV

10.57.85.08.7.07.45.26.79.08.6

nV

4.66.93.56.9.76.45.86.49.36.4

2

編制苗高的頻數分布表，繪制頻數分布圖，并計算出該樣本的四個特征數。

答：首先建立一個外部數據文件，名稱和路徑為：E:\data\exrl-10e.datoSAS程序及結果如下:

optionsnodate;

procformat;

valuehfmt

3.5-4.4='3.5-4.4'4.5-5.4='4.5-5.4'5.5-6.4='5.5-6.4'

6.5-7.4='6.5-7.4,7.5-8.4=7.5-848.5-9.4='8.5-9.4,

9.5-10.4=95-10.4'10.5-11.4='10.5-11.4';

run;

datawheat;

infile'E:\data\exrl-10e.dat';

inputheight@@;

run;

procfreq;

tableheight;

formatheighthfmt.;

run;

proccapabilitygraphicsnoprint;

4/177

varheight;

histogram/vscale=count;

insetmeanvarskewnesskurtosis;

run;

TheSASSystem

TheFREQProcedure

CumulativeCumulative

heightFrequencyPercentFrequency

Percent

3.5-4.41l.UU1

1.00

4.5-5.499.0010

10.00

5.5-6.41111.0021

21.00

6.5-7.42323.0044

44.00

7.5-8.42424.0068

68.00

8.5-9.41111.0079

79.00

95-1041515.0094

9400

10.5-11.466.00100

100.00

1.11北太平洋寬吻海豚羥丁酸脫氫酶（HDBH）數據的接收范圍頻數表⑵如下：（略作調整）

5/177

HDBH數據》?收范

頻數

圍/(UL-i)

-^±4-----------------------------1-

<245.90913

<277.818211

<309.727319

<341.636426

<373.545522

<405.454511

<437.363613

<469.27276

<501.18183

<533,09092

根據上表中人數據作出直方圖。

答：以表中第一列所給出*數值為組界，直方圖如下：

1.12靈長類手掌和腳掌可以握物一側人皮膚表面都有突起皮膚紋崎。紋崎有許多特征，這些特征在

胚胎形成之后是終生不變人類手指尖*紋型，大致可以分為弓、箕和斗三種類型。在手指第一節*

基部可以找到一個點，從該點紋崎向三個方向輻射，這個點稱為三叉點。弓形紋沒有三叉點，箕形紋有

一個三叉點,斗形紋有兩個三叉點，記錄從三叉點到箕或斗中心*紋崎數目稱為紋崎數（fingerridge

count,FRCX將雙手十個指尖*全部箕形紋人紋崎數和/或斗形紋兩個紋崎數中較大者相加，稱為總紋

靖數（totalfingerridgecount,TFRCI下表給出了大理白族人群總紋崎數*頻數分布⑶：

TFRC分組中值頻數

11-30202

31?50401

51-70608

71-908029

91~11010054

111~13012063

131~15014068

151~17016051

171?19018018

6/177

191~2102006

首先判斷數據的類型，然后繪出樣本頻數分布圖，計算樣本的四個特征數并描述樣本分布形態。

答：總紋脊數屬計數數據。

計數數據的頻數分布圖為柱狀圖，頻數分布圖如下：

樣本特征數（以TFRC的中值計算）SAS程序:

optionsnodate;

datatfrc;

doi=ltolO;inputy@@;

inputn@@;

doj=lton;

output;

end;

end;

cards;

202

401

608

8029

10054

12063

14068

16051

18018

2006

7/177

run;

procmeansmeanstdskewnesskurtosis;

vary;

run;

結果見下表：

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

MeanStdDevSkewness

Kurtosis

126?533333332.8366112-0.2056527

-0.0325058

從頻數分布圖可以看出，該分布的眾數在第七組，即總紋脊數的中值為140的那一組。分布不對稱，

平均數略小于眾數，有些負偏。偏斜度為-0.2056527,偏斜的程度不是很明顯，基本上還可以認為是對稱

的，峭度幾乎為零。

1.13海南粗槌葉長度的頻數分布［4］：

葉長度/mm中值頻數

。3

2.0~2.23134C93C4

2.2~2.42643

2.4~2.63546

2.6~2.8.5

2.8~3.0.795692

dr5187

3.0~3.2c.314333

H

3.2~3.4n.2767

S

3.4~3.6n51677

3.6~3.8S

.7

3.8~4.091137

nag

4.1667

物筋4.3346

4.4~4.64.5181

繪出頻數分布圖，并計算偏斜度和峭度。

答：表中第一列所給出的數值為組限，下圖為海南粗棚葉長度的頻數分布圖。

8/177

7000

計算偏斜度和峭度的SAS程序和計算結果如下:

optionsnodate;

datalength;

doi=ltol3;inputy@@;

inputn@@;

doj=lton;

output;

end;

end;

cards;

2.1390

2.31434

2.52643

2.73546

2.95692

3.15187

3.34333

3.52767

3.71677

3.91137

4.1667

4.3346

4.5181

run;

procmeansnskewnesskurtosis;

vary;

run;

9/177

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

nSkewness

Kurtosis

300000.4106458

0.0587006

樣本含量n=30000,是一個很大的樣本，樣本的偏斜度和峭度都己經很可靠了。偏斜度為0.41,有一

個明顯的正偏。

1.14馬邊河貝氏高原縱繁殖群體體重分布如下⑸：

體質量/g中值雌魚雄魚

2.00-3.002.501

3.00-4.003506

4.00-5.004.501311

5.00~6.005.503025

6.00-7.006.502525

7.00-8.007.501623

8.00-9.008.502117

9.00~10.0

09.501816

10.00-11.0

010.50124

11.00-12.0

11.503

0

12.00-13.012.502

0

首先判斷數據的類型，然后分別繪制雌魚和雄魚的頻數分布圖，計算樣本平均數、標準差、偏斜度和峭

度并比較兩者的變異程度。

答：魚的體重為度量數據，表中第一列所給出的數值為組限。在下面的分布圖中雌魚和雄魚的分布

繪在了同一張圖上，以不同的顏色表示。

10/177

計算統計量的SAS程序與前面的例題類似，這里不再給出，只給出結果。

雌魚：

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

NMeanStdDevSkewness

Kurtosis

147^'"7：24149662.1456820""■■0：2318337

-0.6758677

雄魚：_________________________________________________________

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

NMeanStdDevSkewness

Kurtosis

132-6:78030301.9233971■■---071322816

-0.5510332

直觀地看，雄魚的平均體重低于雌魚。雌魚有一正偏，雄魚有一負偏。因此，相對來說雌魚低體重者較

多，雄魚高體重者較多。但兩者都有很明顯的負峭度，說明"曲線"較平坦，兩尾翹得較高。

1.15黃胸鼠體重的頻數分布⑹：

組界/g頻數

0<3^<1510

15"43026

30”4530

45—46022

11/177

60</<7522

75<y<9017

90<^<16

105

105"W14

120

120<^<6

135

135<y<4

150

150。42

165

總數169

繪制頻數分布圖，從圖形上看分布是對稱的嗎，說明什么問題？

答：下面是頻數分布圖：

從上圖可見，圖形不是對稱的，有一些正偏。說明在該黃雄鼠群體中，低體重者分布數量，高于高體重

者的數量。另外，似乎峭度也有些低。

1.1625名患者入院后最初的白細胞數量（乂103）[7]如下表:

85

7312411687712

o11141196656

14455

計算白細胞數量的平均數、方差和標準差。

答：用means過程計算，程序不再給出，只給出運行結果。

TheSASSystem

AnalysisVariable:Y

NMeanVarianceStd

12/177

Dev

257.84b00b0""-i(I3066667

3.2103998

1.17細胞珠蛋白基因(CYGB)可能是非小細胞肺癌(NSCLC)的抑制基因之一。一個研究小組

研究了該基因的表達、啟動子甲基化和等位基因不平衡狀態等，以便發現它與腫瘤發病間的關聯。下面

列出了其中15名患者的基因表達(腫瘤患者/正常對照，T/N),腫瘤患者與正常對照甲基化指數差

(MtIT-MtIN)[8]：

樣本號T/NMtIT-MtIN

357

3700.0140.419

3670.0190.017

3160.0350.105

0.0440.333

369

0.0540.170

358

3030.0840.246

3140.1110.242

3080.1350.364

0.2360.051

31O

0.2530.520

341

3480.2640.200

3230.3150.103

3600.3590.167

0.4220.176

3360.4420.037

計算以上兩項指標的平均數和標準差并計算兩者的變異系數，這兩個變異系數可以比較嗎？為什么?

答：記T/N為乙，Mt1T-Mt%為乙，用means過程計算，SAS運行的結果見下表：

TheSASSystem

VariableNMeanStdDev

CV

Y1-----------IT-P.I85g00U---PH505624

81.0346471

Y2150.21000000.1465274

69.7749634

兩個變異系數是可以比較的，因為它們的標準差都是用平均數標準化了的，己經不存在不同

單位的影響了。

13/177

第二章概率和概率分布

2.1做這樣一個試驗，取一枚五分硬幣，將圖案面稱為A,文字面稱為B。上拋硬幣，觀察落下后

是A向上還是B向上。重復10次為一組，記下A向上的次數，共做10組。再以100次為一組，1000

次為一組，各做10組，分別統計出A的頻率，驗證2.1.3的內容。

答：在這里用二項分布隨機數模擬一個抽樣試驗，與同學們所做的抽樣試驗并不沖突。以變量Y表

示圖向上的次數,n表示重復的次數，m表示組數，每次落下后圖向上的概率①二1/2。SAS程序如下,

該程序應運行次，第一次,第二次第三次

3n=10n=100,n=1000o

optionsnodate;

datavalue;

n=10;

m=10;

phi=1/2;

doi=ltom;

retainseed3053177;

doj=lton;

y=ranbin(seed,n,phi);

output;

end;

end;

datadisv;

setvalue;

byi;

iffirst.ithensumy=0;

sumy+y;

meany=sumy/n;

py=meany/n;

iflast.ithenoutput;

keepnmphimeanypy;

run;

procprint;

title'binomialdistribution:n=10m=10';

run;

14/177

procmeansmean;

varmeanypy;

title'binomialdistribution:n=10m=10';

run;

以下的三個表是程序運行的結果。表的第一部分為每一個組之Y的平均結果，包括平均的頻數和平

均的頻率，共10組。表的第二部分為10組數據的平均數。從結果中可以看出，隨著樣本含量的加大，

樣本的頻率圍繞0.5做平均幅度越來越小的波動，最后穩定于0.5o

binomialdistribution:n=10m=10

OBSNMPHIMEANY

PY

110100.55.7

0.57

210100.54.5

0.45

310100.55.1

0.51

410100.56.1

0.61

510100.56.1

0.61

610100.54.3

0.43

710100.55.6

0.56

810100.54.7

0.47

910100.55.2

0.52

1010100.55.6

0.56

binomialdistribution:n=10m=10

VariableMean

MEANY5.2900000

PY0.5290000

binomialdistribution:n=100m=10

OBSNMPHIMEANY

PY

0.49711100100.549.71

2100100.549.58

0.4958

0.50373100100.550.37

0.50114100100.550.11

0.49705100100.549.70

0.50046100100.550.04

7inninnR4Q?n

15/177

0.4920

8100100.549.74

0.4974

9100100.549.37

0.4937

10100100.549.86

0.4986

binomialdistribution:n=100m=10

VariableMean

MEANY49.7680000

PY0.4976800

binomialdistribution:n=1000m=10

OBSNMPHIMEANY

PY

11000100.5499.278

0.49928

21000100.5499.679

0.49968

31000100.5499.108

0.49911

41000100.5500.046

0.50005

51000100.5499.817

0.49982

61000100.5499.236

0.49924

71000100.5499.531

0.49953

81000100.5499.936

0.49994

91000100.5500.011

0.50001

101000100.5500.304

0.50030

binomialdistribution:n=1000m=10

VariableMean

MEANY499.6946000

PY0.4996946

2.2每個人的一對第1號染色體分別來自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X染色體來自外

祖父的概率是多少？來自祖父的概率呢？

答：(1)設A為一對第1號染脩體分用來即且母和外祖母的事件，則

P(A)=11111

XXX=

(2)設B為男性的殺錯比本條自格且受的事件，則

X=

(3)設C為男性的X染色體莪自冤父的事件，則

16/177

p(c)=0

2.3假如父母的基因型分別為Li和Li。他們的兩個孩子都是A型血的概率是多少？他們生兩個0

型血女孩的概率是多少？

答.父.P/A配子二PG配子）

母.。/唯子）=「：配子）=；

Ci）M兩名A型血子女）=P*型平2（?普血）

—

_1

=布

（2）X）JM戶P（）

兩名O型血女兒￡-0型血2O型血

=_?（/-/）!?（//）

22

=LPG）PG）1-

22

川

1

=G4

2.4白化病是一種隱性遺傳病，當隱性基因純合時（aa）即發病。己知雜合子（Aa）在群體中的

頻率為1/70,問一對夫妻生出一名白化病患兒的概率是多少?假如妻子是白化病患者，她生出白化病

患兒的概率又是多少？

P（/Q）二」P^aaAaxAQ）J

答：（1）已知7014

所以

PG1QX4Q旦手名QG）

=P（AaxAa）pQa^AaxAa）

=P（Aa）P（Aa）P^aa^axAa^

1

19600

17/177

P（Aa）=1P（QO|QQxAQ）=J_

(2)已知70

所以

F\aaxAQ等一名QQ）

=P^aaxAa）p^aa^iaxAa）

=P（QQ）PG1Q）P（QC|aaxAQ）

=（

1

140

2.5在圖2-3中J4為Aa個體，a在群體中的頻率極低，可排除a多于一次進入該系譜的可能

性，問亦為a的攜帶者的概率是多少？

9TQ9T99TO

答：設：事件A：nil含a,

OTO事件B：%含a,

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