第1頁（共1頁）2024-2025學年湖北省武漢市洪山區九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標，它（）A．是軸對稱圖形 B．是中心對稱圖形 C．既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形 D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形2．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．明天是晴天 B．地球自西向東自轉 C．籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D．擲一枚硬幣，正面朝上3．（3分）解一元二次方程x2+6x+9＝0，配方后正確的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝184．（3分）在平面直角坐標系中，以（2，1）為圓心，1為半徑的圓與坐標軸的位置關系（）A．與x軸相切 B．與x軸相離 C．與y軸相切 D．與y軸相交5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則x1x2+x1+x2的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．（3分）為了促進經濟發展，從2024年2月20日至2024年10月21日，國家對貸款市場報價利率（LPR），5年期以上LPR從3.95%降到了3.60%，設5年期以上LPR平均每次下調的百分率為x，所列方程正確的是（）A．3.95%x2＝3.60% B．3.95%（1﹣x）2＝3.60% C．3.95%﹣x＝3.60%+x D．3.95%（1﹣2x）＝3.60%7．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝﹣x2﹣2x向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的拋物線頂點坐標為（）A．（0，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）8．（3分）把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按照同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，求這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，已知點M是△ABC的內心，A1、B1、C1分別是點M關于BC、CA、AB的對稱點，點B在△A1B1C1的外接圓上，且點A在B1C1邊上，若△A1B1C1的外接圓半徑為2，則BC長為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，點F是矩形ABCD內部一個動點，E為AF上一點且，AB＝AF＝8時，則BE+CF的最小值為（）A．10 B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上．11．（3分）在平面直角坐標系中，點P（﹣4，5）關于原點對稱點P′的坐標是．12．（3分）某射擊運動員在同一條件下射擊成績記錄如下：射擊次數10501002004001000“射中9環以上”的次數64379156326803“射中9環以上”的頻率0.600.860.790.780.8150.803由表，估計這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率為．（結果保留小數點后兩位）．13．（3分）用一個圓心角為180°的扇形做一個圓錐的側面，此時圓錐的底面圓半徑為3，則這個圓錐的母線長為．14．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AED，若點B，D，AB＝BD，則∠C的度數為．15．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的正半軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C．對稱軸為直線x＝2，下列結論：①4a+b＝0；②4a＞c2+bx+c＞x+c，則0＜x＜﹣c；④若點E（x1，y1）、點F（x2，y2）在該二次函數圖象上，當x1+x2＞4且x1＜x2時，則y1＞y2．其中正確的結論是．（填寫正確結論的序號）16．（3分）如圖，邊長為3的正方形的頂點A、B在半徑為3的圓上，頂點C、D在圓內，當點B再一次落在圓上時，點B運動的路徑長為．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程．17．（8分）關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一個根是x＝6，求m的值及方程的另一個根．18．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C'，使得CC'∥AB19．（8分）一個不透明的盒子里裝有2個黑球，5個白球和1個紅球．它們除顏色不同外其余都相同．（1）若從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率是；（2）將盒子中的白球取出4個后，利用剩下的球小張和小王進行摸球游戲．他們約定：先摸出1個球后放回，再摸出1個球，則小張勝，否則小王勝20．（8分）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓上一點，過C作圓O的切線CP交OE延長線于點P，OP交圓O于點D．連接PB．（1）證明：PB為圓O的切線；（2）過點D作DH⊥AB，DH交AB于H，DH交CB于F，CF＝8，求圓O的半徑．21．（8分）如圖，是由邊長為1的小正方形組成的8×5的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，B，C．僅用無刻度的直尺在給定網格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，按步驟完成下列問題．（1）在圖1中畫圓心O，并過點B作圓O的切線BE；（2）在圖2中作∠BCA的角平分線CD，與圓O交于點D；（3）在圖2中，作弦DF，使DF⊥BC．22．（10分）【問題背景】洪山區某校開展綜合與實踐活動．同學們發現在相同玻璃水杯內加入不同高度的水量，用筷子敲擊玻璃水杯會發出不同音調．【實驗操作】由于頻率不同則音調不同，因此同學們用頻率儀作測量實驗，獲得如下水量高度與頻率數據對照表．水量高度mm7142235455564728092101113136頻率HZ13811366136513621347131112741227117310911021945741【建立模型】用x表示對應的水量高度，用y表示頻率，同學們運用信息技術描出數據散點圖并發現可用二次函數任務1當水量高度為10mm時，計算頻率值為HZ．任務2若要敲擊出高音3，玻璃水杯水量高度為多少mm？（結果保留整數）（C調音符與頻率對照表：低音3﹣330HZ，高音3﹣1318HZ，其他參考數據：452＝2025，，）【反思優化】同學們通過觀察如圖，發現第十一組數據（101，1021）與利用二次函數（101，y），減少偏差．通過查閱資料后知道：可將水量高度101mm對應的頻率值進行n次測量，得到n個結果y1，y2…yn，再計算n個結果與y之差的平方和，記為w，w越小任務3當偏差w最小時，說明y與y1，y2…，yn之間關系，并闡述理由．23．（10分）（1）【提出問題】數學課上，老師提出問題：如圖1，在等腰Rt△ABC中，點E在BC邊上，以CE為邊作正方形CEFD，連接BF，點P為線段BF的中點，EP．以點P為對稱中心，畫出△PEF關于點P對稱的圖形；（2）【類比探究】在等邊△ABC中，D、E分別是AC、BC邊上一點，且CD＝CE，再將菱形CEFD繞C點順時針旋轉一定角度后得到新的菱形CE'F'D如圖2，連接BF'，連接AP、PE'，判斷AP與PE′的位置及大小關系；（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若AC＝4，菱形CEFD在旋轉過程中，當AP最小時△ABP的值．24．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）過A（6，0），B（0，2），D（4，2）三點（1）求拋物線的對稱軸方程；（2）如圖1，點C為拋物線對稱軸與x軸的交點，連接BC，P為直線BC下方拋物線上的點，連接DH、HP，求P點坐標；（3）如圖2，點M為第一象限內拋物線上一點，過點M的直線y＝mx+n（n＞0），連接FM、FN，分別交y軸于點D、E，求證：直線MN恒經過一定點，并求出定點坐標．

2024-2025學年湖北省武漢市洪山區九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案DBAACBDCDC一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1．（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標，它（）A．是軸對稱圖形 B．是中心對稱圖形 C．既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形 D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形【解答】解：該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故選：D．2．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．明天是晴天 B．地球自西向東自轉 C．籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D．擲一枚硬幣，正面朝上【解答】解：A、明天是晴天是隨機事件；B、地球自西向東自轉是必然事件；C、籃球隊員在罰球線投籃一次，不符合題意；D、擲一枚硬幣，不符合題意；故選：B．3．（3分）解一元二次方程x2+6x+9＝0，配方后正確的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝18【解答】解：由題知，x2+6x+5＝0，（x+3）8＝0．故選：A．4．（3分）在平面直角坐標系中，以（2，1）為圓心，1為半徑的圓與坐標軸的位置關系（）A．與x軸相切 B．與x軸相離 C．與y軸相切 D．與y軸相交【解答】解：∵點（2，1）到x軸的距離為3，∴d＝r，∴點（2，1）為圓心，故選：A．5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則x1x2+x1+x2的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝5的兩個根，∴x1x2＝﹣2，x1+x2＝8，∴x1x2+x3+x2＝1．故選：C．6．（3分）為了促進經濟發展，從2024年2月20日至2024年10月21日，國家對貸款市場報價利率（LPR），5年期以上LPR從3.95%降到了3.60%，設5年期以上LPR平均每次下調的百分率為x，所列方程正確的是（）A．3.95%x2＝3.60% B．3.95%（1﹣x）2＝3.60% C．3.95%﹣x＝3.60%+x D．3.95%（1﹣2x）＝3.60%【解答】解：根據題意得：3.95%（1﹣x）4＝3.60%．故選：B．7．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝﹣x2﹣2x向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的拋物線頂點坐標為（）A．（0，0） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣2，2）【解答】解：y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+5）2+1，即拋物線的頂點坐標為（﹣6，把點（﹣1，1）向左平移一個單位長度，5）．故選：D．8．（3分）把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片，都按照同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，求這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：三張圖片上、中、下三段分邊表示為A、a、1；B、b、2；C、c、3．畫樹狀圖為：共有27種等可能的結果，其中這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的結果數為3，所以這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率＝＝．故選：C．9．（3分）如圖，已知點M是△ABC的內心，A1、B1、C1分別是點M關于BC、CA、AB的對稱點，點B在△A1B1C1的外接圓上，且點A在B1C1邊上，若△A1B1C1的外接圓半徑為2，則BC長為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接BM，設MA1與CB交于點G，MB1與AC交于點H，MC3與AB交于點K，∵△A1B1C2的外接圓半徑為2，且點B也在△A1B3C1的外接圓上，∴MA1＝MB5＝MC1＝MB＝2，∵A6、B1、C1分別是點M關于BC、CA，∴MK＝KC4＝1，MG＝GA1＝4，MH＝HB1＝1，∴△MKA、△C5KA、△MHA1HA都是等腰直角三角形，∴∠B1MC5＝45°+45°＝90°，∵∠MKA＝∠MHA＝90°，且MK＝MH，∴四邊形MKAH是正方形，∴∠BAC＝90°，AK＝1，在Rt△BMK中，BM＝2MK，∴∠MBK＝30°，BK＝＝，同理∠MBG＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝30°，∵AB＝BK+AK＝，∴BC＝2AB＝2；故選：D．10．（3分）如圖，點F是矩形ABCD內部一個動點，E為AF上一點且，AB＝AF＝8時，則BE+CF的最小值為（）A．10 B． C． D．【解答】解：如圖，在AB上截取AG＝AE，CG，在△ABE和△AFG中，，∴△ABE≌△AFG（SAS），∴BE＝GF，∴BE+CF＝GF+CF≥CG，當且僅當C、F，∵AB＝AF＝8，且，∴AE＝AG＝2，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵四邊形ABCD是矩形，AD＝6，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，在Rt△BCG中，CG＝，即BE+CF＝GF+CF≥CG＝2，∴BE+CF的最小值為2，故選：C．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上．11．（3分）在平面直角坐標系中，點P（﹣4，5）關于原點對稱點P′的坐標是（4，﹣5）．【解答】解：點P（﹣4，5）關于原點對稱點P′的坐標是（2．故答案為：（4，﹣5）．12．（3分）某射擊運動員在同一條件下射擊成績記錄如下：射擊次數10501002004001000“射中9環以上”的次數64379156326803“射中9環以上”的頻率0.600.860.790.780.8150.803由表，估計這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率為0.80．（結果保留小數點后兩位）．【解答】解：根據表格數據可知：根據頻率穩定在0.80，估計這名運動員射擊一次時“射中9環以上”的概率是3.80．故答案為：0.80．13．（3分）用一個圓心角為180°的扇形做一個圓錐的側面，此時圓錐的底面圓半徑為3，則這個圓錐的母線長為1．【解答】解：設圓錐底面的半徑為r，根據題意得2πr＝，解得：r＝8．故答案為：1．14．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AED，若點B，D，AB＝BD，則∠C的度數為115．【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝45°，又∵AB＝BD，∴∠BDA＝＝65°，∴∠ADE＝180°﹣65°＝115°，∴∠C＝115°，故答案為：115°．15．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的正半軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C．對稱軸為直線x＝2，下列結論：①4a+b＝0；②4a＞c2+bx+c＞x+c，則0＜x＜﹣c；④若點E（x1，y1）、點F（x2，y2）在該二次函數圖象上，當x1+x2＞4且x1＜x2時，則y1＞y2．其中正確的結論是①③④．（填寫正確結論的序號）【解答】解：∵對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝4，∴b＝﹣4a＞0，∴7a+b＝0，故①正確；∵x＝2時，y＞7，∴4a+2b+c＞5，∵b＝﹣4a，∴﹣4a+c＞3，∴c＞4a，故②錯誤；∵OA＝OC，C（0，∴OA＝OC＝﹣c，∴A（﹣c，2），∵直線y＝x+c與x軸的交點為（﹣c，0），∴直線y＝x+c過A，C兩點，觀察圖象，若ax2+bx+c＞x+c，則3＜x＜﹣c；由題意可知點E（x1，y1）到對稱軸的距離小于點F（x8，y2）到對稱軸的距離，∵拋物線開口向下，∴y1＞y5．故④正確；故答案為：①③④．16．（3分）如圖，邊長為3的正方形的頂點A、B在半徑為3的圓上，頂點C、D在圓內，當點B再一次落在圓上時，點B運動的路徑長為．【解答】解：如圖，設圓心為O，連接OA，OD1，∴OA＝OB＝AB＝AD1＝OD8，∴△AOB和△AOD1是等邊三角形，∴∠OAB＝∠OAD1＝60°，∴∠BAD8＝120°，∴∠BAB1＝∠BAD1﹣∠B7AD1＝30°，∴弧BB1的長＝弧B6B3的長＝＝，弧B1B2的長＝＝π．∴點B運動的路徑長為：，故答案為：，三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程．17．（8分）關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一個根是x＝6，求m的值及方程的另一個根．【解答】解：把x＝6代入x2﹣2x+m＝0得：36﹣24+m＝0，解得：m＝﹣12，設方程另一根為x＝t，根據根與系數的關系可得：3+t＝4，解得：t＝﹣2，即方程的另一個根為﹣8．18．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C'，使得CC'∥AB【解答】解：∵將△ABC繞點A旋轉到△AB'C'，∴AC＝AC'，∴∠ACC'＝∠AC'C，又∵CC'∥AB，∴∠ACC'＝∠CAB＝70°，∴∠AC'C＝70°，∴∠CAC'＝180°﹣2×70°＝40°．19．（8分）一個不透明的盒子里裝有2個黑球，5個白球和1個紅球．它們除顏色不同外其余都相同．（1）若從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率是；（2）將盒子中的白球取出4個后，利用剩下的球小張和小王進行摸球游戲．他們約定：先摸出1個球后放回，再摸出1個球，則小張勝，否則小王勝【解答】解：（1）從中任意摸出1個球，摸出黑球的概率＝＝；故答案為：；（2）該游戲不公平．理由如下：畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果，其中兩個球中有紅球的結果數為7，小王勝的概率＝3﹣＝，因為＜，所以該游戲不公平．20．（8分）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓上一點，過C作圓O的切線CP交OE延長線于點P，OP交圓O于點D．連接PB．（1）證明：PB為圓O的切線；（2）過點D作DH⊥AB，DH交AB于H，DH交CB于F，CF＝8，求圓O的半徑．【解答】（1）證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵E為弦BC的中點，∴OE⊥BC，∵OE垂直平分BC，點P在OE的延長線上，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵CP與⊙O相切于點C，∴CP⊥OC，∴∠OBP＝∠OBC+∠PBC＝∠OCB+∠PCB＝∠OCP＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴PB為⊙O的切線．（2）解：∵OE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，∴∠OEB＝∠OHD＝90°，∵∠EOB＝∠HOD，OB＝OD，∴△EOB≌△HOD（AAS），∴OE＝OH，∴OB﹣OH＝OD﹣OE，∴BH＝DE，∵∠BHF＝∠DEF＝90°，∠BFH＝∠DFE，∴△BFH≌△DFE（AAS），∴BF＝DF＝4，∵CF＝8，∴BC＝CF+BF＝7+4＝12，∴BE＝CE＝BC＝6，∴EF＝BE﹣BF＝6﹣5＝2，∴DE＝＝＝2，∵OE2+BE2＝OB3，且OE＝OD﹣DE＝OB﹣2，∴（OB﹣4）2+32＝OB2，解得OB＝8，∴⊙O的半徑長為4．21．（8分）如圖，是由邊長為1的小正方形組成的8×5的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，B，C．僅用無刻度的直尺在給定網格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，按步驟完成下列問題．（1）在圖1中畫圓心O，并過點B作圓O的切線BE；（2）在圖2中作∠BCA的角平分線CD，與圓O交于點D；（3）在圖2中，作弦DF，使DF⊥BC．【解答】解：（1）如圖1，①連接格點A，B及格點C，G，②連接格點BE，則BE是⊙O的切線；（2）如圖2，連接格點C，H，交⊙于點D；（3）①連接格點A，M，交⊙O于點F，②連接DF，則DF⊥BC．22．（10分）【問題背景】洪山區某校開展綜合與實踐活動．同學們發現在相同玻璃水杯內加入不同高度的水量，用筷子敲擊玻璃水杯會發出不同音調．【實驗操作】由于頻率不同則音調不同，因此同學們用頻率儀作測量實驗，獲得如下水量高度與頻率數據對照表．水量高度mm7142235455564728092101113136頻率HZ13811366136513621347131112741227117310911021945741【建立模型】用x表示對應的水量高度，用y表示頻率，同學們運用信息技術描出數據散點圖并發現可用二次函數任務1當水量高度為10mm時，計算頻率值為1379HZ．任務2若要敲擊出高音3，玻璃水杯水量高度為多少mm？（結果保留整數）（C調音符與頻率對照表：低音3﹣330HZ，高音3﹣1318HZ，其他參考數據：452＝2025，，）【反思優化】同學們通過觀察如圖，發現第十一組數據（101，1021）與利用二次函數（101，y），減少偏差．通過查閱資料后知道：可將水量高度101mm對應的頻率值進行n次測量，得到n個結果y1，y2…yn，再計算n個結果與y之差的平方和，記為w，w越小任務3當偏差w最小時，說明y與y1，y2…，yn之間關系，并闡述理由．【解答】解：任務1．當x＝10時，y＝﹣0.04×104+0.9×10+1374＝1379．故答案為：1379；任務5．要敲擊出高音3，y＝1318HZ，∴1318＝﹣0.04x3+0.9x+1374，整理得：4x2﹣90x﹣5600＝0，5x2﹣45x﹣2800＝0，x8＝＝≈＝≈50，x2＝＜0，舍去）．答：玻璃水杯水量高度約為50mm；任務3．w＝（y8﹣y）2+（y2﹣y）3+（y3﹣y）2++（yn﹣y）4＝ny2﹣2（y6+y2+y3+...+yn）y++++，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線y＝﹣＝，∴當偏差w最小時，y＝，23．（10分）（1）【提出問題】數學課上，老師提出問題：如圖1，在等腰Rt△ABC中，點E在BC邊上，以CE為邊作正方形CEFD，連接BF，點P為線段BF的中點，EP．以點P為對稱中心，畫出△PEF關于點P對稱的圖形AP⊥PE，AP＝PE；（2）【類比探究】在等邊△ABC中，D、E分別是AC、BC邊上一點，且CD＝CE，再將菱形CEFD繞C點順時針旋轉一定角度后得到新的菱形CE'F'D如圖2，連接BF'，連接AP、PE'，判斷AP與PE′的位置及大小關系；（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若AC＝4，菱形CEFD在旋轉過程中，當AP最小時△ABP的值．【解答】解：（1）如圖1，延長EP至G，連接BG，則△PGB與△PEF關于點P對稱，△PGB即為所求作的圖形．∵四邊形CDFE是正方形，∴∠CEF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣90°＝90°，∵點P為線段BF的中點，∴PE＝BP＝PF，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠APF＝∠PAB+∠PBA＝2∠PBA，∵∠BAC＝90°，點P為線段BF的中點，∴AP＝BP＝PF，∴∠PEB＝∠PBE，AP＝PE，∴∠EPF＝∠PEB+∠PBE＝6∠PBE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠APE＝∠APF+∠EPF＝2∠PBA+2∠PBE＝6（∠PBA+∠PBE）＝2∠ABC＝90°，∴AP⊥PE，故答案為：AP⊥PE，AP＝PE；（2）結論：AP⊥PE′，AP＝；證明如下：如圖6，作△PE′F′關于點P成中心對稱的△PQB、AE，則PQ＝PE′，PB＝PF′，∴△PBQ≌△PF′E′（SAS），∴BQ＝F′E′，∠PBQ＝∠PF′E′，∴BQ∥E′F′，∵四邊形CE′F′D′是菱形，∠D′CE′＝60°，∴CD′∥E′F′，CD′＝E′F′＝CE′，∴CD′∥BQ，∴∠T＝∠D′CE′＝60°，∴∠TBC+∠TCB＝120，即∠ABQ+∠ABC+∠TCB＝120°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠TCB+∠ACE′＝120°，∴∠ABQ＝∠ACE′，∴△ABQ≌△ACE′（SAS），∴AQ＝AE′，∠BAQ＝∠CAE′，∴∠QAE′＝∠BAQ+∠BAE′＝∠CAE′+∠BAE′＝∠BAC＝60°，∴△AQE′是等邊三角形，∴AE′＝QE′＝2PE′，∵PQ＝PE′，∴AP⊥PE