考慮多組份材料的構成，組分之間的相互作用用什么樣的增強相、基體及復合工藝，獲得的復合材料的性能如何？材料性能如何隨材料組份含量變化而變化？微觀力學:研究材料性能時,詳細地研究組分材料的相互作用,并作為確定不均勻復合材料性能的一部分宏觀力學:假定材料是均勻的,組分材料的影響僅作為復合材料的平均“表觀”性能來考慮如何預測復合材料性能的知識，對制造具有一定表觀或宏觀性能的復合材料來說是基本的引言第2頁/共132頁引言用實驗方法系統測定各種復合材料的宏觀彈性特性和微觀力學性能的關系涉及參數太多，費用巨大復合材料性能不穩定和試驗誤差，使試驗結果較為分散單用試驗手段很難獲得全面的、系統的和有良好規律的結果，需要有理論配合微觀力學研究改進復合材料宏觀特性減少試驗工作量反向推算復合材料中纖維和基體的平均特性第3頁/共132頁引言簡單層板的性能實驗確定由組分材料的性能用數學方法求得微觀力學方法來預測材料力學方法：對力學系統假設性能進行大量簡化彈性力學方法：極值原理/精確解/近似解從設計的觀點來看微觀力學是宏觀力學的助手局限性纖維和基體之間理想的粘接假設需要詳細的實驗驗證第4頁/共132頁引言目的用組分材料的彈性模量來確定復合材料的彈性模量用組份材料的強度研究復合材料的強度體積份數纖維（fibres）：Vf=纖維體積/復合材料總體積基體（matrix）：Vm=基體體積/復合材料總體積第5頁/共132頁引言Thevoidfraction第6頁/共132頁引言Silver–CopperAlloyreinforcedwithCarbonFibers.InBorsicfiber-reinforcedaluminum,thefibersarecomposedofathicklayerofborondepositedonasmall–diametertungstenfilament.第7頁/共132頁引言Typicalcompositecross-sectionmicrographThedistributionoffibresisunhomogeneous.Inordertobuildmicromechanicalmodels,simplifyingassumptionsaremadeonthepackingoffibres.Themostsimplepackingisthesquarepackingasshown第8頁/共132頁引言Itisfairlystraightforwardtofindanexpressionbetweenthefibrevolumefractionvfofsuchasquarepacking,thefibrediameterd,andthedistancebetweenfibres：第9頁/共132頁引言ThefibrevolumefractionTriangularpackingoffibres第10頁/共132頁引言Maximumpackingisobtainedinbothpackingmodelsford=s

.Itgivesinthecaseofsquarepackingvf-max=0.79,andforthetriangularpacking0.91第11頁/共132頁引言第12頁/共132頁引言Inthepractice,fibrevolumefractionforcompositebasedonunidirectionallayerscanbefoundintherange0.5to0.8AnotherremarkconcernsthevoidcontentTypicalautoclave(pressure+vacuum)curedcompositeproductshavevoidscontentvaryingfrom0.1to1%Pressurebag(novacuum)curedcompositescanhavevoidscontentintheorderof5%第13頁/共132頁MechanicsofmaterialapproachAblockofcompositecontainingfibreandmatrixissimplifiedtoblockcontainingtwovolumes.Thesetwovolumesareconnectedtogetherandrepresentthematrix(m)andthefibre(f)withtheirrespectivepropertiesandvolumefractionsAnelasticitymodulusisthenobtainedbyperformingasimpleexperiment,wherethetworepresentativevolumesaresubjectedtoanaveragestress.Poissoneffectareneglected第14頁/共132頁MechanicsofmaterialapproachBasicexperimentforthetransversemodulus(Reussmodel)Basicexperimentforthelongitudinalmodulus(Voigt’smodel)第15頁/共132頁引言簡單層板假設宏觀均勻線彈性宏觀地正交各向異性無初應力纖維假設均勻性線彈性各向同性規則地排列完全成一直線基體假設均勻性線彈性各向同性界面假設理想粘結，穿過界面無應變間斷粘結不理想，其性能低于由微觀分析得到的結果第16頁/共132頁微觀力學方法的基礎——代表性體積單元代表性體積單元：材料的最小范圍或小塊，分布于其上的應力和應變是宏觀上均勻的，能夠完全表征材料的所有特征從微觀的角度上，由于材料的不均勻性，應力和應變是不均勻的，體積尺度是很重要的一般來說，在一個代表性體積單元中只有一個纖維，但也可能需要多于一根纖維（復合定義的內涵）單向復合材料簡單層板中，纖維的間距是代表性體積單元的一維，另外兩維的一維是簡單層板的厚度，或當厚度大于一層纖維厚度是纖維在后讀方向的間距，第三維是任意的第17頁/共132頁微觀力學方法的基礎——體積單元第18頁/共132頁剛度的材料力學分析方法基本假設在單向纖維復合材料中，纖維和基體在纖維方向上的應變是一致的纖維

1

121LL基體基體垂直于1軸的截面在承載前是平面，在承載后仍然是平面材料力學方法中最基本的假設之一，在板、殼、梁理論分析中經常用到第19頁/共132頁纖維

1

121LL基體基體剛度的材料力學分析方法表觀彈性模量E1的確定：纖維方向表觀彈性模量混合率表達式（與試驗的吻合程度80~90%）并聯模型(iso-strain)第20頁/共132頁ExampleCalculatethecompositemodulusforpolyesterreinforcedwith60vol%E-glassunderiso-strainconditions.Epolyester=6.9x103MPaEE-glass=72.4x103MPaEc=(0.4)(6.9x103MPa)+(0.6)(72.4x103MPa)

=46.2x103MPa第21頁/共132頁剛度的材料力學分析方法纖維

221基體基體

2W串聯模型與試驗值相比，較小，由于纖維隨機排列，兼有串聯和并聯的成分(iso-stress)表觀彈性模量E2的確定：第22頁/共132頁剛度的材料力學分析方法無量綱化E2/EmEf/Em=10Ef/Em=5Ef/Em=11VfVf=1，預測的模量為纖維模量即使Ef=10Em，要提高橫向模量到基體模量的兩倍，需要50%以上的纖維體積含量（理想粘接）第23頁/共132頁剛度的材料力學分析方法假設的不完善性：在纖維和基體界面上的橫向應變是不一致的—與實驗不符垂直于纖維和基體邊界上的位移完全一致將形成精確解-彈性力學解法纖維和基體的泊松比不同，在纖維和基體中出現了縱向應力以及在纖維和基體界面出現了剪應力纖維

221基體基體

2W第24頁/共132頁剛度的材料力學分析方法纖維

1W21LL基體基體W/2E1混合率表達式表觀泊松比

12的確定：第25頁/共132頁剛度的材料力學分析方法纖維

21基體基體W

f

m/2表觀剪切模量G的確定：假設纖維和基體中的剪應力相等E2第26頁/共132頁ExampleCarbonreinforcedpolyetherimide(PEI，聚醚)基體質量分數mm=41.4%，纖維體積分數Vf=51%面內性能測試和預報第27頁/共132頁Example混合律獲得縱向彈性模量E1=109GPa第28頁/共132頁Example第29頁/共132頁考慮材料處于二向應力狀態時E2的確定簡化假設沿纖維方向，纖維與基體的變形相等纖維與基體承受著同一橫向應力利用兩向應力狀態下的應力應變關系（胡克定律），忽略纖維和基體界面上的剪應力，得出第30頁/共132頁考慮材料處于二向應力狀態時E2的確定對某些復合材料有對E2修正不明顯第31頁/共132頁考慮材料處于二向應力狀態時E2的確定對碳/環氧復合材料，由于碳纖維很細，一般不用單絲而用加捻的纖維束，歐克凡爾（J.C.Ekvall）考慮了由于纖維約束引起在基體中的三向應力狀態而得到了如下的混合率表達式加捻的纖維束增強了基體第32頁/共132頁圓形截面纖維增強復合材料對E2的影響上述分析基于纖維的橫截面為方形或矩形時導出實際為圓形，對模型進行修正歐克爾采用了折算半徑的概念，令R=df/sdf為圓截面纖維的直徑，s為纖維的間距sRdf折算半徑實際上反映了纖維含量體積比Vf的影響第33頁/共132頁圓形截面纖維增強復合材料對E2的影響經過復雜的數學演算和推倒，當如果R=0，即Vf=0，全部為基體第34頁/共132頁剛度的材料力學分析方法conc.offibersE-matrixE-fiber*******UpperboundLowerbound(iso-strain)(iso-stress)Actual

Values第35頁/共132頁上下限=？第36頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法剛度估算分為材料力學、彈性力學方法不嚴密夏米斯（Chamis）和森德克（Sendeckyj）把求剛度的微觀力學方法分成許多類：網絡分析法：纖維提供所有縱向剛度，基體提供橫向剪切剛度及泊松比，比較保守，但仍有人用，纏繞復合材料材料力學法獨立模型法用能量極值原理的變分法精確解，統計法，離散單元法半經驗法和微觀結構理論彈性力學第37頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法彈性力學的極值法Paul在1960年首次提出用彈性力學的極值法來討論度多相材料彈性模量的上、下限分析合金（均勻分布和沒有優先方向），材料是各向同性的基體的性能用m表示，彌散相的性能用d表示第38頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法滿足上述條件最簡單的關系是：時，混合律得出復合材料模量的上限假設復合材料組分對復合材料剛度起的作用正比于它們的剛度和體積含量第39頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法

從復合材料的柔度1/E必須附和Vm=1時為基體的柔度1/Em和Vd=1時為彌散材料的柔度得到柔度混合律

由此得到的復合材料的彈性模量為下限.對于確定復合材料線彈性模量E的單向拉伸試驗中，假設應力和應變狀態是宏觀上均勻的，但在微觀范圍內，應力和應變狀態都不均勻。在單向拉伸試驗中：應變能可以寫成以下兩種形式第40頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法最小勢能原理：在所有的協調位移場中，真實位移場的勢能最小最小余能原理：在所有的許可應力場中，真實應力場的余能最小第41頁/共132頁最小余能原理：（應力）物體表面作用著力（力矩），令證明：表觀彈性模量的下限不一定滿足位移連續條件和位移邊界條件

滿足應力平衡方程和指定的邊界條件的應力場，即容許應力場，令Uo是由應力-應變關系式和應變能表達關系式得到的特定應力場下的應變能第42頁/共132頁證明：表觀彈性模量的下限應變能表達關系式由規定載荷引起的物體的實際應變能U不超過Uo對于單向載荷試件，滿足該載荷和應力平衡方程的內應力場為：第43頁/共132頁證明：表觀彈性模量的下限應變能可寫為：不是常數與材料力學求得的模量一致第44頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限最小勢能原理：（應變）物體表面作用力為零外的表面有給定的位移，令不一定滿足應力平衡方程和指定的邊界條件的應力場

是任一滿足指定位移邊界條件的相容應變場，即容許應變場第45頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限U*是由應力-應變關系式：和應變能表達關系式得出的在下的應變能，因此，由規定的位移得到的物體中的實際應變能U不超過U*第46頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限

使單軸向試件承受一個伸長

L，是平均應變，L是試件長度，相應于試件邊界上的平均應變的內應力場為：利用應力-應變關系第47頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限給定應變場下，基體的應力為：彌散材料的應力為：第48頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限代入應變能方程得到應變能表達式：第49頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限泊松比

是未知的，因此E的上限也是未知的，按最小勢能原理，應變能表達式U*必須對不確定的常數求極小值，以確定E的界限，即：時第50頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限由于基體和彌散相是各向同性的總是正值第51頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限U*相應于以泊松比為函數的最大、最小或拐點U*為絕對極小值第52頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限繁瑣第53頁/共132頁證明：表觀彈性模量的上限如果Paul的方法主要用來解決各向同性復合材料，也可以用來解釋纖維增強復合材料，與材料力學方法得到的結果相一致第54頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法第55頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法玻璃/環氧復合材料上下限差得很大Hashin（哈欣）和Shtrikman（施特里特曼）試圖縮小Paul給出的上下限，以得到不均勻各向同性材料模量更為有用的估算上限下限EEmEfVf第56頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法用同心球模型來處理不均勻材料這一材料如同在彈性基體材料中有一同心彈性球體，它與在復合材料總體積中的球形包含物的體積含量成比例此模型中雖然包含的球互不接觸，但是隨著球形部分體積百分比的增加，接觸的可能性就增大，如果不接觸，意味著球形部分完全理想排列，實際上是不現實的Hashin（哈欣）和Shtrikman（施特里特曼）試圖縮小Paul給出的上下限，以得到不均勻各向同性材料模量更為有用的估算第57頁/共132頁空隙纖維基體剛度的彈性力學分析方法哈欣和羅森推廣到纖維增強復合材料：考慮纖維的圓形截面，可以是空心或實心的規則的空心纖維六角形陣列第58頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法哈欣和羅森的纖維增強材料的幾何形狀和復合材料圓柱體模型不規則的空心纖維隨機陣列纖維方向模量可用混合率橫向模量的表達式十分復雜第59頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法精確解利用彈性力學知識，求出精確解是十分復雜而困難的，但可以用其結果來比較材料力學方法的正確性多用圣維南半逆解法來解決很大程度上取決于復合材料的幾何形狀、排列和纖維、基體的特性第60頁/共132頁300剛度的彈性力學分析方法六角形陣列和代表性體積單元矩形截面纖維的交錯式正方形陣列和代表性體積單元第61頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法圓形截面纖維正方形陣列和代表性體積單元圓形截面纖維交錯式正方形陣列和代表性體積單元第62頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法Adams和Tsai研究了兩種陣列正方形隨機陣列六角形隨機陣列六角形隨機陣列比正方形隨機陣列的分析結果與實驗更符合，這一情況同非隨機陣列中正方形陣列比真實的六角形陣列更符合試驗結果相比更能令人滿意）有重復的單元，不是真正的隨機第63頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法獨立模型—精確解方法之一將一個單一的空心纖維插在基體材料的同心圓柱中，僅研究一個插入物復合材料圓柱體的插入物的體積含量和復合材料中全部纖維的體積含量是相同的，與纖維的具體陣列無關Whitney-Riley數學模型第64頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法略去第65頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法第66頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法Ef=410.19GPaf=0.2Em=4.11GPam=0.35VfE1E2G12%實驗預測差值%實驗預測差值實驗預測差值2080.7186.26.8455207.51229.577.8060246.14249.581.421.3821.280.6565244.77270.2610.4123.4424.524.4170237.91290.9623.326.7729.038.2512.167.5538.47533.8334.522.0416.778.6348.5硼/環氧復合材料預報分析時沒有考慮到RVE之間的相互作用，這個缺陷對G12特別敏感第67頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法實際纖維陣列示意圖隨機陣列、纖維相互接觸和不接觸都有C=0孤立的纖維和樹脂接觸C=1孤立的基體纖維接觸所有纖維彼此完全分開時的解和彼此接觸的解的線性組合提供更為準確的模量第68頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法

考慮纖維接觸的彈性力學方法，Tsai得到了垂直于纖維的模量第69頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法接觸系數C是用于判定實驗數據和理論預測之間的對比關系的所謂的“造因子”，只在實驗數據落在理論界限之內才有用，其概念在某種程度上表達了復合材料的一相對另一相的連續性，拉伸比壓縮的影響要大得多第70頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法修正的混合律K:纖維不同線系數0.9~1由實驗確定并取決于制造過程

實際制造中，纖維本身不是筆直的，對纖維方向的模量，TSai考慮到纖維的非直線性影響，對混合律進行了修正第71頁/共132頁RandomFibresEc=KEfVf+EmVmwhereefficiencyfactorK~0.1to0.6第72頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法哈爾平-蔡方程（Halpin-Tsai）：近似表達比較復雜的微觀力學結果的內插法很簡單容易設計能概括雖說是有限的但是比較精確的微觀力學結果有可能將各種學派統一起來確定比較困難M：模量E2、G12、

23

：與纖維幾何形狀、填實幾何形狀和載荷形狀有關的的復合材料中纖維增強作用的量度第73頁/共132頁剛度的彈性力學分析方法=0：是串聯模型，下限

=：是并聯模型，上限是纖維對復合材料增強作用的度量值較小時：纖維作用不大值較大時：纖維很有效地增強復合材料的剛度使之超過基體的剛度=1：剛性嵌入件

=0：均勻材料

=-1/：空隙

Vf：縮減的纖維體積含量：受組分材料的性能及增強因子影響第74頁/共132頁OtherCompositePropertiesIngeneral,theruleofmixtures(forupperandlowerbounds)canbeusedforanypropertyXc-thermalconductivity,density,electricalconductivity…etc.第75頁/共132頁TensileStrengthInlongitudinaldirection,thetensilestrengthisgivenbytheequationbelowifweassumethefiberswillfailbeforethematrixs*c=s’mVm+s’fVf第76頁/共132頁強度的材料

力學分析方法第77頁/共132頁強度與損傷狀態相關UndamagedDamaged第78頁/共132頁強度與損傷演化狀態第79頁/共132頁強度與損傷演化狀態吸收斷裂能很小，材料斷裂韌性差吸收斷裂能很大，材料斷裂韌性增加第80頁/共132頁強度與損傷狀態相關第81頁/共132頁強度與損傷狀態相關CrackFront(N=Nf)CrackFront(N=N1)Fiber-BridgedMatrixCrack第82頁/共132頁強度的材料力學分析方法對纖維增強復合材料強度的預報，還沒有達到研究剛度預報那樣的接近問題實質的水平強度準則：宏觀的強度預報，不是破壞模型，微觀強度分析：材料微觀破壞的機理描述材料的強度，與材料的局部性能和應力狀態有關，與材料的整體性能和整體應力狀態關系相對較小，材料的不均勻性影響較大而剛度的情況相反材料發生破壞，總是從最薄弱的環節開始，而后引起整個材料的破壞第83頁/共132頁強度的材料力學分析方法考慮因素組份材料在物理、化學、力學性能上的差別界面的粘結情況材料的本構關系不同，破壞規律也不同纖維和基體的彈性、塑性、彈塑性、粘彈性等體積分數殘余應力的大小，空隙和裂紋的大小和分布纖維在基體中的分布合排列載荷的歷史和現狀很多描述纖維增強基體材料的強度特征的有益的模型表示了對現象的實際觀察和力學描述的高度結合第84頁/共132頁強度的材料力學分析方法微觀力學研究，是用纖維、基體和界面性能特點和有關幾何描述來進行復合材料強度預報纖維增強復合材料的強度，包括各根纖維或纖維束的強度合同一根纖維在沿長度方向的強度分布，基體和界面因裂紋和缺陷帶來的影響等，都是具有隨機的性質，因此采用統計力學的方法可能會得到更好的結果纖維大多相對為脆性（承力），基體相對為韌性（保護、傳遞）相反的情況：陶瓷增韌第85頁/共132頁強度的材料力學分析方法第86頁/共132頁強度的材料力學分析方法沿纖維方向的拉伸強度單向纖維增強復合材料隨載荷增加的變形情況纖維和基體都是彈性變形纖維繼續彈性變形彈基體塑性變形纖維和基體都是塑性變形纖維斷裂繼而復合材料斷裂纖維和基體的相對脆性或韌性纖維比基體脆，是強度鏈中的弱環第87頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維基體彈性彈性塑性塑性第88頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維基體

fmax

mmax(m)fmax

fmax

mmax

等強度纖維模型凱利(Kelly)和戴維斯(Davies)：纖維有相同的強度并比基體脆若復合材料有多于某一最小纖維體積含量Vf，則纖維變形達到其相應最大應力時，復合材料達到極限強度第89頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維的最大拉伸應力基體應變等于纖維最大拉伸應變時的基體應力纖維基體

fmax

mmax(m)fmax

fmax

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如果假定在纖維方向的纖維應變等于基體應變,則復合材料的極限強度為第90頁/共132頁強度的材料力學分析方法如果纖維增強材料得到的強度大于單一基體得到的強度則纖維起增強作用而必須超過的臨界Vf值為纖維基體

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mmax(m)fmax

fmax

mmax

第91頁/共132頁強度的材料力學分析方法對于較小的纖維體積份數復合材料不可能按式子，因為可能沒有足夠的纖維來控制基體的伸長,這樣纖維受到較小載荷時將有高應變并將斷裂第92頁/共132頁強度的材料力學分析方法否則，復合材料全部破壞如果纖維在同一應變時斷裂，基體尚能承受復合材料的全部載荷，即：纖維基體

fmax

mmax(m)fmax

fmax

mmax

第93頁/共132頁強度的材料力學分析方法整個復合材料將在纖維斷裂以后破壞，實用的Vf的最小值為第94頁/共132頁強度的材料力學分析方法基體控制纖維控制假設的前提缺陷的存在需用統計理論復合材料的強度（最大復合材料應力）作為纖維體積含量的函數給出基體控制纖維控制：小于基體強度纖維控制第95頁/共132頁強度的材料力學分析方法第96頁/共132頁強度的材料力學分析方法一般來講纖維體積份數在0.4~0.7Vf太小，達不到增強基體的效果，反而因纖維的存在和斷裂消弱了基體的強度Vf太大，超過0.785后，對正方點陣排列纖維來說，彼此接觸，對隨機排列來說纖維密集，基體的粘結作用變得很差，材料脆性增大，斷裂韌性明顯下降第97頁/共132頁強度的材料力學分析方法上述分析是以等強度連續纖維在同一縱向位置斷裂為前提的但拉伸時纖維不可能都有相同的斷裂強度，也不會斷在同一個地方纖維表面缺陷是不確定的，總會有不同的斷裂強度，必須用統計理論來合理地確定復合材料的強度第98頁/共132頁強度的材料力學分析方法統計強度分布纖維羅森模型代表性體積單元由若干根纖維和一根斷裂纖維構成在加載和隨之發生的纖維斷裂時，代表性體積單元或者改變尺寸或者在一個固定體積單元尺寸內增加纖維斷裂的根數

f0

xx

纖維基體

第99頁/共132頁強度的材料力學分析方法可以推斷斷裂纖維承受著足夠高的應力,以使其在表面缺陷處開裂,斷裂纖維引起斷裂部分周圍的應力重新分布應力必須從斷裂纖維的一端通過斷裂部分傳遞到另一端

f0

xx

纖維基體

第100頁/共132頁強度的材料力學分析方法完成這一傳遞機理的是在斷裂纖維一個很小范圍的基體內產生高的剪應力由于基體傳遞剪應力的作用，縱向纖維應力從斷裂處的零增加到與復合材料中其它任意一根纖維一樣的應力，斷裂纖維周圍纖維的應力增加20%左右

f0

xx

纖維基體

第101頁/共132頁強度的材料力學分析方法復合材料的破壞分兩個途徑發生纖維周圍基體剪應力可以超過允許的基體剪應力：按在斷裂纖維之間傳遞應力的機理有高的剪應力而使纖維和基體之間的粘結發生破壞纖維斷裂實際上可橫過基體擴展到其它纖維,由此引起整個復合材料斷裂：如果纖維和基體之間的粘結很好以及基體的斷裂韌性較高,那么纖維可連續直到累計足引起整個復合材料的破壞第102頁/共132頁強度的材料力學分析方法

ref是基準應力，是纖維和基體性能的函數，本質上就是纖維的拉伸強度，但具有某種統計意義是纖維強度的weibull分布統計參數應用統計理論：Rosen得到第103頁/共132頁強度的材料力學分析方法提高拉伸強度：提高體積分數和提高纖維性能根據混合率法則第104頁/共132頁強度的材料力學分析方法Rosen統計分布混合律纖維體積含量Vf正則化復合材料強度復合材料的斷裂強度超過單一纖維的斷裂強度復合材料吸收能量的能力超過纖維吸收能量的能力有益的結論：第105頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維長度破壞應力極限載荷分數斷裂數纖維強度與纖維長度成反比達到極限載荷的一半時，纖維開始斷裂第106頁/共132頁強度的材料力學分析方法沿纖維方向的壓縮強度通過光彈試驗驗證，破壞形式主要是纖維屈曲，屈曲波長正比與纖維直徑PL2ChxyL2Ch拉伸型剪切型基體產生橫向拉壓變形，Vf較小基體產生剪切變形，Vf較大兩者之間第107頁/共132頁強度的材料力學分析方法在兩種屈曲模式中，纖維可以看成為厚度為h的板由寬度為2C的基體隔開，可以化簡為二維問題每個纖維承受著壓應力載荷PL2ChxyL2Ch拉伸型剪切型纖維的剪切剛度遠比基體的剛度高忽略纖維的剪切變形第108頁/共132頁強度的材料力學分析方法根據鐵摩辛柯（Timoshenko）和蓋爾（Gere）研究的能量方法：屈曲狀態時纖維應變能的改變加上基體應變能的改變，等于纖維上的力所做的功對屈曲形式的屈曲撓度形狀是假定的。能量法的一個重要原理：計算的屈曲載荷是真實屈曲載荷的上限。單根纖維在垂直于纖維方向屈曲時的位移用級數形式表示為：我們需要求出兩種情況屈曲載荷中最低的一個控制量，控制著復合材料中的纖維屈曲第109頁/共132頁強度的材料力學分析方法L2Chxy拉伸型根據鐵摩辛柯和蓋爾研究第110頁/共132頁強度的材料力學分析方法第111頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維屈曲波數23373839可推導光彈試驗觀測：m比較大，可以把

f看作為m的連續函數假設對特定的正弦波，第m個波時，P達到極小值f2.737.5第112頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維屈曲波數23373839而下一個m=37.5雖然也不存在，但接近真實最小值，對m=37或m=38載荷相差不大研究一假定的

fcr對m的關系，僅取m為整數值。M=2.7時所指出的屈曲載荷最低值實際上是不存在的，與m=2是偏離較大如果m較小，求

f時，應取離散的（整數）m值。f2.737.5第113頁/共132頁強度的材料力學分析方法假定基體在纖維方向上承受和纖維相同的應變假設和纖維相比，基體基本不受力第114頁/共132頁強度的材料力學分析方法剪切模型：纖維位移相等并有同樣的方向假設剪應變僅是纖維方向坐標函數橫向位移與橫向坐標y無關剪應變與y無關2Ch/2u(-c)u(c)y第115頁/共132頁強度的材料力學分析方法纖維剪應變可以忽略已知基體應變能僅由于剪切第116頁/共132頁強度的材料力學分析方法屈曲波長是L/m，波長相對于纖維直徑h大時相對較小第117頁/共132頁強度的材料力學分析方法拉伸型剪切型彈性非彈性纖維體積含量壓縮強度玻璃/環氧復合材料在較寬的纖維體積含量范圍內：剪切模型有最低的復合材料強度體積分數較低時：拉伸模型控制復合材料強度第118頁/共132頁強度的材料力學分析方法按此公式預測的強度一般總是高于試驗值理論分析采用的是二維屈曲模型，實際上纖維周圍都是基體，纖維不一定是平面屈曲，可能是空間屈曲，所以實際屈曲臨界應力小于二維求得的值假設纖維是平直的，如不是，臨界應力下降當纖維屈曲時，基體可能進入了非彈性變形狀態因此把這些公式進行修正，基體模量乘以系數

第119頁/共132頁強度的材料力學分析方