2.1認識一元二次方程第二章

一元二次方程九年級數學上冊?北師大版情景導入一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？解：設苗圃的寬為xm，則長為(x＋2)m.根據題意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否為一元一次方程？實踐探究一元二次方程探究1：幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現準備在地面正中間鋪設一塊面積為18m2

的地毯

,四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同,你能求出這個寬度嗎？解：如果設所求的寬為x

m

,那么地毯中央長方形圖案的長為

m,寬為

m,根據題意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化簡：2x2-

13x+11=0①該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續整數，使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和嗎？解：如果設五個連續整數中的第一個數為x，那么后面四個數依次可表示為：

,

,

,

.

根據題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？解：由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻

m,根據題意，可得方程：探究3：如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？活動總結觀察上述方程①、②、③，它們有什么共同特點呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特點：1.只含有一個未知數；

2.未知數的最高次數是2；

3.整式方程．歸納總結

方程的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c為常數，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次項，

a是二次項的系數，bx是一次項，

b是一次項系數，c是常數項．應用舉例例1

下列方程哪些是一元二次方程？為什么？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指導】根據一元二次方程的概念進行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含兩個未知數；(3)不是整式方程；(5)不含ax2這一項．

關于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，當k_______時，是一元二次方程；當k_______時，是一元一次方程．【方法指導】當k2－1≠0，即k≠±1時，方程是一元二次方程．當k2－1＝0時，且2(k－1)≠0時，即k＝－1時是一元一次方程．例2≠±1＝－1例3a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值．點撥將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數是3；一次項是-8x,系數是-8；常數項是-10.例4隨堂練習1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次項系數化為1，方程可變為

(

)A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________2x2－x－7＝0

C3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化為一元二次方程的一般形式，并寫出二次項、二次項系數、一次項、一次項系數及常數項．解：原方程化為一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次項是5x2，二次項系數是5，一次項是8x，一次項系數是8，常數項是－2.4.(1)如圖，已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程（其中π

取3）.解：由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得根據題意有，200cm150cm(2)如圖，據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率

x應滿足的方程.解：該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x，整理，得