1第七章曲線和曲面提出問題由離散點來近似地決定曲線和曲面，即通過測量或實驗得到一系列有序點列，根據這些點列需構造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規律和趨勢等。2第七章曲線和曲面基本概念三次樣條3基本概念曲線曲面數學描述的發展曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示插值與逼近連續性條件樣條描述4曲線曲面數學描述的發展弗格森雙三次曲面片孔斯雙三次曲面片樣條方法Bezier方法B樣條方法有理Bezier非均勻有理B樣條方法5曲線曲面的表示要求唯一性幾何不變性易于定界統一性易于實現光滑連接幾何直觀6曲線曲面的表示參數法表示參數法表示的優點點動成線通常總是能夠選取那些具有幾何不變性的參數曲線曲面表示形式。用對參數求導來代替斜率，避免無窮大斜率7曲線曲面的表示t∈[0,1]，使其相應的幾何分量是有界的。可對參數方程直接進行仿射和投影變換。參數變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來。8插值與逼近采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條。樣條曲線是指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續條件。樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述。9插值與逼近曲線曲面的擬合：當用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。曲線的擬合10插值與逼近曲線曲面的逼近：當用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列。曲線的逼近11插值與逼近求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值。將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形。

曲線的逼近12連續性條件假定參數曲線段pi以參數形式進行描述：參數連續性0階參數連續性，記作C0連續性，是指曲線的幾何位置連接，即13連續性條件1階參數連續性，記作C1連續性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導數：14連續性條件2階參數連續性，記作C2連續性，指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導數。

曲線段的參數連續性15連續性條件幾何連續性0階幾何連續性，記作G0連續性，與0階參數連續性的定義相同，滿足：16連續性條件1階幾何連續性，記作G1連續性，指一階導數在相鄰段的交點處成比例2階幾何連續性，記作G2連續性，指相鄰曲線段在交點處其一階和二階導數均成比例。17樣條描述n次樣條參數多項式曲線的矩陣18樣條描述19三次樣條給定n+1個點，可得到通過每個點的分段三次多項式曲線：20自然三次樣條定義：給定n+1個型值點，現通過這些點列構造一條自然三次參數樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導數的連續性，即自然三次樣條具有C2連續性。還需要兩個附加條件才能解出方程組。21自然三次樣條特點只適用于型值點分布比較均勻的場合不能“局部控制”22三次Hermite樣條定義：假定型值點Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t∈[0,1]，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數曲線為三次Hermite樣條曲線：23推導24Mh是Hermite矩陣。Gh是Hermite幾何矢量。25三次Hermite樣條三次Hermite樣條曲線的方程為：26三次Hermite樣條通常將T?Mk稱為Hermite基函數（或稱混合函數，調和函數）：27三次Hermite樣條Hermite基函數28三次Hermite樣條特點可以局部調整，因為每個曲線段僅依賴于端點約束。基于Hermite樣條的變化形式：Cardinal樣條和Kochanek-Bartels樣條。Hermite曲線具有幾何不變性。29Bezier曲線曲面Bezier曲線的定義Bezier曲線的性質Bezier曲線的生成Bezier曲面30Bezier曲線的定義Bezier曲線31Bezier曲線的定義定義Bernstein基函數具有如下形式：注意：當k=0，t=0時，tk=1，k!=1。32Bezier曲線的定義一次Bezier曲線（n=1）33Bezier曲線的定義二次Bezier曲線（n=2）34Bezier曲線的定義三次Bezier曲線（n=3）35Bezier曲線的定義

三次Bezier曲線的四個Bezier基函數36Bezier曲線的性質端點37Bezier曲線的性質一階導數38Bezier曲線的性質39Bezier曲線的性質二階導數Bezier曲線在起始點和終止點處的二階導數分別取決于最開始和最后的三個控制點。40Bezier曲線的性質對稱性保持控制多邊形的頂點位置不變，僅僅把它們的順序顛倒一下，將下標為k的控制點Pk改為下標為n-k的控制點Pn-k時，曲線保持不變，只是走向相反而已。41Bezier曲線的性質凸包性Bezier曲線各點均落在控制多邊形各頂點構成的凸包之中。Bezier曲線的凸包性保證了曲線隨控制點平穩前進而不會振蕩。42Bezier曲線的性質幾何不變性差變減少性控制頂點變化對曲線形狀的影響43Bezier曲線的生成繪制一段Bezier曲線44Bezier曲線的生成Bezier曲線的拼接：如何保證連接處具有G1和G2連續性。在兩段三次Bezier曲線間得到G1連續性為實現G1連續，則有：45Bezier曲線的生成在兩段三次Bezier曲線間得到G2連續性兩段三次Bezier曲線的連接46Bezier曲面定義BENi,m(u)與BENj,n(v)是Bernstein基函數

47Bezier曲面48Bezier曲面雙三次Bezier曲面(m=n=3)雙三次Bezier曲面及其控制網格49Bezier曲面50Bezier曲面的性質控制網格的四個角點正好是Bezier曲面的四個角點。控制網格最外一圈頂點定義Bezier曲面的四條邊界，這四條邊界均為Bezier曲線。幾何不變性、對稱性、凸包性等。51Bezier曲面的拼接0階連續性只要求在邊界上匹配控制點；1階連續性則要求在邊界曲線上的任何一點，兩個曲面片跨越邊界的切線矢量應該共線，而且兩切線矢量的長度之比為常數。52Bezier曲面的拼接Bezier曲面片的拼接53B樣條曲線曲面B樣條曲線B樣條曲線的性質B樣條曲面54B樣條曲線Bezier曲線的不足控制多邊形的頂點個數決定了Bezier曲線的階數，且當頂點個數較大時，控制多邊形對曲線的控制將會減弱；不能作局部修改，任何一個控制點位置的變化對整條曲線都有影響。55B樣條曲線定義deBoor點B樣條控制多邊形B樣條基函數56B樣條曲線參數說明m是曲線的階數，(m-1)為B樣條曲線的次數，曲線在連接點處具有(m-2)階連續。57B樣條曲線tk是節點值，T＝（t0，t1，…tn＋m）構成了m－1次B樣條函數的節點矢量。節點矢量分為三種類型：均勻的，開放均勻的和非均勻的。58B樣條曲線均勻周期性B樣條曲線

當節點沿參數軸均勻等距分布，即tk+1－tk=常數時，所生成的曲線稱為均勻B樣條曲線。59B樣條曲線均勻二次（三階）B樣條曲線取n=3，m=3，則n+m=6，不妨設節點矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6)：60B樣條曲線61B樣條曲線62B樣條曲線

四段二次(三階)均勻B樣條基函數63B樣條曲線曲線的起點和終點值：均勻二次B樣條曲線起點和終點處的導數：64B樣條曲線對于由任意數目的控制點構造的二次均勻周期性B樣條曲線來說，曲線的起始點位于頭兩個控制點之間，終止點位于最后兩個控制點之間。對于高次多項式，起點和終點是m－1個控制點的加權平均值點。若某一控制點出現多次，樣條曲線會更加接近該點。65B樣條曲線三次周期性B樣條曲線取m=4，n=3，節點矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)：66B樣條曲線67B樣條曲線68B樣條曲線三次周期性B樣條曲線的邊界條件四個控制點的三次周期性B樣條曲線69B樣條曲線開放均勻B樣條曲線節點矢量可以這樣定義：令L=n-m，從0開始，按ti≤ti+1排列。70B樣條曲線開放均勻的二次（三階）B樣條曲線假設m=3，n=4，節點矢量為：T=(t0,t1,

,tn+m)=(t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7)=(0,0,0,1,2,3,3,3)。71B樣條曲線72B樣條曲線

開放均勻的二次B樣條基函數73B樣條曲線非均勻B樣條曲線

非均勻B樣條曲線的基函數74B樣條曲線的性質局部支柱性B樣條的基函數是一個分段函數，其重要特征是在參數變化范圍內，每個基函數在tk到tk+m的子區間內函數值不為零，在其余區間內均為零，通常也將該特征稱為局部支柱性。75B樣條曲線的性質B樣條曲線的局部支柱性76B樣條曲線的性質B樣條的凸組合性質

B樣條的凸組合性和B樣條基函數的數值均大于或等于0保證了B樣條曲線的凸包性，即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內。

77B樣條曲線的性質B樣條曲線與Bezier曲線的凸包性比較78B樣條曲線的性質連續性若一節點矢量中節點均不相同，則m階（m-1次）B樣條曲線在節點處為m-2階連續。B樣條曲線基函數的次數

與控制頂點個數無關。重節點問題

具有重節點的三次B樣條79B樣條曲線的性質導數幾何不變性變差減少性80B樣條曲面定義控制頂點、控制網格（特征網格）、B樣條基函數。B樣條曲面具有與B樣條曲線相同的局部支柱性、凸包性、連續性、幾何不變性等性質。81有理樣條曲線曲面NURBS曲線曲面的定義有理基函數的性質NURBS曲線曲面的特點82NURBS曲線曲面的定義定義83NURBS曲線曲面的定義例：假定用定義在三個控制頂點和開放均勻的節點矢量上的二次（三階）B樣條函數來擬合，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取權函數為：84NURBS曲線曲面的定義則有理B樣條的表達式為：85NURBS曲線曲面的定義然后取不同的r值得到各種二次曲線：由不同有理樣條權因子生成的二次曲線段

由有理樣條函數生成的第一象限上的圓弧86NURBS曲線曲面的定義NURBS曲面可由下面的有理參數多項式函數表示：87NURBS曲線曲面的性質NURBS曲面可由下面的有理參數多項式函數表示：88NURBS曲線曲面的性質普遍性局部性凸包性可微性權因子89NURBS曲線曲面的特點既為自由型曲線曲面也為初等曲線曲面的精確表示與設計提供了一個公共的數學形式，因此，一個統一的數據庫就能夠存儲這兩類形狀信息。為了修改曲線曲面的形狀，既可以借助調整控制頂點，又可以利用權因子，因而具有較大的靈活性。90NURBS曲線曲面的特點計算穩定且速度快。NURBS有明確的幾何解釋，使得它對良好的幾何知識尤其是畫法幾何知識的設計人員特別有用。NURBS具有強有力的幾何配套計算工具，包括節點插入與刪除、節點細分、升階、節點分割等，能用于設計、分析與處理等各個環節。91NURBS曲線曲面的特點NURBS具有幾何和透視投影變換不變性。NURBS是非有理B樣條形式以及有理與非有理Bezier形式的合