廣東省中山一中豐山學部2023屆高三下學期自主練習數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或2．已知等差數列{an}，則“a2＞a1”是“數列{an}為單調遞增數列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．4．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．設等差數列的前n項和為，若，則（）A． B． C．7 D．26．國家統計局服務業調查中心和中國物流與采購聯合會發布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業采購經理指數(PMI)如下圖所示.則下列結論中錯誤的是（）A．12個月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個月的PMI值的平均值低于50%C．12個月的PMI值的眾數為49.4%D．12個月的PMI值的中位數為50.3%7．若，則下列關系式正確的個數是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．48．《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．集合的真子集的個數為()A．7 B．8 C．31 D．3212．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關于直線對稱時，（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中含有的項的系數是，則展開式中各項系數和為______.14．已知點是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，若，則線段中點的縱坐標為__________．15．如圖所示，點，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標是________.16．已知兩點，，若直線上存在點滿足，則實數滿足的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）當時，判斷函數的極值點的個數；（2）記，若存在實數，使直線與函數的圖象交于不同的兩點，求證：．18．（12分）已知數列的各項均為正數，且滿足.（1）求，及的通項公式；（2）求數列的前項和.19．（12分）已知數列的前項和為，且滿足（）.（1）求數列的通項公式；（2）設（），數列的前項和.若對恒成立，求實數，的值.20．（12分）已知函數f(x)=x-1+x+2，記f(x)（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正實數a，b滿足1a+121．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.22．（10分）已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據題意得，設與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因為，，則，所以，設與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.2．C【解析】試題分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數列{an}為單調遞增數列，若數列{an}為單調遞增數列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數列{an}為單調遞增數列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3．B【解析】,選B4．C【解析】

根據線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.5．B【解析】

根據等差數列的性質并結合已知可求出，再利用等差數列性質可得，即可求出結果．【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B【點睛】本題主要考查等差數列的性質及前項和公式，屬于基礎題．6．D【解析】

根據圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計、眾數、中位數，從而得到答案.【詳解】對A，從圖中數據變化看，PMI值不低于50%的月份有4個，所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對C，12個月的PMI值的眾數為49.4%，故C正確，；對D，12個月的PMI值的中位數為49.6%，故D錯誤故選：D.【點睛】本題考查頻率、平均值的估計、眾數、中位數計算，考查數據處理能力，屬于基礎題.7．D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數形結合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數圖象比較大小，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.8．B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現了數學運算、直觀想象等核心素養.9．D【解析】

利用函數的單調性、不等式的基本性質即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.10．B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．11．A【解析】

計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.12．C【解析】

判斷圓心與直線的關系，確定直線，關于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：，解得，令得：展開式中各項系數和，得解．【詳解】解：由的展開式的通項，令，得含有的項的系數是，解得，令得：展開式中各項系數和為，故答案為：1．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題．14．2【解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結果.【詳解】拋物線的標準方程為：，則拋物線的準線方程為，設，，則，所以，則線段中點的縱坐標為.故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用，本題較為基礎.15．【解析】

設出兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得的坐標.【詳解】設，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故答案為：【點睛】本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．16．【解析】

問題轉化為求直線與圓有公共點時，的取值范圍，利用數形結合思想能求出結果．【詳解】解：直線，點，，直線上存在點滿足，的軌跡方程是．如圖，直線與圓有公共點，圓心到直線的距離：，解得．實數的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數可得,即可求證.【詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數沒有極值點.（2）由題,,若存在實數,使直線與函數的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數求函數的極值點,考查利用導函數解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.18．（1）；.；（2）【解析】

（1）根據題意，知，且，令和即可求出，，以及運用遞推關系求出的通項公式；（2）通過定義法證明出是首項為8，公比為4的等比數列，利用等比數列的前項和公式，即可求得的前項和.【詳解】解：（1）由題可知，，且，當時，，則，當時，，，由已知可得，且，∴的通項公式：.（2）設，則，所以，，得是首項為8，公比為4的等比數列，所以數列的前項和為：，即，所以數列的前項和：.【點睛】本題考查通過遞推關系求數列的通項公式，以及等比數列的前項和公式，考查計算能力.19．（1）（2），.【解析】

（1）根據數列的通項與前n項和的關系式，即求解數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數列的前n項和公式和裂項法，求得，結合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，由，解得；當時，可得，即，顯然當時上式也適合，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【點睛】本題主要考查了數列的通項公式的求解，等差數列的前n項和公式，以及裂項法求和的應用，其中解答中熟記等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.20．（Ⅰ）{x|-3≤x≤2}（Ⅱ）見證明【解析】

(Ⅰ)由題意結合不等式的性質零點分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（Ⅰ）①當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5，即x≤2，∴1<x≤2；②當-2≤x≤1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5，∴-2≤x≤1；③當x<-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5，即x≥-3，∴-3≤x<-2.綜上所述，原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=x-1當且僅當-2≤x≤1時，等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當且僅當2a×1又1a+1b=∴2a【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.21．特征值為1，特征向量為．【解析】

設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關鍵是明確其運算規則，側重考查數學運算的核心素養.22．（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數列，等比數列的通項公式先求得公差和公比