高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省稽陽聯誼學校2025屆高三上學期11月聯考數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有是符合題目要求的.1.已知全集，，，則圖中陰影部分對應的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，陰影部分為.故選：A．2.已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，設，則，即，解得，故選：C.3.下列四個函數中，以為其對稱中心，且在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A:在上單調遞減，A選項錯誤；對于B:在上單調遞增，且為其對稱中心，B選項正確；對于C:不是0，所以不是的對稱中心，C選項錯誤；對于D:在上單調遞減，D選項錯誤；故選：B.4.已知函數，則關于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可得或，又為增函數，所以解得或，故解集為.故選：D.5.“直線與圓有公共點”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】直線與圓有公共點則，由，反之推不出，故為必要不充分條件.故選：B6.某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；故選：C.7.已知雙曲線：，過的直線分別交雙曲線左右兩支為，關于原點的對稱點為，若，則雙曲線的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，記與軸的交點為，因為，所以，所以，即，因為都在雙曲線上，所以，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：A8.已知是定義在上且不恒為0的連續函數，若，f1=0，則（）A. B.為奇函數 C.的周期為2 D.【答案】D【解析】令得，因為不恒為，所以，所以A錯誤；令得，得，則為偶函數，所以B錯誤；令得，則，則，得周期為4，所以C錯誤；令得，，即，令得，即關于1,0中心對稱，即，所以，所以D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若隨機變量，則B.殘差平方和越大，模型的擬合效果越好C.若隨機變量，則當減小時，保持不變D.一組數據的極差不小于該組數據的標準差【答案】ACD【解析】由于，所以A正確；殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，所以B錯誤；根據正態分布的概率分布特點知為定值，C正確；由于，標準差，故D正確.故選：ACD.10.某校南門前有條長80米，寬8米的公路（如圖矩形），公路的一側劃有16個長5米寬2.5米的停車位（如矩形），由于停車位不足，放學時段造成道路擁堵，學校提出一個改造方案，在不改變停車位的大小和汽車通道寬度的條件下，通過壓縮道路邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對道路傾斜的角度，其中，則（）A. B.C.該路段改造后的停車位比改造前增加8個 D.該路段改造后的停車位比改造前增加9個【答案】AD【解析】∵，∴，構造對偶式可得，，平方相加得，由，可得或，又，所以，，該路段改造后的停車位比改造前增加9個.故選：AD.11.如圖，是邊長為2的正方形，，，，都垂直于底面，且，點在線段上，平面交線段于點，則（）A.，，，四點不共面B.該幾何體體積為8C.過四點，，，四點的外接球表面積為D.截面四邊形的周長的最小值為10【答案】BCD【解析】對于A，取中點，取靠近的三等分點，易知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，，則，所以，，，四點共面，故錯誤；對于B，由對稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以，故B正確；對于C，過四點，，，構造正方體，所以，外接球直徑為正方體的體對角線，所以，則，所以此四點的外接球表面積為，故C正確；對于D，由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長，沿將相鄰兩四邊形推平，當，，三點共線時，最小，最小值為5，所以周長最小值為，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知i為虛數單位，若，則______.【答案】3【解析】設則，可得，即得.故答案為：313.已知等比數列的前項和為，若，則______.【答案】91【解析】因為，所以，故，故答案為：91.14.已知函數，若對任意，，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】設，，由知函數是奇函數，∵∴可化為∴又所以在上單調遞增，∴在x∈1,+∞∴在x∈1,+∞令，x∈1,+∞，則所以hx在上遞減，在上遞增，所以所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為，母線長為，是弧上的點，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取中點，連結，∵，，，，∴，，∴為平行四邊形，∴，又面，面，所以面.（2）解：法一：過作于點，易知圓臺底面，∵，，圓臺的母線與底面所成的角為，母線長為，∴，，又，∴，，又，則，所以，又由，可得，，取中點，連結，，所以，則為二面角的平面角，又易知，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為法二：如圖，以為坐標原點，和垂直的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，由法一知，，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.若以，，為，，軸建立坐標系，則，所以，，，同理可求得平面的法向量為；平面的法向量為，則.16.如圖，的內角，，的對邊分別為，，，直線與的邊，分別相交于點，，設，滿足.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由正弦定理得，又∵∴，得.（2）∵即,根據余弦定理可得即,則，所以，得的周長為.17.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍.解：（1）∵當時，，∴，∴，又，∴曲線y=fx在點處的切線方程為.（2）令，令，，則，令得，①當時，在上單調遞增，當時，；當時，，所以存在唯一的零點，又得，所以且時有兩個極值點0，；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，又當時，，當時，，又，所以只需，解得；③當時，，在0,+∞上單調遞增，所以在0,+∞上只有一個零點，所以只有一個極值點，故不符合.綜上：的取值范圍為18.已知橢圓：的左右頂點分別為，，左右焦點分別為，，為坐標原點，為橢圓在第一象限上的一點，直線，分別交軸于點，.（1）求的值；（2）在直線上取一點（異于），使得.（?。┳C明：，，三點共線；（ⅱ）求與面積之比的取值范圍.（1）解：由題意，設，則直線，故，同理直線得，則，又，所以；（2）（?。┳C明：直線，因為在直線上且，得，消得，因為在橢圓上，所以，代入上式整理得（1）因為，所以（1）式一定有一個根1，得，即，得，故，，，得，所以，，三點共線，（ⅱ）解：因為為橢圓在第一象限上的一點，所以，所以.19.每個正整數有唯一的“階乘表示”為（，，…，），這些滿足，其中每個都是整數，且，.（1）求正整數3，4，5，6的“階乘表示”；（2）若正整數對應的“階乘表示”為（，，…，），正整數對應的“階乘表示”（，，…，），其中，求證