高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市大荔縣2023-2024學年高二上學期期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，設直線的傾斜角為，，則，.故選：A.2.已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設點的橫坐標為，拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.故選：C.3.下列有關樣本線性相關系數r的說法不正確的是（）A.相關系數可用來衡量與之間的線性相關程度 B.，且越接近0，相關程度越小C.，且越接近1，相關程度越大 D.，且越接近1，相關程度越大【答案】D【解析】相關系數是來衡量兩個變量之間的線性相關程度的，線性相關系數是一個絕對值小于等于1的量，并且它的絕對值越大就說明相關程度越大，所以不正確的只有D.故選：D.4.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底．其中說法正確的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】對于①，當與的夾角為，滿足，所以①錯誤；對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構成空間的另一個基底，所以④正確.故選：B.5.根據歷年氣象統計資料，某地4月份的任一天刮東風的概率為，下雨的概率為，既刮東風又下雨的概率為．則4月8日這一天，在刮東風的條件下下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，設事件表示吹東風，事件表示下雨，則，，，所以在吹東風的條件下下雨的概率為．故選：D．6.數學對于一個國家的發展至關重要，發達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求.現某大學為提高數學系學生的數學素養，特開設了“古今數學思想”,“世界數學通史”，“幾何原本”，“什么是數學”四門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數為或或若是，則先將門學科分成三組共種不同方式.再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學的不同選修方式有種，故選：B.7.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在“鱉臑”中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，“鱉臑”是由正方體的四個頂點構成的，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，，，，，則，，，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為．故選：B．8.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，雙曲線的一條漸近線是，則它與橢圓在第一象限的交點記為A，橢圓的左右焦點記為F1、F2，則根據正六邊形的性質知是直角三角形，且設，所以.由橢圓的定義，得出，所以橢圓的離心率．故選:B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓和圓相交于A，兩點，則下列說法正確的是（）A.B.直線方程為C.線段的長為D.到直線的距離與到直線的距離之比為【答案】ABC【解析】對于A項，因為兩個圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B項，因為圓和圓相交于A，兩點，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；對于C項，圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對于D項，因為圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯誤．故選：ABC．10.下列結論正確的是（）A.若隨機變量，則B.已知隨機變量X，Y滿足,若，則，C.有8名學生，其中5名男生，從中選出4名學生，選出的學生中男生人數為，則其數學期望D.離散型隨機變量服從兩點分布，且，則【答案】ABD【解析】對于A：因為，則正態曲線關于對稱，所以，故A正確；對于B：因為，所以，，又，所以，所以，，即B正確；對于C：依題意的可能取值為、、、，則，，，，所以，故C錯誤；對于D：因為且，解得，故D正確；故選：ABD11.如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數學模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點，其他四個面均為矩形，，，，下列說法不正確的是（）A.該幾何體是四棱臺B.該幾何體是棱柱，平面是底面C.D.平面與平面的夾角為【答案】ABC【解析】因為四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點，其他四個面均為矩形，所以這個六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B錯誤；由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，所以，不垂直，故C錯誤；根據題意可知平面，所以為平面的一個法向量，，設為平面的法向量，則有則可取，則，所以平面與平面的夾角為，故D正確．故選：ABC12.已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】當時，直線與另一條漸近線平行，所以．當時，如圖1，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由，得，則，所以，則，，所以，則，．當時，如圖2，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由，得，則，則，所以，則，，所以，則，．綜上，的離心率為或．故選:AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線經過點，且斜率為，則直線的一個方向向量為______.【答案】（答案不唯一）【解析】不妨令直線的一個方向向量為，則，所以可以取，則，此時直線的一個方向向量為（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）14.展開式中項的系數為______.【答案】240【解析】由二項式的展開式的通項為，當時，可得，所以展開式中的系數為.故答案為：.15.已知向量，，，，則與的夾角為______．【答案】【解析】因為，所以，則，即，又，，，所以，解得，所以，又，故.故答案為：.16.《九章算術》中記載了我國古代數學家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離記為,雙曲線的兩條漸近線與直線,以及雙曲線的右支圍成的圖形(如圖中陰影部分所示)繞軸旋轉一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意知漸近線方程為，右焦點為，所以，由，得，由，得，所以截面面積為，由題知，陰影部分繞y軸轉一周所得幾何體的體積等于底面積與截面面積相等，高為2的圓柱的體積，∴，即，所以，即，∴，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）已知直線經過點，在兩坐標軸上的截距都不等于零，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程；（2）求以為圓心，且與圓相外切的圓的方程．解：（1）依題意，設直線的方程為，由該直線過點可得，解得，所以該直線的方程為，即．（2）設所求圓的方程為，因為兩個圓的圓心距，又兩個圓外切時滿足，故，所以所求圓的方程為.18.一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響．假設該時刻有部電話占線．試求隨機變量的概率分布和它的期望．解：設該時刻有部電話占線，則可取，，，，，又，所以隨機變量的概率分布列為：012340.090.30.370.20.04所以期望.19.已知橢圓：（）的左焦點為，短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）過點、斜率為1的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點，求的面積．解：（1）由題設知，所以，于是橢圓的方程為；（2）依題意，直線的方程為，設，聯立，解得或，所以的面積.20.2023年12月大荔縣某高中數學社團在寶塔文殊廣場對人們的休閑方式進行了一次調查．共調查了124人，其中男性54人，女性70人．男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動；女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動．（1）根據以上數據建立一個列聯表；（2）判斷性別與休閑方式是否有關系．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依題意建立列聯表為性別看電視運動總計女432770男213354總計6460（2）計算．因為，所以有的把握判斷休閑方式與性別有關．21.如圖，在長方體，中，，點E在棱上移動．（1）證明：；（2）當E為的中點時，求點E到面的距離；解：（1）在長方體中，有平面，又平面，，又，四邊形為正方形，又平面平面，平面（2）設點到面的距離為，在中，，，故，而．又，，．∴點E到面的距離為.（3）過作于，連、，由平面ABCD，且，可得，則，為二面角的平面角．設，則，在△中，，，在中，，在中，，在中，在中．．時，二面角的大小為．22.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.（1）求動點的軌跡方程；（2）設是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經過一個定點，并求