6.3二元一次方程組的應用

課時2七下數學JJ第六章

二元一次方程組1.掌握構建二元一次方程組解決有關實際問題的基本步驟.2.通過探究實際問題,進一步體會方程組是刻畫現實世界數量關系的有效模型,發展模型觀念.3.在運用二元一次方程組解決實際問題的過程中，提高分析問題與解決問題的能力，形成應用意識.二元一次方程組的前世今生“方程”:

我國:漢

鄭玄

“解九數”《九章算術》

第八卷

“方程”

13世紀

“立天元一為某某”(“設x為某某”)西方:古巴比倫人

古希臘人

拉T文oequation

英文equation亞歷山大里亞時期

丟番圖

《算術》“元”:表示未知數

我國宋元時期的天元術.李冶

《測圓海鏡》和《益古演段》、朱世杰《算學啟蒙》和((四元玉鑒)).清末

李善蘭

和偉烈亞力

譯英國數學家德摩根

《代數學》

創用“多元一次方程”這樣的術語現代:二元一次方程組的重要應用例1

我國高速鐵路飛速發展，為了解“復興號”列車的長度和行駛速度，小明所在的學習小組開展了一次課外探究活動.他們分工合作，在一架3150m長的鐵路橋附近進行了觀察、測量和計算:“復興號”列車從開始上橋到完全過橋的時間約為42.5s,列車完全在橋上的時間約為32.5s.你能根據該小組同學獲得的數據，求出“復興號”列車過橋時的速度和列車的長度嗎?知識點1

行程問題列車42.5s內所行路程=橋長+車長列車32.5s內所行路程=橋長-車長知識點1

行程問題思考：(1)問題中涉及了哪些量？(2)畫示意圖，并尋找等量關系.(3)用x、y分別表示火車的速度(m/s)和長度(m)，列方程組.(4)解答上面的問題.知識點1

行程問題

例2

小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學校需10min，從學校到家里需15min.問小華家離學校多遠？知識點1

行程問題分析：小華到學校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的時間+走下坡的時間=________，走上坡的時間+走平路的時間=_______．路程=平均速度×時間1015知識點1

行程問題方法一（直接設元法）平路時間坡路時間總時間上學放學解：設小華家到學校平路長xm，下坡長ym.根據題意，可列方程組：解方程組，得所以，小華家到學校的距離為700m.知識點1

行程問題方法二（間接設元法）平路距離坡路距離上學放學解：設小華下坡路所花時間為

xmin,上坡路所花時間為

ymin.

所以，小華家到學校的距離為700m.故平路距離：60×（10-5）=300（m）.

坡路距離：80×5=400（m）.知識點1

行程問題變式練習

甲、乙兩地相距4km，以各自的速度同時出發.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多少？分析：對于行程問題，一般可以借助示意圖表示題中的數量關系，可以更加直觀的找到相等關系.知識點1

行程問題（1）同時出發，同向而行甲出發點乙出發點4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同時出發，相向而行甲出發點乙出發點4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知識點1

行程問題解：設甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據題意與分析中圖示的兩個相等關系，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.知識點1

行程問題例3

去年秋季，某校七年級和高中一年級招生總數為500名，計劃今年秋季七年級招生人數增加20%，高中一年級招生人數比去年增加15%，這樣，今年秋季七年級和高中一年級招生總數將比去年招生總數增加18%，今年秋季七年級和高中一年級各計劃招生多少名？今年，七年級人數+高中一年級人數=500(1+18%)；分析：本題中的等量關系去年，七年級人數+高中一年級人數=500；今年，七年級人數=去年七年級人數+增長數；今年，高中一年級人數=去年高中一年級人數+增長數；知識點2

增長率問題解：設去年七年級招生x名，高中一年級招生y名.根據題意，得解得所以答：今年秋季七年級計劃招生360名，高中一年級計劃招生230名.如果將今年兩個年級計劃招生人數設為未知數，如何列方程組呢？知識點2

增長率問題知識點2

增長率問題基本關系式：增長率＝（增長后的量－增長前的量）/增長前的量×100%；

相等關系：增長前的量×(1＋增長率)＝增長后的量；下降前的量×(1－降低率)

＝下降后的量．【分析】設去年的總產值為x萬元,總支出為y萬元,則有總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年今年(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy200變式練習某工廠去年的利潤(總產值-總支出)為200萬元,今年總產值比去年增加了20％,總支出比去年減少了10％,今年的利潤為780萬元.去年的總產值、總支出各是多少萬元?知識點2

增長率問題去年的總產值-去年的總支出=200萬元，

今年的總產值-今年的總支出=780萬元．分析關鍵:找出等量關系.今年的總支出=去年的總支出×(1-10%）今年的總產值=去年總產值×(1+20%）知識點2

增長率問題解:設去年的總產值為x萬元,總支出為y萬元,則有x-y=200，(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.因此,去年的總產值是2000萬元，總支出是1800萬元.解得x=2000，y=1800.知識點2

增長率問題實際問題

設未知數、找等量關系、列方程（組）

數學問題

[方程（組）]解方程（組）數學問題的解檢驗實際問題的答案

知識點2

增長率問題1.甲、乙兩人賽跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙.設甲速為x米/秒，乙速為y米/秒，則可列方程組為(

)B

2.某食品廠要配制含蛋白質15％的食品100kg，現在有含蛋白質分別為20％，12％的甲乙兩種配料．用這兩種配料可以配制出所要求的食品嗎？如果可以的話，它們各需多少千克？分析本問題涉及的等量關系有：甲配料質量+乙配料質量=總質量，甲配料含蛋白質質量+乙配料含蛋白質質量=總蛋白質質量.解:設含蛋白質20％的配料需用xkg，含蛋白質12％的配料需用ykg.根據等量關系得解這個方程組得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白質20％的配料需用37.5kg，含蛋白質12％的配料需用62.5kg.3.甲、乙兩種商品原來的單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10％，乙商品提價40％,調價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高了20％.求甲、乙兩種商品原來的單價.解:設甲商品原來的單價為x元，乙商品原來的單價為y元.根據等量關系得解這個方程組得答：甲商品原來的單價為40元，乙商品原來的單價為60元.4.一班和二班共有100名學生,他們的體育達標率(達到標準的百分率)為81﹪,如果一班學生的體育達標率為87.5﹪,二班學生的體育達標率為75﹪,那么一、二班的學生數各是多少?分析

設一、二班的學生數分別為x名，y名.則有下表.一班二班兩班總和學生數達標學生數xy10087.5﹪x75﹪y81﹪×100解:設一、二班的學生數分別為x名，y名.根據題意,得解得答：一、二班的學生數分別為48名和52名.x+y=100，87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100.x=48,y=52.5.某業余運動員針對自行車和長跑項目進行專項訓練某次訓練中，他騎自行車的平均速度為10m/s，跑步的平均速度為，自行車路段和長跑路段共5km，共用時15min．求自行車路段和長跑路段的長度．分析：本問題涉及的等量關系有：自行車路段長度+長跑路段長度=總路程，