第9章中心對稱圖形一一平行四邊形章節復習卷

（20個知識點+50題練習）

知識點

知識點1.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言：

如圖，：點。、￡分別是N8、NC的中點

C.DE//BC,DE^—BC.

知識點2.平行四邊形的性質

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

知識點3.平行四邊形的判定

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.符號語言：..【臺〃。。，?.四邊行

N5CD是平行四邊形.

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.符號語言：???/BuDC,?.四邊行

N5CD是平行四邊形.

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：48=DC.,.四邊行/BCD是平行四邊形.

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：NABC=ZADC,/DAB=ZDCB：.四邊行ABCD是平行四邊形.

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.符號語言：???04=OC,08=00.?.四邊行

/BCD是平行四邊形.產C

知識點4.平行四邊形的判定與性質

平行四邊形的判定與性質的作用

平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、

線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要

證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行

四邊形達到上述目的.

運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定

義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單.

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四

邊形的性質和判定去解決問題.

知識點5.菱形的性質

（1）菱形的性質

①菱形具有平行四邊形的一切性質；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

（2）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=聶.（。、6是兩條對角線的長度）

知識點6.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：,.?/3=2C=CD=D/；.四邊形/BCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形").

幾何語言：四邊形/BCD是平行四邊形平行四邊形48co是菱形

知識點7.菱形的判定與性質

(1)依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改

變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形.

(2)菱形的中點四邊形是矩形(對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線

相等的四邊形的中點四邊形定為菱形.)―(3)菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首

先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就

增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法.

(4)正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不

只是正方形.

知識點8.矩形的性質

(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質

①平行四邊形的性質矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連

線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

(3)由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

知識點9.矩形的判定

(1)矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊

形的對角線相等.

②題設中出現多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.

知識點10.矩形的判定與性質

（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四

邊形，進一步研究其特有的性質是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等.同時平行四

邊形的性質矩形也都具有.

在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有

關的問題.

（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△O8C都是等腰三角形（2）ZOAB=Z

OBA,NOCB=NOBC；③點O到三個頂點的距離都相等.

知識點11.正方形的性質

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖

形，有四條對稱軸.

知識點12.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

知識點13.正方形的判定與性質

正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

知識點14.反證法

(1)對于一個命題，當使用直接證法比較困難時，可以采用間接證法，反證法就是一個間

接證法.反證法主要適合的證明類型有：①命題的結論是否定型的.②命題的結論是無限

型的.③命題的結論是“至多”或“至少”型的.

(2)反證法的一般步驟是：

①假設命題的結論不成立；

②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；

③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

知識點15.生活中的旋轉現象

(1)旋轉的定義：在平面內，把一個圖形繞著某一個點。旋轉一個角度的圖形變換叫做旋

轉.點。叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，如果圖形上的點尸經過旋轉變為點P,

那么這兩個點叫做對應點.

(2)注意：

①旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋

轉前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉的關鍵.

②旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向.

③旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立體圖形，因而要注意此點.

知識點16.旋轉的性質

(1)旋轉的性質：

—①對應點到旋轉中心的距離相等.②對應點與旋轉中心所連線段的夾角

等于旋轉角.—③旋轉前、后的圖形全等.—(2)旋轉三要素①旋轉中心②

旋轉方向；③旋轉角度.注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一

樣.

知識點17.旋轉對稱圖形

(1)旋轉對稱圖形

如果某一個圖形圍繞某一點旋轉一定的角度(小于360。)后能與原圖形重合，那么這

個圖形就叫做旋轉對稱圖形.

(2)常見的旋轉對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

知識點18.中心對稱

(1)中心對稱的定義

把一個圖形繞著某個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖

形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心

的對稱點..

(2)中心對稱的性質

①關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；

②關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.

知識點19.中心對稱圖形

(1)定義

把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個

圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個圖形之間的關系，而中心對稱圖形是

指一個圖形自身的特點，這點應注意區分，它們性質相同，應用方法相同.

(2)常見的中心對稱圖形

平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等.

知識點20.作圖-旋轉變換

(1)旋轉圖形的作法：

根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等

的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形.

(2)旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角度、旋轉方向、旋轉

中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等.

練習卷

三角形中位線定理（共2小題）

1.（2024春?儀征市期中）如圖，己知點E、尸分別為3C、AB、的中點，若四

邊形DEFC的面積為9,則A48C的面積為.

2.Q023春?灌云縣月考）如圖，在A42c中，點。，E分別是/C,48的中點，點廠是C3

延長線上一點，且C尸=38尸，連接。8,EF.若N/CB=90。，AC=12,DE=4.

（1）求證：DE=BF

（2）求四邊形DEFS的周長.

二.平行四邊形的性質（共3小題）

3.（2024春?徐州期中）平行四邊形的一邊長為6,另一邊長為12,則對角線的長可能是（

）

A.6B.5C.22D.10

4.（2023春?祁江區月考）在平行四邊形48co中，對角線/C,8。相交于O,若

AC=10,BD=6,則48的長的取值范圍是.

5.（2023春?江都區月考）閱讀下列材料：如圖1,在四邊形/BCD中，若AB=AD,

BC=CD,則把這樣的四邊形稱為箏形.

A

AA

（1）如圖2,在平行四邊形N8CZ1中，點￡、尸分別在8C、CD上，且=

NAEC=NAFC.求證：四邊形4EC尸是箏形.

（2）如圖3,在箏形48cZ）中，48=40=15,BC=DC=13,AC=14.求箏形48cZ）

的面積.

三.平行四邊形的判定（共3小題）

6.（2024春?秦淮區期中）一個四邊形的三個內角的度數依次如下，能判定該四邊形是平行

四邊形的是（）

A.92°,88°,88°B.102°,88°,102°

C.92°,88°,92°D.92°,78°,92°

7.（2024春?江陰市月考）已知。、/、3的坐標分別是（0,0）,（3,0）,（-1,2）,在平面內

找一點使得以點。、/、B、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則點M的坐標

為-,

8.（2023春?江陰市期中）如圖，點/、B、C、。在同一條直線上，點￡、尸分別在直

線4D的兩側，S.AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

（1）求證：\ACE=\DBF；

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形.

四.平行四邊形的判定與性質（共3小題）

9.（2023春?鼓樓區期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，點、E,尸分別在邊ND,2C上,

添加選項中的條件后不能判定四邊形8EDE是平行四邊形的是（）

AED

A.BE/IDFB.BE=DFC.BF=DED.AE=CF

10.（2023春?江寧區校級月考）如圖，口48a）中，即為對角線5。上的兩點，若添加一

個條件使四邊形NEW為平行四邊形，則可以是：.

11.（2024春?蘇州期中）如圖，點E為平行四邊形/2CA的邊4D上的一點，連接班并延

長，使BF=BE,連接EC并延長，使CG=CE,連接尸G.〃為尸G的中點，連接

AF.

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）連接交2c于點。，若OB=OE,FG=8,求。〃的長度.

A._____E_____D

五.菱形的性質（共3小題）

12.（2024春?賈汪區期中）如圖，在菱形中，BD=3,NC=2,則該菱形N2CZ）的

面積是（）

13.（2024春?啟東市期中）已知菱形有一個銳角為60。，一條對角線長為4c/n,則它的面積

為m2.

14.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,過點。作對角線2。的垂線交BA

的延長線于點E.

（1）求證：四邊形NCDE是平行四邊形；

⑵若DE=8,BD=6,求菱形48CD的面積.

15.（2023春?揚州校級期中）嘉嘉自編一題“如圖，在四邊形48CL?中，對角線NC,BD

交于點O,AC1BD,OB=OD.求證四邊形ABCD是菱形.”并將自己的證明過程與同

學淇淇交流.

證明：-■?ACA.BD,OB=OD,

AC垂直平分BD,

AB=AD,CB=CD,

四邊形/BCD是菱形.

淇淇看完后認為這個題目需要補充一個條件才能證明.下列正確的是（）

A.題目嚴謹，不用添加條件B.題目不嚴謹，可補充：OA=OB

C.題目不嚴謹，可補充：ADUBCD.題目不嚴謹，可補充：ABLBC

16.（2023春?沐陽縣期末）如圖，在口中，對角線4c所在直線上有兩點E、F,滿

足AE=AC=CF,連接BE、BF、DE、DF.

（1）求證：四邊形8EZ*是平行四邊形；

（2）若/助C=90。，貝!）當。時，四邊形3EZW是菱形.

B

七.菱形的判定與性質（共2小題）

17.（2023春?邳州市期中）如圖，由兩個長為8,寬為4的全等矩形疊合（不完全重合）而

得到四邊形/BCD,則四邊形N8CO面積的最大值是（)

A.15B.16C.19D.20

18.2024春?姑蘇區校級期中）如圖，AA5C中，28=8C,過/點作8C的平行線與

的平分線交于點。，連接C/K

（1）求證：四邊形N2CA是菱形；

（2）連接/C與8。交于點O,過點。作。EL5C交2C的延長線于￡點，連接EO,若

EO=2遙,DC=5,求CE的長.

八.矩形的性質（共2小題）

19.（2023春?鹽城月考）如圖，矩形NBCr1的對角線/C,8。相交于點O,CE//BD,

DE//AC,若NC=12,則四邊形CODE的周長為（）

A.12B.18C.24D.30

20.（2024春?姑蘇區校級期中）如圖矩形4BCD的對角線/C和AD相交于點O,過點。的

直線分別交4D和于點E,F,AB=5,BC=8,則圖中陰影部分的面積為.

九.矩形的判定（共2小題）

21.（2024春?蘇州期中）在口48cA中，對角線/C、AD相交于點O,添加下列一個條件,

能使口N8CD成為矩形的是（）

A.AB=BCB.ZABC=/ADCC.AC=BDD.ACLBD

22.（2024春?豐縣期中）如圖，在平行四邊形NBC。中，延長A4到點￡■，使/￡=22,

連接EC、ED、AC,請你添加一個條件,使四邊形是矩形.

一十.矩形的判定與性質（共2小題）

23.（2023春?宜興市月考）如圖,點尸是RtAABC中斜邊/C（不與4,C重合）上一

動點，分別作尸于點作/W_L3c于點N,點。是MN的中點，若28=3,

AC=5.當點尸在/C上運動時,則80的最小值是（)

A.1B.1.2D-1

24.（2023春?錫山區校級期中）如圖，在口48c。中，NE_L5C于點￡,延長8c至點尸，

使CF=BE,連接。廠，AF與DE交于點、O.

（1）求證：四邊形/EEC?為矩形；

（2）若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的長.

一十一.正方形的性質（共2小題）

25.（2024春?秦淮區期中）如圖，在正方形/BCD內作等邊三角形NED,連接BE,CE,

則/E8C的度數為（）

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

26.（2023春?天寧區校級期中）如圖，在邊長為2的正方形4BCA中，點、E、廠分別是邊

AB,8c的中點，連接EC,FD,點、G、〃分別是EC,ED的中點，連接G//,則G77

的長度為

一十二.正方形的判定（共2小題）

27.（2023春?宿城區期中）如圖，已知四邊形N2C。是平行四邊形，下列結論中不正確的

是（）

A.當48=8。時，它是菱形B.當4C=AD時，它是正方形

C.當N4BC=90。時，它是矩形D.當NC_LAD時，它是菱形

28.（2024春?徐州期中）如圖，在A48C中，48=/C,點。是邊8c的中點，以N8、BD

為鄰邊作平行四邊形N8DE,連接CE.

（1）求證：四邊形ZOCE1是矩形；

一十三.正方形的判定與性質（共2小題）

29.（2023春?靖江市期中）如圖，RtACEF中，ZC=90°,NCE尸和NCFE的外角平分線

交于點過點/分別作直線CE,W的垂線，點2,。為垂足.

（1）求證：四邊形/BCD是正方形；

（2）若/5=a（a為常數），求（2E+幻（。尸+°）的值.

30.（2023春?涕陽市期中）如圖1,在矩形/BCD中，/84D的平分線交對角線助于點

(2)如圖2,過點C作CG//MN,若/8=2,BC=5,求四邊形/NCG的面積.

一十四.反證法（共3小題）

31.（2023春?靖江市校級期中）用反證法證明,“在A48c中，NA、對邊是a、b.若

AA<AB,則“<6.”第一步應假設（)

A.a<bB.a=bC.a?bD.a...b

32.（2024春?泰州期中）運用反證法證明某個命題的結論時，第一步應先假

設―.

33.（2023春?姜堰區校級期中）要用反證法證明命題"三角形中必有一個內角小于或等于

60。”，首先應假設這個三角形中.

一十五.生活中的旋轉現象（共2小題）

34.（江都區月考）將圖中所示的圖案以圓心為中心，旋轉180。后得到的圖案是

（）

35.（啟東市校級月考）時鐘上的時針不停地旋轉，從上午8時到上午11時，時針旋轉的旋

轉角是—.

一十六.旋轉的性質（共3小題）

36.（2024春?建鄴區校級月考）如圖，在RtAABC中，4c8=90。，Z5=30°,

AC=2。,尸是2C邊上一動點，連接4P,把線段4P繞點工逆時針旋轉60。到線段

連接C。，則線段C。的最小值為（）

C.-V3D.V6

2

37.（2023春?鹽都區月考）如圖，將AA8C繞點N逆時針旋轉75。得到△/Q。，若

ABAC=50°,則N8NC的度數是

BL

38.（2023春?常州期中）如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片4BC和。EC重合放置，其

中NC=90。.若固定A42C,將AT?EC繞點C旋轉.

（1）當AZ）EC繞點C旋轉到點。恰好落在N8邊上時，如圖2.

①當N3=NE=30。時，此時旋轉角的大小為；

②當==a時，此時旋轉角的大小為—（用含a的式子表示）.

（2）當AZ5EC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小楊同學猜想：ASOC的面積與A4EC

的面積相等，試判斷小楊同學的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學的猜想.若不正

確，請說明理由.

一十七.旋轉對稱圖形（共3小題）

39.（2022春?宜興市校級期中）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉中

心，順時針旋轉90。后，能與原圖形完全重合的是（）

40.（2024?東海縣一模）如圖，該圖形繞其中心旋轉能與其自身完全重合，則其旋轉角最小

為度.

41.（2022春?洪澤區校級月考）等邊三角形繞一點至少旋轉。與自身完全重合.

一十八.中心對稱（共3小題）

42.（2023春?鼓樓區校級月考）如圖，A48C與△H*C'關于點O成中心對稱，下列結論

中不成立的是（）

A.OB=