江蘇省“決勝新高考”2025屆高三上學期12月聯考數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合M=｛久|/一2乂一3<0｝,N=（x\x2-a<0｝,若集合MnN=N,則實數a的取值范圍是（）

A.（―8,1]B.（―8,9]C.[1,9]D.[1,3]

2.“數列｛10g3an｝是等差數列”是“數列為等比數列〃的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

3.高路公路管理部門在某一測速點，測得100輛車輛的速度（單位：krn/h）并匯總整理車速數據如下表，根

據表中數據，下列結論中正確的是（）

車速[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130]

頻數61218302410

A.100輛車的車速的中位數小于100km"i

B.100輛車中車速低于110kzn/h的車輛所占比例超過80%

C.100輛車的車速的極差介于40/OTI/九至60/wi/h之間

D.100輛車的車速的平均值介于80kni/至100/OTI"之間

S7=S]2,a[=（）

4.記％為等差數列｛加｝的前？i項和.已知a5=5,則

A.10B.9C.-9D.-10

5.已知正四棱臺ABCD-4/1的。1，AB=4,4/1=2,二面角21一BC-4的正切值為2,則正四棱臺

ABC。一必當的名的體積為（）

A.yB.56C.12<5+20D.12y/~5

6.已知P為拋物線C：V=4久上的一動點，過P作y軸的垂線，垂足為B,點Q是圓A/+（y-4門）2=1上

的一動點，則|PQ|+|PB|的最小值為（）

A.8B.7C.6D.5

7.已知函數〃久）=“今[<仇的圖象上存在關于y軸對稱的點，則實數a的取值范圍為（）

XfXU

A.（―8,e）B.（―8,?2）C.[0,e）D.[0,e2）

8.在平面直角坐標系KOy內，將橢圓C:各'=l（a>b>0）繞原點。旋轉得到橢圓G：/+y2一肛=6,

點是橢圓Q上任意一點，則下列說法錯誤的是（）

A.橢圓G的對稱軸為y=±xB.zn+n的最大值為2，石

C.橢圓G的離心率為當D”的最大值為2度

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知z「z26C,下列說法正確的是()

A.若㈤=|z2|,則燹=zf

B.若Z1Z2=O則Zj_,Z2中至少有一個為0

C.zZ=|z/2

1

D.若|zi|=l,\z2\=1,ki-Z2I=1>貝J|z】+Z2I=C

10.已知函數/'(久)=COSK-sinx+x-J，則下列選項正確的是()

A"(x)的圖象關于點弓,0)對稱

B.］是“X)的極大值點

C.f⑺在久=0處的切線方程為y=1-J

D1(x)在區間年,沿上單調遞增

11.某高校甲、乙兩個班級舉行團建活動，在活動中甲、乙兩個班各派出由6人組成的一支隊伍參加一項游

戲.甲班的隊伍由2個女生和4個男生組成，乙班的隊伍由4個女生和2個男生組成，為了增加游戲的趣味

性，先從甲班的隊伍中抽取一名同學加入乙班的隊伍，以必分別表示由甲班隊伍中抽出的是女生和男

生;再從乙班的隊伍中隨機抽取一名同學加入甲班的隊伍，以8表示從乙班隊伍中抽出的是女生，則下列結

論正確的是()

A.事件&與事件42互斥B.事件4與事件B相互獨立

413

C.P(B|X2)=iD.P(B)=^

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知sin(a+S)=：,=5,貝！Jsin(a—夕)=.

13.設&,&是雙曲線C:捻—，=l(a>0,6>0)的左、右焦點，點2是C右支上一點，若AaFiF2的內切圓

的圓心為M,半徑為a,且存在AeR,使得前+2兩'=4兩，則C的離心率為.

14.某校100名學生軍訓時進行隊列訓練，規則如下：從左到右按照序號1至100排列，進行1至2報數，報

到2的同學向前一步;把向前走一步的50位同學從左到右按照序號1至50排列，進行1至2報數，報到2的同學

向前一步;把向前走一步的25位同學從左到右按照序號1至25排列，進行1至2報數，報到2的同學向前一步；

依次類推，直到剩下一位同學為止.問走到最前面的同學第一次的序號是號，如果這位同學把每次的

序號記住，則這位同學的所有序號之和是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記AABC的內角a,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,己知/=2S+abcosC.

(1)求力；

(2)若8C邊上的高為1且3bcosC=ccosB,求△ABC的面積S.

16.(本小題15分)

已知函數/'(x)=x—^―21nx(aER).

(1)己知/(x)在x=3處取得極小值，求a的值；

(2)對任意xN1,不等式x-?-21nx-1+aN0恒成立，求a的取值范圍.

17.(本小題15分)

記％為數列｛an｝的前71項和，且4sli=3an+4.

(1)證明：數列｛Sn-1｝為等比數列；

(2)求數列｛(一1尸-1?華｝的前幾項和；

⑶數列也｝的前幾項和為加且源=媒生爐(幾€*)，求證：)

n^n-riJd/i-i-21乙

18.(本小題17分)

如圖，在直四棱柱48CD中，4411平面4BCD,ADLAB,BC1CD,其中4B=AD=合，

AA1=2^5,P是ZQ的中點，Q是的中點.

4!----------------

C

B

(1)求證：〃平面CBiQ;

(2)若異面直線BC,BiQ所成角的余弦值為苧，求二面角Bi-CQ-D的余弦值.

19.(本小題17分)

已知橢圓C:^+,=l(a>b>0)過點(后苧)，且離心率為等.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知動圓M與橢圓C相交于4,B,C,D四個不同的點，直線AB,CD相交于點P(4,m),記直線ZB,CD

的斜率分別為后，k2.

①比較|P4|?|PB|與|PC|?|PO|的大小(不要給出證明);

②試問七+6是否為定值，如果為定值，求出定值;如果不為定值，請說明理由.

參考答案

1.71

2.4

3.C

4.B

5.B

6.D

1.D

8.C

9.BCD

1Q.AC

U.ACD

1

z

3-

13.2

14.64；126

15.解：(1)丁b2=2S+abcosC且SAABC=5absinC,

??.b2=a/j(sinC+cosC)即b=a(sinC+cosC),

由正弦定理得，sinB=sin/(sinC+cosC),

???sinB=sin(>1+C)=sirL4cosc+cosZsinC,

???sin/sinC=cosAsinC,

又在ZL4BC中，AG(O,TT),CE(O,TT),貝！Jsin/>0,sinC>0,

???sinA=cosA,即tanA=1,

a71

???A=-.

4

(2)3/?cosC=ccosBn3sinFcosC=sinfcosB=3tanB=tanC,

在44BC中，作Z”IBC于高H,Z”為BC邊上的高，貝=1,

設CH=x,BH=a-x,則士=工=4x=a,則CH=gBH=當,

?在Rt/ABH中，tan/BAH=鋁=當，在RtzMCH中，tan/C力H=%=?，

AH4AH4

tanz.BAH-^-tanz.CAHa

且1=tanZ.Bi4C=tan(Z-BAH+Z-CAH)

1-tanz.BAH-tanz.CAH1-^a2

???^a2+a-1=0(a>0),解得。=一叱”,

C1ATT1-4+2W

^AABC=2XBCXAH=-CL=-?

16.解：(1)因為/(%)=%—2—21n%,定義域為(0,+8),

所以.(%)=1+A_|=Nq+a,

因為/(x)在工=3取得極小值，

所以((3)=話±￡=0,所以a=_3,

檢驗：f(x)=比+|-21n久，定義域為(0,+8),/(%)=1-^-|=十二=(?3譬+1)

列表如下，

X(0,3)3(3,+oo)

f'(X)—0+

/(X)單調遞減極小值單調遞增

所以a=-3符合題意;

(2)因為久~~~21nx-1+a>0對V%G[1,+8)恒成立,

所以令g(%)=x―三―2lnx—1+a,xE[1,+oo),

，/、.,a2%2—2x+a(x—l)2+a—1

g^=l+^--=—^=---,

①Q-1N0即@之1時，g'(%)N0恒成立,g(X)在[L+8)單調遞增,

所以g(%)>g(l)=0>0恒成立；

②a—1<0即a<1時，gJ(x)=0,得x=1+V1—a,

X1(1,1+V1-CL)1+V1—a(1+V1—a,+8)

“(久)CL—1—0+

g(x)0單調遞減極小值單調遞增

所以gQ)min=g(i+，1一a)<g(i)=o,與題意不符，舍去.

綜上所述aG[1,+8).

17.(1)證明：?4Sn=3azi+4(J),

4s九+i=3an+1+4②，

(D—①得,4sli+i-4szi=4an+1=3a九+i—3a九,即％i+i=-3a九,

又當n=1時，4sl=4al=3al+4n%=4,

???是首項為4,公比為-3的等比數列，

斯=4?(一3)所】，Sn=當圭羅=1-(-3)",

n+1nn+2n+1

Sn-1=一(一3嚴=(-l)-3,Sn+1-1=(-l)-3,

???當兀=1時，&-1=3力0,=一3,

Dn1(—1)J

???｛Sn—1｝首項為3,公比為—3的等比數列.

(2)解：由(1)得即=4?(―3)"T,數列｛(—l)nT?等｝的前幾項和為“小

.吧_.4n(3)相_n^n-l；

12n2n-1

Mn=1-3°+2?3+3?3+???+(n-1)-3-+n-3③，

n

3Mn=1?31+2?32+…+(n—2)?3"-2+(n-1)-3"T+n-3?,

③一④得，-2Mn=1?3°+3]+32+…+3nT一展3"=暑一展3n=一^+弓一九)3”,

111n

??-Mn=i+(|n-i)-3,

.??數列｛(-l)nT-等｝的前n項和為*+(1n-?3n.

(3)解：?.?數列｛g｝前ri項和為七，%=需著電，new*,

n(n-]-i)-an+2

_(-l)n+1(2n+3)111_111

bnn+1n[][nn+1]

"~n(n+l)4(-3).4-3n-3(n+1)-4n-3-(n+1)-3

_1111111

++

^=4[T73-^2^2-^3-+^-(n+1).3?+i]

=lrl_1]=±_]v±

-4L3(n+l).3n+1J-124(n+l)-3n+112'

1'-Tn＜今得證.

18.解：(1)取B,C中點M,連接MQ,PM,在直四棱柱ABCD中，

1

???Q是DDi中點???DrQ//CG,DiQ=/G,

???P是B]C中點，“是中點，

PM//CG,PM=：CG???PrQ//PM,PrQ=PM,

四邊形PMQA是平行四邊形,

???DrP//MQ,D/C面8CBQ1，MQu面BCB&i，

D]P〃平面CBiQ；

(2)連接GQ,設8c=BG=x,連接B/i，

異面直線BC,BiQ所成余弦值即直線/Qi，BiG所成余弦值，

在直四棱柱ABC。一a/iGA中，DiQ1面44的。1，

B1D1c[I]X151C1D1B/i1IQ,

,?,在Rt/ZiBiDi中，4[Bi=A1D1=V2,且力iB11

??.B]D]=2

???。為DDi中點，SLDDX=2/5,

二在Rtd/DiQ中，BD]=2,D-^Q—B1Q—V4+5=3,

CC11面4/1GD1，BlClu面&B1GD1，CC11B1G，

又BlCl1C1A，CC「CMU面CDD1G，B1C1C面CDDiQ,

BiG1面CDDiG，又???CiQu面CDDiG，B±Q1CrQ

.?.在RMBiQG中,COSNGZQ=靠=>苧,

,*?x—73,

連接BD,取其中點0,連接Z。，0C連接J4其中點。「連接4。2，0G連接。。1，建立以。為原點的空間

直角坐標系。一xyz,

0(000),/(1,0,0),8(0,1,0),。(0,-。,0),4式1。2")，8式0,1,2怖)，

。1(0產1,2四,C(一年，曰|,0),

6(一?,一，24)，(2(0,-1,75)

設面BiCQi的法向量近=(刈月0)，面DCQ的法向量底=(%2，丫2*2)，

一一V33

n2=BC=(—2-,—2

率=(-苧,一?,一2四,布=(0,一2,一四，

一苧X1一|%-2<^Zi=0,-2y1-y/-5z1=0,%]=苧%，z]=一等y「

yr=，15時，五=(5^/^5,V15,—2V^)

nj-nj_-|AAT5-|AAT5—4715_-AAT90

cos<n^,nJ>=

同同/3-/152—19

由題意可得二面角Bi-CQ-。的余弦值為二翟

19.解：（1）?.?橢圓C：^+，=1過點（門苧），且離心率為凈，2設焦距為2c（c>0）,

r"且一1

混十/一上

(a=32

a2=b2+c2b=1，橢圓C的標準方程為"+