1.3乘法公式

第1章

整式的乘除第3課時北師大版（2024）

七年級

下冊學習目標1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點;（重點）2.會運用公式進行簡單的運算；(難點)新課導入復習回顧平方差公式：(a+b)(a?b)=

.平方差公式的結構特征:(1)_________________________________________________，(2)

.a2?

b2

即兩數和與這兩數差的積,等于它們的

.

平方差

左邊是兩個二項式的乘積，即兩項和與這兩項差的積右邊是這兩項的平方差一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.你發現了什么？aabb新課導入情境引入你會求這塊試驗田的面積嗎？有幾種方法呢？新課講授

探究：完全平方公式計算下列各式：(2)(2+3x)2.(1)(m+3)2;解：(1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9.(2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2.

觀察以上算式及其運算結果，你有什么發現？新課講授(m+3)2=m2+6m+9,(2+3x)2=4+12x+9x2.由以上計算可得：一個二項式(兩數和)的平方兩數的平方和加上這兩數乘積的兩倍你能再具一些類似的例子嗎？與同伴進行交流.新課講授例如：(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1(m+n)2=

(m+n)(m+n)=m2+mn+mn+n2=m2+2mn+n2.你能用自己的語言敘述這一結論嗎?用字母表示為：(a+b)2=

a2+2ab+b2.兩數和的平方等于這兩數的平方和加上這兩數積的兩倍.(1)你能用下圖解釋(a+b)2=a2+2ab+b2這一公式嗎?思考·交流新課講授①大正方形的面積是：

.a2ababb2(a+b)2所以(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2.②大正方形的面積又可以由4小塊組成，它們的面積分別為：___、___、___、___.a2b2abab新課講授(2)如何計算(a-b)2=？你是怎樣做的？與同伴進行交流.兩數差的平方等于這兩數的平方和減去這兩數積的兩倍.解:方法一:(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.方法二:(a-b)2=[a+(-b)2]=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.你能用自己的語言敘述這一結論嗎?用字母表示為：(a-b)2=

a2-2ab+b2.新課講授(1)陰影部分的面積是：

.a?ba?baabbabb(a-b)(a-b)2(2)陰影部分的面積也可以由大正方形減去______和_________.abb(a-b)所以(a-b)2=a2-ab-b(a-b)

=a2-2ab+b2請你設計一個圖形解釋(a-b)2=a2-2ab+b2這一公式.嘗試·思考新課講授知識歸納完全平方公式:（a+b)2=

.（a-b)2=

.a2+2ab+b2a2-2ab+b2語言描述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫作完全平方公式.完全平方公式的特征：①公式左邊是一個二項式的完全平方．②公式的右邊是一個二次三項式,分別是二項式中每一項的平方及兩項乘積的2倍．簡記為：首平方，尾平方，積的兩倍放中央，同號加異號減.新課講授1.利用完全平方公式計算:(1)(2x-3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn-a)2.(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy-25y2.

解:(1)(2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9.(3)(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2.新課講授知識歸納利用完全平方公式計算的基本步驟:①確定公式中的a和b;②確定和差關系;③選擇公式;④計算結果.注意:①公式中的字母a,b可以表示具體的數,也可以表示含字母的單項式或多項式.②兩個平方項的底數要帶上括號.③套用公式時不要漏掉2ab項.新課講授2.你認為下列各式應該怎樣用完全平方公式計算?(1)(-x+3y)2;(2)(-m-n)2;(3)(a+b+c)2.解:(1)(-x+3y)2=[-(x-3y)]2=(x-3y)2=x2-6xy+9y2.(2)(-m-n)2=[-(m+n)]2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(3)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.新課講授方法歸納完全平方公式的應用技巧:(1)當首項為負,或者兩項均為負時,可以利用添括號法則變為其相反數的平方,再套公式計算;(2)三個數和的完全平方,也可以利用添括號和整體思想轉化為兩個數的和的完全平方進行計算.新課講授

回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數的聯系，你有哪些感悟？回顧·反思

用幾何直觀的方法對完全平方公式進行解釋，不僅能清晰地“看到”公式的結構，同時能感受這樣的抽象代數運算也有直觀的背景.典例分析解:(1)(4x+0.5)2=(4x)2+2·4x·0.5+0.52=16x2+4x+0.25.(3)(2x2-3y2)2=(2x2)2-2·2x2·3y2+(3y2)2=4x4-12x2y2+9y4.

典例分析例2：如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61．分析:先根據兩平方項確定出這兩個數,再根據完全平方公式確定m的值．學以致用2.下列各式能用完全平方公式計算的是 (

)A.(2a+b)(a-2b) B.(a+2b)(2b-a)C.(2a+b)(-2a-b) D.(b-2a)(-2a-b)1.計算(a-3)2的結果是 (

)A.a2+9 B.a2+6a+9C.a2-6a+9 D.a2-9CC3.下列各式中與2nm-m2-n2相等的是 (

)A.(m-n)2 B.-(m-n)2C.-(m+n)2 D.(m+n)2B學以致用5.如圖所示，將完全相同的四個長方形紙片拼成一個大的正方形,根據圖形用兩種不同的方法表示這個大正方形的面積,則可以得出一個等式為(

)A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)2=(a-b)2+4ab4.若(x+a)2=x2-8x+b,則a,b的值分別為(

)A.4,16

B.-4,-16

C.4,-16

D.-4,16DD學以致用6.計算:(ab-1)(-ab+1)=

.

7.若代數式x2+kx+25可以寫成一個多項式的平方,則k=

.

8.若a-b=7,ab=12,則a2-3ab+b2=

.

-a2b2+2ab-1±1037(2)(-4x+3y)2=(-4x)2+2·(-4x)·3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2.

學以致用10.計算：(1)(2x+y)2-(y-2x)2;(2)(-2x+3y)2(-2x-3y)2.解：(1)原式=(4x2+4xy+y2)-(y2-4xy+4x2)=8xy.(2)原式=(2x-3y)2(2x+3y)2=[(2x-3y)(2x+3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4.學以致用11.某正方形的邊長為acm(a>3),若把這個正方形的邊長減少3cm,則面積減少了多少?解:原正方形的面積為a2cm2,現正方形的面積為(a-3)2cm2,面積減少了a2-(a-3)2

=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9