圓的重難點模型匯編二

【題型點圓最值問題

【題型定弦定角

【題型圓

【題型瓜豆原理

【題型點圓最值問題

1.如圖所示，在直角坐標系中，A點坐標為-4,-3,0A的半徑為1,尸為x軸上一動點，PQ切0A

于點Q,則當PQ最小時，P點的坐標為（）

A.-4,0B.-5,0C.-4,0或一5,0D.-3,0

【答案】A

【分析】此題根據切線的性質以及勾股定理，把要求PQ的最小值轉化為求AP的最小值，再根據垂線段最短

的性質進行分析求解.

【詳解】解：如圖所示，連於4Q,AP.

根據切線的性質定理，得AQXPQ;

根據勾股定理可得PQ=B42-12

二要使PQ最小，只需AP最小，

則根據垂線段最短，則作APLx軸于P,即為所求作的點尸；

此時P點的坐標是-4,0.

故選A.

【點睛】本題考查了切線的性質，坐標與圖形，勾股定理，熟練掌握切線的性質將問題進行轉化，再根據垂線段最短的

性質進行分析是解題的關鍵.

2.如圖，正方形A5CD的邊長為4,E是邊CD的中點，F是邊AD上一動點，連接RF,將△AB尸沿5尸

翻折得到△GBF,連接GE.當GE的長最小時，DF的長為（）???

A.2/5-2B.25-4C.45-6D.6-2-5

【答案】D

【分析】根據正方形的性質和勾股定理可得3G的長，再由翻折知3G=&1=4,得去G在以3為圓心，4為

半徑的圓上運動，可知當點G、E、B三點共線時，GE最小.

【詳解】解：???正方形ABCD的邊長為4,

二Z_C=〃=90°,BC=CD=4,

:點、E是邊CD的中點，

CE=DE=2,

BE=BC^+CE2=25,

■■將△ABF沿BF翻折得到△GBF,

???BG=BA=4,

.?.點G在以3為圓心，4為半徑的圓上運動，

當點G、E、B三點共線時,GE最小,

連接EF,iWF=x,

'''S梯形ABED=S&EDF+SAABF+S"EBF,

???-(2+4)x4=-x2x%+-x4x[4-x)+-[4-x)x25

2222

睇導K=6-25,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了翻折的性質,正方形的性質，勾股定理以及輔助圓，確定當點G、E、B三點共線時,

GE最小是解題的關鍵，同時注意運用面積法求垂線段的長度.

【變式1-2】如圖，在矩形紙片ABCD中，=2,=3,點E是AB的中點，點尸是邊上的一個動

點，將△AE尸沿EF所在直線翻折，得到AA'EF,則4c的長的最小值是（）

4」B.3

2

【答案】D

【分析】以點E為圓心，TIE長度為半徑作圓，連接CE,當點4在線段CE上時，4C的長取最小值，根據折

疊的性質可知AE=1,在R必BCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE-A'E即可求出結論.

【詳解】以點E為圓心，他長度為半徑作圓，連接CE,當點4在線段CE上時，HC的長取最小值，如圖所

示,

D

根據折疊可知：A'E=AE=~AB=1.

2

在RtABCE中，BE=kAB^\,BC=3,NB=90。，

2

CE=BE2+BO=10,

???AC的最小值=CE-A'E=10-1.

故選D.

【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質以及勾股定理，利用作圓，找出A'C取最小值時點4的位置是解題

的關鍵.

3.如圖，正方形ABCD的邊長為8,點G是邊CD的中點，點E是邊上一動點，連接AE,將AABE

沿AE翻折得到△E4E,連接GF.當G尸最小時，BE的長是.

【答案】45-4/-4+45

【分析】本題主要考查了圓的性質，正方形和折疊的性質，勾股定理，確定當點G、F、A三點共線時，GF最小是

解題的關鍵，同時注意運用面積法求垂線段的長度.

由翻折知AF=R4=8,得點、尸在以3為圓心，8為半徑的圓上運動，可知當點G、尸、A三點共線時，GF

最小，連接GE,再勾股定理求出AG的長，然后利用等面積法即可求出BE.

【詳解】解：?.?正方形ABCD的邊長為8,

.-.^C=90°,AB=CD=BC=8,

???將△ABE沿AE翻折得到AE,

AF=BA=8,

.?.點F在以3為圓心，8為半徑的圓上運動，

.??當點G、P、A三點共線時，GF最小，如圖，連接GE

.?點G是邊CD的中點，

DG=CG=、CD=4,

2

由勾股定理得，AG=AD2+DG2=82+4^=45,

+

??,S正方形相8=S4AGD+S4縛E+S4AEGGCE

^ABAD=-ADDG+-ABBE+-AGBE+~GCCE

2222

3

Ill1

_-

???8x8=-x8x4+x8BE+x45^BE+—xx8―BE

2222

解得BE=45-4.

故答案為：45-4.

4.如圖，在0O中，直徑AB=4,延長AB至C,使BC=OB,點□在。0上運動，連接CD,將CD繞點

C順時針旋轉90°得到CE,連接OE,則線段OE的最大為.

【答案】42+2

【分析】過點C作AC的垂線，在垂線上截取CN=CO,連接DF,從而可證AOCE三△尸CD,進而得到OE

=FD,將求線段OE的最大值轉化為求FD的最大值，然后結合點與圓的位置關系求出最大值即可.

【詳解】解：如圖，過點、。作人。的垂線，在垂線上截取CF=CO,連接DF,

^DCE=^OCF=90°,

乙OCE=乙FCD,

CD繞點D順時針旋轉90°得到CE,

???CD=CE,

在△OCE和△FCD中，

CD=CE

/.OCE=/.FCD,

CF=CO

△OCE=AFCDSAS,

OE=FD,

連接尸O,并延長FO交圓于點H,TH即為ED最大值，

"AB=^,BC=OB,

???CF=CO=4,

OF=42,

；.FH=OH+OF=42+2,

OE最大值=DF靠天住=FH=42+2,

故答案為：42+2.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，點與圓的位置關系，解決本題的關鍵是構造全等三角形，將

OE轉化為其他線段進而求最大值.

5.一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最

小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，445C=90。,點

N分別在射線BA,BC1.,MN長度始終保持不變，MN=5.2,E為MN的中點，點。到BA,的距

離分別為4和3.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為

【答案】2.4

【分析】連接BE,D3,根據勾股定理求出BD,根據直角三角形斜邊中線的性質求出BE,根據點與圓的位

置關系得到點E落在線段上時，龐的值最小，計算即可.

【詳解】：連接如圖所示：

???點。到BA,3C的距離分別為4和3,由勾股定理得：BD=32+42=5,

在R3M3N中，點E是朋N的中點，

1

BE=~MN=2.6,

2

.?.點E的運動軌跡是以B為圓心，2.6為半徑的弧上，

根據點圓模型的最值情況可知，當點E落在線段BD上時，DE的值最小，

???DE的最小值為：BD-BE^5-2.6^2A,

故答案為：2.4.

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及到點與圓的位置關系，直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是確定DE

最小時，點E的位置.

【題型定弦定角

6.【問題提出】

我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內同一條弦

所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？

【初步思考】

⑴如圖LAB是0O的弦，〃08=100。，點分別是優弧45和劣弧上的點，則=

°,zARB=°.

(2)如圖2,AB是0O的弦，圓心角4AoB=mmvl80。，點P是。0上不與重合的一點，求

弦所對的圓周角ZAPB的度數(用m的代數式表示).

【問題解決】

(3)如圖3,已知線段45,點。在45所在直線的上方，且乙4cB=135。，用尺規作圖的方法作出滿足

條件的點C所組成的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡).

B

圖3

【實際應用】

(4)如圖4,在邊長為12的等邊三角形ABC中，點E、尸分別是邊AC、上的動點，連接AF、BE,交

于點P,若始終保持AE=CF,當點E從點A運動到點。時,點尸運動的路徑長是.

【答案】⑴50,130

(2)-或180°--

22

(3)見詳解

「八83

⑷371

【分析】⑴根據圓周角定理及圓內接四邊形對角互補即可得到答案;

(2)根據圓周角定理及圓內接四邊形對角互補即可得到答案；

(3)根據圓內接四邊形對角互補可得對角為45。，根據圓心角等于圓周角兩倍即可得到圓心角為90。畫出圓

心角即可得到圓心與半徑再畫圓弧即可得到答案；

(4)根據題意易得AABEmACA尸，即可得到/APB=120。，即可得到答案.

【詳解】(1)解：???乙408=100。，

1

ZAPB=-AAOB=50°,

2

???四邊形APiBPz是圓內接四邊形，

AA.P1B=180°-^ARB=130°,

故答案為:50,130;

(2)解：當點P在優弧AB上點為H,在劣弧AB上的點為

???zAOB=m°m<180°,

■?.Z-AP\B=-Z/LAAOnBu=一,

22

?.?四邊形APLBP2是圓內接四邊形,

???^APiB=180°-^ARB=180°-華，

綜上所述：弦AB所對的圓周角ZAPB的度數為m或180°--;

22

(3)解：???ZACB=135。，

--,AB所在直線的下方點V,存在4AMB=180。-135°=45°,

即A、B、尸、"四點共圓，

作AB垂直平分線交AB于點N,

以點N為圓心AN為半徑畫下圓弧交垂直平分線于一點即為圓心O點，

以0為圓心0A為半徑畫圓??；

如圖所示，滿足條件的點C所組成的圖形為以。為圓心、OA為半徑的AB.

(4)解：由題意可，

???三角形ABC是等邊三角形，

???Z.BAC=AACB=60°,AB=AC=BC,T

???AE=CF,\

：.AABE=ACAFQSAS),：)

???乙EBA=Z.FAC,

：.AAPB=180°-60°=120°,

.?.點尸的路徑是以4B為弦的圓弧，圖3

???弦AB所對圓周角為60。，圓心角為120。,半徑為一--=43,

.?.點P運動的路徑長是：I2003

【點睛】本題考查了動點問題，涉及到了輔助圓的知識、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半、一條弦所

對的圓周角相等或互補、圓內接四邊形對角互補、尺規作圖--作垂線等內容，解題的關鍵是根據題意找到定角，

確定動點軌跡.

7.如圖，正方形A5CD的邊長為4,點E、F分別從點A、點D以相同速度同時出發，點E從點A向點D

電，點F從點。向點C遢J,點E運動到。點時，E、F停止運動.連接BE、AF相交于點G,整

CG.當線段DG最小時，△皮燈的面積S為()

ED

A.4+"B.8+-5C.6+=D.7+-5

55L55

【答案】A

【分析】首先證明RtAAD尸三Rt/^BAE[SAS),推出BE_LAF,得到G點軌跡為以AB中點O為圓心、AB

為直徑的半圓弧，因此當G、O、。在一條直線上時線段DG最小，過G點作MN_LAD交AD于M點，

交于N點，根據RtAOAD?RtAGM)求出皿G長度，進而求出NG的長度，利用三角形面積公式可解出

答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

AA.DF=Z.BAE=90°,AB=AD.

又???點E、F分別從點4點。以相同速度同時出發，

???AE=DF,

Rt^ADF=Rt/\BAE[SAS),

???Z-AFD-乙AEB.

???/-AFD+/-FAD=90°,

???/-AEG+^GAE=90°,

'.zAGE=90°9

即BE_LAF,

???^AGB=90°,

???G點軌跡為以AB中點。為圓心，為直徑的半圓弧，當G、0、。在一條直線上時，線段DG最

小.如圖所示：過G點作皿V_LAD交2。于M點，交于N點,

1

中，AD=4,AO=~AB=2f

2

..OD=AD2+AO2=25,

???OG=OA=2,

???DG=OD-OG=25-2,

V/LOAD=乙GMD=90°,Z-ADO=Z-MDG,

???RtAOAD?Rt^GMD,

.MGDG

“AO~OD9

即期G=

225'

解得：MG=2-^^,

5

；.GN=MN-MG=4-2-^-=—,

1

???SABCG=~BC-GN=x4x10±25=4+卓.

2255

故答案為：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、求動點軌跡、相似三角形的判定與性質等知識點，綜

合性較強，正確判斷動點G的軌跡是解題關鍵.

8.如圖，在等邊AABC中，點D為AC邊上一動點，點E為BC上一點,且滿足AD=CE,^AE,BD,

當線段CFF的值為

的長度最小時,

AB

c

【答案U

3

【分析】根據等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形的外角性質，直角三角形的特征，定弦定角問題,

解答即可.

【詳解】解：???△A5C為等邊三角形，

???AB=CAf^BAD=Z.ACE=60°,

AB=CA

???乙BAD=^ACE=60°,

AD=CE

???△BAD=△ACESAS

???^LABD=乙CAE,

???Z.BFE=Z-ABD+Z.BAF,

???Z.BFE=^BAE+乙CAE=Z.BAC=60°,

???4AFB=120°,

作AB的垂直平分線，作乙480=30。，與垂直平分線交于點O,

則點F的運動軌跡是以O為圓心，以80為半徑的圓的三角形內部的一段弧,

連接CO與弧交于點H,

當F與點H重合時，CF最小，

???OA=OBtCA=CB9

???直線OC是線段28的垂直平分線，設二線的交點為Q,

則Z.HQB=9V/HBQ=30°,

22

設QH=x，則BH=2x,8Q=BH-QH=3xf

??-AB=2BQ=23x9

???CQ=3x,

.A--"QH一QH=1

c

故答案為:1

3

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形的外角性質，直角三角形的特征,

定弦定角問題，熟練掌握三角形的全等的證明是解題的關鍵.

9.如圖在我必ABC中，ABJ_BC,AB=6,BC=4,點尸是△ABC內部的一個動點，連接PC,且滿足

加過點尸作交于點O當線段CP最短時，△BCP的面積為.

【答案】上

5

【分析】由題意得，^APB=180°-^ABP+^PAB=90°,則點P在以AB為直徑的圓上運動，如圖，記

的中點為O,連接OC,交0O于P,此時線段CP最短，由題意知，OP=QB=-AB=3,由勾股定理

A21

得，OC=OB2+BC2^5,則PC=2,證明APCDsAOCD,可求PD=2,才蟠SAECP=1BC^PD,計

52

算求解即可.

【詳解】解：由題意知，ZABP+^PBC=^ABC=90°,

???/.PAB=Z-PBC,

AABP+/.PAB=90°,

AAPB=180°-ZABP+^PAB=90°,

.?.點尸在以AB為直徑的圓上運動，

如圖，記A3的中點為O,連接OC,交。。于P,此時線段CP最短,

由題意知，OP=OB=-AB=3,

2

由勾股定理得，00=032+30=5,

PC=2,

v乙PCD="CD,APDC=90°=，OBC,

△PCD~AOCB,

2

...a2=EC即蟹

OBOC35

解得，PD=6,

15A

S4BCP—~.BCXPD=x4X。_12

1一,

2255

故答案為：J12.

5

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質，勾股定理.確定點

P的運動軌跡是解題的關鍵.

10.如圖，點D在半圓。上，半徑06=5,40=4,點C在弧上移動，連接AC,作DH_LAC,垂足為

H,連接點C在移動的過程中，8H的最小值是.

1()

D

C

【答案】222-2

【分析】先確定點H的運動軌跡，再根據點與圓的位置關系可得取最小值時，點H的位置，然后利用圓

周角定理、線段的和差即可得.

【詳解】如圖，設AD的中點為點E,則EA=ED=~AD=1x4=2

22

由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上

由點與圓的位置關系得：連接BE,與圓E交于點H,貝”此時取得最小值，EH=2

???AB為半圓O的直徑

^ADB=90°

---BD=AB2-AD2^(5+5尸-42=221

???BE=BD2+ED2=(221]2+22=222

???BH=BE-EH=222-2

故答案為：222-2.

【點睛】本題考查了圓周角定理、點與圓的位置關系、勾股定理等知識點，依據題意，確定點H的運動軌跡，從而

得出取最小值時，點H的位置是解題關鍵.

11.如圖，拋物線y=o%2+bx-3交x軸于點。是拋物線的頂點，P是拋物線上的動

點點P的橫坐標為皿0品6品3),心。。交直線/：〃=1x+2于點E,AP交DE于點尸，交y軸

2

于點Q.

(1)求拋物線的表達式；

(2)設APZF的面積為Si,AAEF的面積為S2,當Si=S2時，求點P的坐標；

(3)連接8Q,點M在拋物線的對稱軸上(位于第一象限內)，且NBVQ=45。，在點尸從點8運動到點

。的過程中，點V也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍.

242

11

【分析】⑴運用待定系數法將4-1,0),6(3,0)代入^=52+我-3,即可求得答案；

(2)利用配方法可求得拋物線頂點坐標0(1,-4),^ijAEZJPD<△AEF-△PDF,再根據APDF與

△AE尸的面積相等，可得△AEF三△PDF,故點、P分別是AP.ED的中點，設Ee,1,P^m2_2m

e+2，

2

-3),結合中點坐標公式建立方程求解即可；

(3)根據題意，分別求出1的最大值和最小值：①當點P與點B重合時，點Q與點O重合，此時t的值最大，

如圖2,以03為斜邊在第一象限內作等腰直角AO'OJB,以O'為圓心，OO'為半徑作0O',交拋物線對稱

軸于點過點、O'作O'HLy軸于點H,運用勾股定理即可求得答案，②當點P與點C重合時，點Q與

點C重合，此時t的值最小，如圖3,^BC,以O為圓心，為半徑作0O交拋物線對稱軸于點V,連

接。河，設拋物線對稱軸交x軸于點E,運用勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：⑴［拋物線y=a%2+bx-3交x軸于點

.將A§坐標分別代入拋物線解析式得：｛"6-3=0,

、9a+3b-3=0

解得%紇1,

???拋物線的表達式為：y=X2-2x-3;

(2)如圖,

,?,_D是拋物線的頂點，拋物線的表達式為：y=x2-2x-3=(x-

???ZE。。交直線Z:9=1%+2于點石，尸是拋物線上的動點，點P的橫坐標為m(0<m<3),

2

1

2

.sAEFiPDF，i^Ee-,p(m,m-2m-3),

e+2

2

又???△PDF的面積為Si,△AEF的面積為S2,Si=S2,

??.△AEF=△PDF,

??.AF=PF,EF=DF9即點尸分別是AP、ED的中點，

51vA(-l,0),P(m,m2-2m-3),Eeje+2,。(1,

由中點坐標公式得：“二1=旺1,

m2-2m-3+0=?+2-4

22

解得：mi=0(與'幺不符，應舍去)，加2=%

1

?.?e=一,

2

D57"19

二尸一,一-,E~;

2424

(3)①當點尸與點3重合時，點Q與點O重合，此時1的值最大，如圖2,

以05為斜邊在第一象限內作等腰直角△065,

則O'3,3,oo,=o，B=了，

222

以O為圓心，OO'為半徑作0O',交拋物線對稱軸于點”(1,。，

過點O'作O'HLy軸于點H,則NO'HM=90。，O'H=-,O'M=OO'=~,

22

MH=OM2-OH2=-2-12=與

12

22

???"3上=3+lZ

222

???

②當點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時t的值最小，如圖3,

連接BC,以。為圓心，QB為半徑作。0交拋物線對稱軸于點M,

■.OB=OC=3,

.??G)o經過點c,

連接0M,設拋物線對稱軸交x軸于點E,

則OM=O_B=3,OE=1,

???/.MEO=90°,

；.ME=OM2-OE2=32-y=22,

:.t=22,

綜上所述，22MtM3:17.

【點睛】此題屬于二^函數綜合題，考查代數計算問題，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的

解及圓的相關知識，屬于壓軸題類型.

【題型圓

12.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,對角線BD平分ZADC,AC_LCD,且乙4。氏

(1)證明：Z-BAD+/-BCD=180°；

⑵若^ADB=30°,AD+CD=4、求BD的長.

【答案】(1)見解析

[2)BD=4

【分析】⑴由題意推出Z.BCA=2LADB,從而得到A、3、C、D四點共圓，進而得出結論即可;

(2)首先根據已知信息求出AD,再結合四點共圓的結論，在RSABD中求解BO即可.

【詳解】⑴證：-.AB=BC,

■■■^BAC=^BCA,

■■■^BAC=/.ADB,

■■^BCA=AADB,

；.A、B、C、O四點共圓，

???^BAD+4BCD=180°;

(2)解：---AC.LCD,

乙48=90。，

ZADB=30°,BD平分ZADC,

ZAJDC=60°,Z.CAD=30°

?-.在Rt4ACD中，AD=2CD,

A

???AD+CD=43,

■■.AD=^-,8=彗，

C、。四點共圓，

???zACD=AABD=90°,

.?.在正以ABD中，BD=AD-cosZ-ADB=—xcos30°=-x-3_A

332一’

3

■■BD=4.

【點睛】本題考查四點共圓的證明、圓的內接四邊形的性質，以及解直角三角形等，掌握圓當中的重要結論，準確求解

直角三角形是解題關鍵.

13.如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A,5C,E在格點上，翔A&BC,點D在BC上且滿足

BC,貝!JtanzAE。的值是（）

A"B.2Dj2

【答案】。

【分析】證明A,D,BtE在以。為圓心，1為半徑的同圓上，把求tanzAEO轉化為求tan^ABD.

【詳解】以O為圓心，1為半徑作0O,連接OD.

vA,B,C,E在格點上.

??AC=OA=OE=OB=1

?.ABE在。0上

vAD_LBC

???zADB=90°

又???OO的直徑是AB

???AB=2

???OA=OB

???OD=-AB=1

2

二點。在oo上

??.Z-AED=/-ABD

二tanZ,A￡jD=tan乙4BD=40=—

AB2

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、四點共圓及三角函數的應用，解題的關鍵在于連接OD,讖I點、

15

在以0為圓心，1為半徑的同圓上.

16

14.如圖，已知AB=AC=AO,NC4D=20。,則NCBD的度數是()

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】A

【詳解】

如圖，AB=AC=AD

■■■乙CAD=20°

■■■ACBD=-Z-CAD=~x20°=10°,

22

故選A.

15.如圖，等邊△ABC中，D^BCAl,E&AC上，BD=CE,連BE、AD交于F,攤E尸上，且DT

=CE,AF=50,TE=16,則.

【答案】17

【分析】用"SAS”可判定△ABD三△BCE,得到ZAFE=60°,延長EE至點G,使得FG=FA,連AG,AT,

得到AAFG是等邊三角形，證明A、B、D、T四點共圓，設法證明△E4T三AG4E(AS4),即可求得答案.

【詳解】；△ABC為等邊三■角形，

???AB=AC=BC,^ABD=ABCE=60°,

在AABD和△BCE中，

AB=BC

AABD=^BCE=60°,

BD=CE

???△ABD=△BCEQSAS],

??.乙BAD=乙CBE,

???zADC=乙CBE+乙BFD=2BAD+乙8,

???Z-BFD=Z-B=Z-AFE-60°;

延長FE至點G,使得FG=E4,連AG,AT,

??,Z.AFE=60°,

??.△AFG是等邊三角形，

???AG=AF=FG=50f^AGF=^FAG=60°,

???Z-BAF+^EAF=z.CAG+Z-EAF=60°,

???^BAF=^LCAG9

???DT=CE,

/.Z-DBT=乙BTD,

?:乙BAD=LCBE,

/.BAD=Z.BTD,

???A、5、D、T四點共圓，

???Z-BAD=ZJDAT9

^/LFAT=Z.GAE9

為以您喝僉GM中，

AF=AG,

zAFG=^AGF=60°

△FAT=△GAE{ASA)9

:?FT=GE,

vFG=50,TE=16,

i

??.FT=~{FG-TE)=17.

2

故答案為：17.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理等，作出輔助線，判斷出

△E4T三△GAE是解本題的關鍵.

【題型：瓜豆原理

16.如圖所示，在等腰HSABC中，405。=22二點尸在以斜邊48為直徑的半圓上，皿為PC的中

點，當點尸沿半圓從點A運動至點8時，求點"運動的路徑長.

【答案】點"運動的路徑長為71.

18

【分析】取A3的中點0、AC的中點E、BC的中點F,連結0C、OP、0M、0E、OREF,如圖，利用等腰

直角三角形的性質得到AB=23c=4,則OC=1A3=2,O尸=1AB=2,再根據等腰三角形的性質

22

得OMPC,則NCMO=90°,于是根據圓周角定理得到點M在以OC為直徑的圓上，由于點P點在A點

時，M點在E點；點P點在B點時，M點在尸點，則利用四邊形CEO廣為正方得到EF=OC=2,所以M點

的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據圓的周長公式計算點V運動的路徑長.

【詳解】解：如圖所示，取的中點O,AC的中點E,BC的中點F,連接OC、OP、OM、OE、QF、EN,

???在等腰RtAABC中，AC==22,

■■■AB=2BC=4.

：.OC=OP=~AB=2.

2

???拉為PC的中點，

OM_LPC.

???乙CMO=90°.

???點M在以OC為直徑的圓上,

當點P與點A重合時，點M與點E重合：當點P與點6重合時，點M與點F重合，易得四邊形CEO尸為正

方形，EF=OC=2,

???點M運動的路徑為以E尸為直徑的半圓.

???點、M運動的路徑長為1.2".1=冗

2,

【點睛】本題考查了軌跡：點按一定規律運動所形成的圖形為點運動的軌跡.解決此題的關鍵是利用等腰三角

形的性質和圓周角定理確定V點的軌跡為以EF為直徑的半圓.

17.如圖，A是08上任意一點，點C在08外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等邊三角形，則△BCD

的面積的最大值為（）

A.4/3+4B.4D.6

【答案】A

【分析】以BC為邊向上作等邊三角形BCM,^DM,證明△DCM三ZkACB得

到。M=AB=2,分析出點。的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，

在求出點D到線段BC的最大距離，即可求出面積的最大值.

【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,

■■^DCA=/.MCB=60°,

■-?ZDCA-AACM=zJV[CB-41CM,即乙DCM=AACB,

在ADCM和AACB中，

DC=AC

Z-DCM=^ACB,

MC=BC

/.△DCM=AACBSAS9

..DM=AB=29

???點D的運動軌跡是以點M為圓心，1M長為半徑的圓，要使△BCD的面積最大，則求出點D到線段BC

的最大距離，

是邊長為4的等邊三角形，

???點時到BC的距離為23,

???點。到BC的最大距離為23+2,

△BCD的面積最大值是x4x23+2=43+4

2

故選A.

【點睛】本題考查了動點軌跡是圓的問題，解決本題的關鍵是利用構造全等三角形找到動點。的軌跡圓，再求出

圓上一點到定線段距離的最大值.

18.如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為45邊上的一個動點，連接EF,以

E尸為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

￡

【答案正

2

【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等關系，得到點