期末復習（壓軸題50題）

一、單選題

1.觀察下面三行數：

—2,4,—8116…①

0,6,-6,18…②

—1,2,—4)8…③

設小y、z分別為第①②③行的第10個數，則2x-y-2z的值為（）

A.0B.-2C.-29+1D.-28+1

2.我國很多經典古籍中記載了“河圖洛書”，它是中國重要的文化遺產.其中洛書（如圖1）可以用三階幻

方表示（如圖2）,就是將已知9個數填入3x3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對角線上的

數字之和都相等.在圖3的幻方中也有與圖2相同的數字之和的規律，給定a、b、c、d中一個字母的值

不能補全圖3的是（）

492a-2

3574c

816bd

圖1圖2圖3

A.aB.bC.cD.d

3.在數列Q],2,…。〃中，%=2,即=4,且任意相鄰的三個數的乘積都相等，若前〃個

。4

數的乘積等于64,則n可能是（）

A.16B.17C.18D.19

4.如圖，老師在探究“幻方”的數學課上稍加創新改成了“幻圓”游戲，讓學生們感悟到我國傳統數學文化的

魅力.一個小組嘗試將數字-1,2,-3,4,-5,6,-7,8這8個數分別填入圓圈內，使橫、豎以及

內外兩圓上的數字之和都相等，老師已經幫助同學們完成了部分數字填入圓圈中，則請愛思考的你計算

出a+b的值為（）

A.一6或一3B.一8或1C.-1或一4D.1或一1

5.若abc大0,則回+3+回+空的值為（）

a\b\cabc

A.±1或。B.±2或。C.±1或±4D.±4或。

6.一只小蟲在數軸上從/點出發，第1次向正方向爬行1個單位后，第2次向負方向爬行2個單位，第3

次又向正方向爬行3個單位……按上述規律，它第2023次剛好爬到數軸上的原點處，小蟲爬行過程中

經過數軸上-50這個數的次數是（）

A.99B.100C.101D.102

7.已知有理數a41.我們把士稱為a的差倒數，如2的差倒數是吉=一1,一2的差倒數是+=*若刖=

-1,也是的差倒數，。3是。2的差倒數，。4是。3的差倒數，…，依次類推，那么+。2+03+…+a2020+

。2021的和是（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

8.設有理數〃，6在數軸上的位置如圖，化簡a+b-|句的結果為（）

_______________________1?1

a0b

A.2.CL+bB.-2a+bC.-bD.b

9.數軸上點4、5分別表示數字a、b,且（a+5猿+|7-9=0若動點P以每秒2個單位長度的速度從/

點出發向5勻速運動，動點。以每秒1個單位長度的速度從5點出發向/做勻速運動，當運動時間為

（）秒時，P,。相距3個單位長度.

A.3B.5C.3或5D.無法確定

10.如圖，L.AOB=^COD=^EOF=90°,則41,Z2,乙3之間的數量關系為（）

A.zl+z2+Z3=90°B.zl+z2-z3=90°

C.Z2+z3-Z1=90°D.zl-Z2+Z3=90°

11.若關于久的多項式2%2一%％+2%—3中不含有汽的一次項，貝此的值是（）

A.0B.—2C.2D.3

12.有兩根木條，一根力B長為80cm,另一根CD長為130cm,在它們的中點處各有一個小圓孔M、N（圓

孔直徑忽略不計，M、N抽象成兩個點），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的

小圓孔之間的距離MN是（）

MN

A.105cmB.25cm

C.105cm或25cmD.以上都不對

13.如圖，將一根繩子對折以后用線段力B表示，現從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為

12cm,若AP:PB=1:3,則這根繩子原來的長度為（）

III

APB

A.16cmB.28cmC.16cm或32cmD.16cm或28cm

二、填空題

14.幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格.將9個數填入幻方的空

格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例如圖（1）就是一個幻方.圖

（2）是一個未完成的幻方，貝k—y為.

492610X

357y2

816

⑴⑵

15.如圖，將從1開始的自然數按以下規律排列，例如位于第3行、第4列的數是12,則位于第10行、第

46列的數是

16151413…

????????????

16.若|a|=4,\b\=2,且a-b<0,貝Ua+6的值等于.

17.如圖所示，數軸上。，/兩點的距離為8,一動點尸從點/出發，按以下規律跳動：第1次跳動到4。

的中點4處，第2次從41點跳動到&。的中點4處，第3次從色點跳動到42。的中點&處，按照這樣的

規律繼續跳動到點44，人5，46，…，Al（幾23,"是整數）處，問經過這樣2023次跳動后的點與

的中點的距離是

p

O444N

18.如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規律擺成下列圖形，第1幅圖形中“?”的個數

為由，第2幅圖形中“?”的個數為。2,第3幅圖形中“?”的個數為。3,…，以此類推，貝必10的值為.

>冷?電〉底》;e…

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

19.如果記y=±7=/(')，并且/(1)表示當％=1時，>的值，即/(1)=/乒=1|，同理表示當汽=；

時y的值，即/弓)=臬=(,…那么

1+6)

/⑴+1(2)+/0+/⑶+fG)+…+7(2024)+f島)=---

20.如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，

部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，:+；+《+…+焉的值為

Z4oL

21.如圖所示的運算程序中，若開始輸入x的值為100,我們發現第一次輸出的結果為50,第二次輸出的

結果為25,第三次輸出的結果為28,…，則第2024次輸出的結果為.

22.如圖，①2條直線相交，最多1個交點；②3條直線相交最多有3個交點；③4條直線相交最多有6

個交點，那么10條直線相交最多有個交點.

圖①圖②圖③

三、解答題

23.定義：若線段上的一個點把這條線段分成1:2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點.

AMB

圖1圖2

(1)如圖1,點河是線段4B的一個三等分點，滿足BM=24M,若=9cm,貝1JAM=cm；

(2)如圖2,已知48=9cm,點。從點/出發，點。從點3出發，兩點同時出發，都以每秒,cm的速

度沿射線力B方向運動/秒.

①當t為何值時，點C是線段力。的三等分點

②在點C,點。開始出發的同時，點￡也從點3出發，以某一速度沿射線B力方向運動，在運動過程中,

當點C是線段AE的三等分點時，點￡也是線段2D的三等分點，請直接寫此時出線段E8的長度.

24.如圖，點O是直線4B上的一點，從點。引出一條射線。C,使N4OC=60。，射線04、0B同時繞點O

旋轉.

備用圖

⑴若兩條射線。力、。8旋轉方向相反，在兩射線均旋轉一周之內，射線04、0B同時與射線0C重合，則

射線。力與。8旋轉的速度之比為一；

(2)若兩條射線04、0B同時繞點。順時針旋轉，射線。4每秒旋轉1。，射線0B每秒旋轉5。，設旋轉時

間為t秒，0<t<180,當乙4OC=/8OC時，求，的值.

25.點。為直線上一點，在直線同側作射線。C,射線。。，使得NC。。=90。.

AoB

備用圖

⑴如圖1,過點。作射線。￡使OE為N40D的平分線，若NCOE=25。時.求N40C的度數；

(2)如圖2,過點。作射線。E,使。E恰好為NAOC的平分線，另作射線。尸，使。尸平分N80D,

①若乙4。。=50。，求NEOF的度數；

②若乙AOC=a(0°<a<90°),貝此EOF的度數是」

⑶過點。作射線。E,使0C恰好為N40E的平分線，另作射線。F,使得。F平分NCOD,當NEOF=10。時,

直接寫出NAOC的度數.

26.如圖，在數軸上點N表示數°,點3表示數6,且(a+6了+g一15|=0.

AB

—1---------------------1——?

(1)填空：a=，b=；

(2)若點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC,已知點C為數軸上一動點,

且滿足力C+BC=25,求出點C表示的數；

(3)若點A以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，動點

。從原點開始以每秒加個單位長度運動，運動時間為1秒，運動過程中，點。始終在42兩點之間上,

且-2力。的值始終是一個定值，求m的值及該定值.

27.如圖，將一條數軸在原點。和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”.圖中點力表示-6,點B表示8,點

C表示16,我們稱點A和點C在數軸上相距22個單位長度.動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速

度沿著“折線數軸”的正方向運動，從點。運動到點B期間速度變為原來的2倍，之后立刻恢復原速；同

時，動點Q從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿著數軸的負方向運動，從點B運動到點。期間速度

變為原來的一半，之后也立刻恢復原速.設運動的時間為t秒.

(1)動點P從點力運動至點C需要多少秒？

(2)P、Q兩點相遇時，求相遇點M在“折線數軸”上所對應的數是多少？

(3)求當t為何值時，。、P兩點在數軸上相距的距離與B、Q兩點在數軸上相距的距離相等.

28.觀察下列按一定規律排列的三行數：

—2,4,—8,16,-32,64,…；

1,7,-5,19,-29,67,...；

1,—5,7,—17,31,—65,…；

解答下列問題：

(1)第一組的第八個數是.

(2)分別寫出第二組和第三組的第九個數,.

(3)取每行數的第a個數，是否存在ni的值，使這三個數的和等于514?若存在，求出a的值？若不存在,

請說明理由.

29.已知點C在線段上，AC=2BC,線段DE在直線ZB上移動(點0,E不與點4B重合)

ADCEB

???

ACB

備用圖1

III

ACB

備用圖2

(1)若48=24,求力C和BC的長；

(2)若AB=15,DE=6,線段DE在線段4B上移動，且點。在點E的左側，

①如圖，當點E為BC中點時，求力。的長；

②點F(不與點4B,C重合)在線段力B上，AF=3AD,CF=3,求力E的長.

30.如圖，已知數軸上原點為。，點B表示的數為-2,點力在點B的右邊.且力與B之間的距離是6,動點P

從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，動點Q從點力出發，以每秒4個單位長

度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發，設運動時間為t(t>0)秒.

----------?----------------------?---------------------------------------?-----------------------A

BOA

(1)寫出數軸上點力表示的數與點4的距離為3的點表示的數是

(2)點P表示的數_(用含珀勺代數式表示)，點Q表示的數_(用含t的代數式表示).

(3)當運動時間t為幾秒時，點P與點Q到原點。的距離相等？

31.已知4B,C三點在數軸上的位置如圖1所示，對應的數分別為a,b,c,點。為原點.

AOCB

I111>AB'\PB

折’痕

圖1圖3

X

AOCMBDN

IIIIII]>AB'\PB

剪切處

圖2圖4

⑴若|a+10|=10,。點對應的數為5,點C為4B中點，則a=,b=.

（2）如圖2所示，線段MN位于數軸正半軸，點C在0M之間并滿足。C:CM=1:2,點。在NB之間并滿足

BD-.DN=1:2,若OB=b,MN=x,請用含b,光的式子表示線段CD.

⑶在（1）條件下，點48開始在數軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，點B以每

秒3個單位長度的速度向右運動，運動時間為t秒.在運動過程中，若剪下線段4B,并將端點B沿著線

段上的點P向左折疊，得到B'（如圖3）,然后在重疊部分的某處剪一刀得到三條線段（如圖4）,若這

三條線段的長度之比為1:2:2,請直接寫出折痕處對應的點P在數軸上表示的數（用含t的代數式表示）.

32.觀察是數學抽象的基礎，在數學探究學習中，我們要善于通過觀察發現規律，進而解決問題，請你仔

細觀察，開動腦筋，解答下列問題

（1）按以上規律，第④個等式為:;第九個等式為:（用含八的式子表示，門為正整數）;

（2）按此規律,計算土+白+焉+嬴+1的值;

10x12

11

（3）探究計算:+“?+康的值.

11x15+焉+15x19

33.數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”數軸幫助我們把數和點對應起來，體現了數形結

合的思想，借助它可以解決我們數學中的許多問題，數軸是“數形結合”的基礎.某數學小組在一張白紙

上制作一條數軸，如圖,

-5-4-3-2-1012345

［探究］操作一:

（1）折疊紙面,使表示1的點與表示的點重合，則表示-2的點與表示的點重合

操作二:

（2）折疊紙面,若使表示1的點與表示3的點重合，回答以下問題:

①表示-3的點與表示.的點重合;

②若數軸上N、8兩點之間距離為9（力在B的左側），且8兩點經折疊后重合，則N、8兩點表示的

數分別是

操作三:

（3）長方形紙片上有一數軸，剪下10個單位長度（從-3到7）的一條線段，并把這條線段沿某點折

疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖所示）.若這三條錢段的長度之比為1：2：2,則

折痕處對應的點所表示的數可能是

X

折痕剪斷處

34.為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控手段達到節水的目的，該市自來水收

費標準（按月結算）如表所示:

每月用水量單價

2元

不超出6m3的部分

/m3

4元

超出6m3不超出lOn?的部分

/m3

8元

超出10m3的部分

/m3

例如：若某戶居民1月份用水8m3,則應收水費：2x6+4x（8-6）=20（元）.

⑴若該戶居民2月份用水12.5m3,則應收水費____元.

(2)若該戶居民3月份用水an?(其中6m3<a<10m3),則應收水費多少元？(用含a的整式表示，并

化簡)

(3)若該戶居民4月份用水久n?,4、5兩個月共用水15m3,且5月份用水超過4月份，請用含x的整式

表示4、5兩個月共交的水費多少元？

35.如圖，將一條數軸在原點0和點8處各折一下，得到一條“折線數軸”.圖中點N表示-8,點5表示10,

點C表示20,我們稱點A和點C在數軸上相距28個長度單位.動點P從點A出發，以1單位/秒的速

度沿著“折線數軸”的正方向運動，從點0運動到點8期間速度變為原來的兩倍，之后立刻恢復原速；

同時，動點0從點C出發，以2單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動，從點2運動到點。期間速度

變為原來的一半，之后也立刻恢復原速，設運動的時間為/秒.問：

⑴動點P從點A運動至。點需要多少時間？

⑵點P、。在M處相遇，求出相遇點M所對應的數是多少；

(3)求當f為何值時，尸、。兩點在數軸上相距的長度與。、2兩點在數軸上相距的長度相等.

36.閱讀下列材料，我們知道，5尤+3%—4久=(5+3—4次=4久，類似的，我們把(a+b)看成一個整體，

則5(a+b)+3(a+b)-4(a+6)=(5+3-4)(a+b)=4(a+6),“整體思想”是中學教學解題中的一

種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛，嘗試應用：

⑴把(a-6)2看成一個整體，合并3(a-b)2+5(a-bf-4(a-b,的結果；

(2)若已知一a2=4+2,求a2+a+2024的值；

(3)拓展探索：已知a-3b=5,3b—c-4,c—d-7,求(a-c)+(36-d)-(36-c)的值.

37.兩個形狀、大小完全相同的含有30。和60。的三角板如圖1放置，P4PB與直線MN重合，且三角板P4C,

(1)如圖1,乙DPC='

(2)如圖2,若三角板P8D保持不動.三角板PHC繞點P逆時針旋轉一定角度后，PF平分乙4PD,PE平分

乙CPD,求NEPF的度數.

(3)如圖3,在圖1的基礎上，若三角板P4C開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3。/秒，同時三角板PBD繞點

P逆時針旋轉，轉速為2。/秒，當PC旋轉到與PM第一次重合時，兩三角板都停止轉動.在旋轉過程中，

喘是否為定值?若是，請直接寫出此定值.

Z-tirN,?

38.材料1：

已知數軸上N兩點對應的數分別為n,則點M和點N之間的距離表示為MN=—

材料2：

已知數軸上4B兩點對應的數分別表示為a,b,則線段4B的中點G表示的數為等.

知識運用：

(1)|久+4|可理解為數軸上的數比到_____的距離；

(2)若數軸上表示3和-1的兩點分別為A和B,貝以18的中點表示的數為；

深入探究：

(3)在數軸上，點P表示的數為X,則|x+3|+|%-1|的最小值是,|久+3|-氏-9|的最大值是

(4)如圖，在數軸上點4表示的數為-3,點B表示的數為1,點C表示的數為9,若點4點B和點C分

別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度同時在數軸上向左運動.t秒后，點4,點

8,點C三點中，其中一點恰是連接另外兩點所成線段的中點，求t的值.

ABC

39.如圖，將一根木棒(陰影部分)放在數軸上，木棒的左端與數軸上的點2重合，右端與點B重合.

0~~2AB~~8~

(1)若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上對應的數為8；若將

木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點4時，它的左端在數軸上對應的數為2,由此可得到

圖中點2表示的數是，點B表示的數是；

(2)體會(1)的探究過程，借助數軸這個工具，解決下面的問題：一天，瀚瀚問媽媽，爺爺的年齡是多

少，媽媽說：“爺爺若是你現在這么大，你還要45年才出生；你若到了爺爺現在的年齡，爺爺就是120

歲的老壽星了，哈哈！”求瀚瀚現在的年齡.

40.已知，有7個完全相同的邊長為相、n的小長方形(如圖1)和兩個陰影部分的長方形拼成1個寬為10

的大長方形(如圖2),小明把這7個小長方形按如圖所示放置在大長方形中.

n

圖1圖2

(1)請用含血，n的代數式表示下面的問題:

①大長方形的長：；②陰影4的面積：

(2)請說明陰影4與陰影B的周長的和與根的取值無關.

41.某高校為了豐富學生的學習生活，利用課后輔導時間開設了很多學生喜歡的社團.其中網球社團正式

開課之前打算采購網球拍40支，網球x筒（x〉40）,經市場調查了解到該品牌網球拍定價100元/支,

網球25元/筒.現有甲、乙兩家體育用品商店有如下優惠方案：

甲商店：買一支網球拍送一筒網球；

乙商店：網球拍與網球均按90%付款.

（1）請用含x的式子表示到甲商店購買需要支付元，到乙商店購買需要支付

________________元；

（2）若x=100,請通過計算說明學校到甲、乙兩家中的哪一家購買更優惠；

（3）若兩家的優惠方案相差400元，求x的值

42.【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形進行完美地結合.研究數軸我們

發現了很多重要的規律.如數軸上點/、2在數軸上分別表示有理數a、b,則/、2兩點之間的距離表

示為AB—\a-b\.

【綜合運用一】如圖，數軸上點E表示為-3,點尸表示為2.

EF

-5-4-3-2-1012345

（1）線段EF的長度是.

（2）若x表示任意一個有理數.利用數軸回答下列問題：

①當|x+3|+設一2|=7,貝卜=.

式子|x+3|+|久-2|是否存在最小值？若不存在，請說明理由；若存在，請直接說出x的取值范圍，

并化簡求出最小值？

【綜合運用二】已知點4、8、C為數軸上三個點，表示的數分別是a,b,c,滿足（c-7）2+-1引=0,

且。為-七的倒數.

（Da=,b=______,c=；

（2）若動點尸從點/出發沿數軸正方向運動，動點。同時從點8出發也沿數軸正方向運動，點尸的

速度是每秒3個單位長度，點。的速度是每秒2個單位長度.設運動的時間為/秒（t>0）.

①用含f的式子表示：/秒后，點尸表示的數為，點0表示的數為；

②當PO=6時，求/的值.

（3）在（2）的條件下，P、。出發的同時，動點M從點。出發沿數軸正方向運動，速度為每秒5個

單位長度,點M追上點。后立即返回沿數軸負方向運動.求點M追上點。后再經過幾秒,MQ=2MP?

43.外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學習小組調查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規定標準送

餐量為50單，送餐量超過50單(送一?次外賣稱為一單)的部分記為“+”，低于50單的部分記為

如表是該外賣小哥一周的送餐量：

星期一二三四五六日

送餐量(單位：單)-3+4-5+14-8+7+12

(1)①該外賣小哥這一周送餐量最多的一天送了單；最少的一天送了單；

②求該外賣小哥這一周平均每天送餐多少單？

(2)外賣小哥每天的工資由底薪60元加上送單補貼構成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過50

單的部分，每單補貼2元；超過50單的部分，每單補貼5元.求該外賣小哥這一周工資收入多少元？

44.如圖，已知數軸上48兩點分別位于原點。兩側，點3對應的數為2,且力B=12.

MPNQ

______1I11111>

AOB

(1)點A對應的數是；

(2)動點尸，。分別同時從4,8出發，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數軸正方向運動，M為

4P的中點，N點在BQ上，且BN=初,設運動時間為t(t>0).

①當點M,N重合時，求1的值；

②在尸，。運動的過程中，探究詈浮的值是否發生變化？若不會變化，請求出它的值；若會變化，請

說明理由.

45.先閱讀，并探究相關的問題：

【閱讀】

|a—”的幾何意義是數軸上。，6兩數所對的點4,2之間的距離，記作AB=|a—可，如|2—5］的幾何

意義：表示2與5兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離：|6+3|可以看作|6-(-3)|,幾何意義可理

解為6與-3兩數在數軸上對應的兩點之間的距離.

AB

a6b-**

(1)數軸上表示x和-2的兩點4和8之間的距離可表示為；如果AB=3,求出x的值：

(2)若氏+4|+引一3|=2027,求x的值;

(3)探究|x+16|-|久-14|是否存在最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由

46.在一條光滑的軌道上，滑塊P,Q可在軌道上進行無摩擦的滑動，P,Q分別從點A,B同時出發，以相同

的速度相向運動.沿著軌道建立數軸，規定向右為正方向，A,B兩點表示的數分別為a,b,且a,6滿

足(a+5)2+\b-251=0.

Pf一。

______□口.

AB

(1則=,b=；

(2)若P,Q的速度均為3個單位/秒，運動時間為t(秒).P,Q滑塊碰撞后會相互彈開，并分別以原來

速度的，嚀原路返回，問：經過多長時間，兩滑塊在軌道上相距10個單位長度？(不考慮滑塊的尺寸

大小)

(3)拓展應用：

已知數軸上兩點4B對應的數分別是6,-8,M,N,P為數軸上三個動點，點M從4點出發速度為每

秒2個單位，點N從點B出發速度為M點的3倍，點P從原點出發速度為每秒1個單位.若點M,N,P

同時都向右運動，求多長時間點P到點M,N的距離相等？

47.已知多項式%1°一3%5yi4+4xy29-20的常數項是°,次數是6,a、b在數軸上分別表示的點是N、B

(如圖)，點/與點2之間的距離記作4B.

AOB

—J---------------------1------------------------------1->

a0b

(1)求a,6的值；

(2)若數軸上有一點C