專(zhuān)題06反比例函數(shù)（考點(diǎn)清單，6個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）

【清單01］沖例函數(shù)的概念

；【清單02】照例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【清單03】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

心考點(diǎn)清單

【清單04】磔例緘WfiC的廨

、【清單05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義

【清單06】理例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

【考點(diǎn)題型匚反比例函數(shù)解析式的確定

【考點(diǎn)題型二】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考點(diǎn)題型三】反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題

【考點(diǎn)題型四】沖例函數(shù)中的直角三角形

［考點(diǎn)題型五】沖例函數(shù)中的等腰三角形

修題型清單

［考點(diǎn)題型7”比例函數(shù)中的一般三角形

［考點(diǎn)題型七】即例函數(shù)中的一般四邊形

【考點(diǎn)題型八】即例函數(shù)中形

【考點(diǎn)題型九】即例函數(shù)中的菱形

【考點(diǎn)題型十】即例函數(shù)中的正方形

概念形如yJ（k為常數(shù)，且k聲0）的函數(shù)

X

圖象雙曲線，與坐標(biāo)軸無(wú)限接近永遠(yuǎn)不相交

當(dāng)k>0時(shí)，圖象位于第一、第/限,

每個(gè)象限內(nèi)，y隨xfl勺增大而減小

反比例函數(shù)當(dāng)k<0時(shí)，圖象位于第二、第四象限,

每個(gè)象限內(nèi)，y隨處增大而增大

過(guò)圖象上任意一點(diǎn)P作PM軸于M,PN_Ly

k的幾何意義

軸于N,則S矩形PMON=|k|

①利用公式構(gòu)建反比例函數(shù)模型

實(shí)際應(yīng)用

【清單01】反比例函數(shù)的概念

1）反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=-（A是常數(shù)，AWO）叫做反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成y=丘T的形

X

式.自變量X的取值范圍是XWO的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù).

2）反比例函數(shù)v=-（A是常數(shù)，k，0）中x,y的取值范圍

X

反比例函數(shù)y=-（A是常數(shù)，20）的自變量X的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范

X

圍也是非零實(shí)數(shù).

【清單02】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象

限.由于反比例函數(shù)中自變量房0,函數(shù)ao,所以，它的圖象與X軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩

個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸.

2）性質(zhì)：當(dāng)A〉0時(shí)、函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

當(dāng)次〈0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

表達(dá)式y(tǒng)=-"是常數(shù)，抬0）

X

k4>0底0

大致圖象十

所在象限第一、三象限第二、四象限

增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

【清單03】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為直線尸X和尸-X,對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn).

注：

1）畫(huà)反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn).

2）隨著㈤的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=&中正。且

X

3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況.當(dāng)

A>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)A〉0時(shí)，y隨x的增大而

減小.同樣，當(dāng)人0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大.

【清單04】反比例函數(shù)解析式的確定

1.待定系數(shù)：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)y=A中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此

x

只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出A的值，從而確定其解析式.

2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟

1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=-（4#0）；2）把已知一對(duì)X,y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系

X

數(shù)4的方程；3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)A；4）將所求得的待定系數(shù)A的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式.

【清單05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義

1.反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積

2.涉及三角形的面積型

當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解.

1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，㈤;

①②③

2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=人交于/、8兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C,則加，痔8

X

（）而

AASABO^OC-\yA\^OC-\yB\^OC-（\yA\+\yB\）；

3）如圖③，已知反比例函數(shù)y=人的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（4，%），（/，%），C為超延長(zhǎng)線

X

（—

與x軸的交點(diǎn)，則S^AOB^S^AOC~S^BO^—OC-I%I一30c|yB|=-OC,（IIII）.

【清單06】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

1.涉及自變量取值范圍型

當(dāng)一次函數(shù)%=%x+6與反比例函數(shù)%=每相交時(shí)，聯(lián)立兩解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)。

X

針對(duì)外>%時(shí)自變量X的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的X的范

圍.例如，如下圖，當(dāng)％〉％時(shí)，X的取值范圍為X〉》A或/<X<0；同理，當(dāng)％<為時(shí)，X的取值范圍

為0<X<XA或X<%B.

2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)

1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.

①A值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；

②次值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無(wú)交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；

2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況七、反比例函

數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

解決反比例函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問(wèn)題的方案，特別注意自變量的取

值范圍.

■型睛單

【考點(diǎn)題型一】反比例函數(shù)解析式的確定

1.（23-24九年級(jí)上.山東濟(jì)寧.期末）下列函數(shù)中，y是x反比例函數(shù)的是（）

x2

A.y=——B.y=-----C.y=-D.y=-x2

2x+1X

2.（23-24九年級(jí)上.廣東佛山?期中）如果函數(shù)y=（〃?-l）Wg是反比例函數(shù)，那么根的值是（）

A.2B.-1C.1D.±1

4

3.（21-22九年級(jí)上.廣東肇慶.期末）若點(diǎn)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則代數(shù)式質(zhì)-3的值

X

為.

4.（21-22九年級(jí)上?北京房山?期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若反比例函數(shù)y=：化工0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

4（2,3）和點(diǎn)3（—2,根），求相的值.

【考點(diǎn)題型二】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

5.（23-24九年級(jí)下?重慶大足?期末）已知反比例函數(shù)y=的圖象上有點(diǎn)A（2,yJ,3（1,%），C（-l,y3）,

則關(guān)于%,內(nèi)，%大小關(guān)系正確的是（）

A.%>%>%B.C.%>%>%D.%

2

6.（23-24九年級(jí)下.新疆烏魯木齊.期末）已知反比例函數(shù)>=-一則下列結(jié)論不正確的是（）

x

A.圖像必過(guò)點(diǎn)（一1，2）B.若x>l,則一2<y<0

C.y隨x的增大而增大D.圖像在第二、四象限內(nèi)

7.（23-24九年級(jí)上.貴州畢節(jié).期末）若反比例函數(shù)y=也」的圖象在每一象限內(nèi)，函數(shù)值>隨尤值的增大

X

而增大，則優(yōu)的取值范圍是.

k

8.（23-24九年級(jí)下?湖南株洲?期末）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=［（"0）的圖象交于

A、8兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1.

（1）求女的值;

（2）若點(diǎn)。是y軸上一點(diǎn)，且S"8P=4,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【考點(diǎn)題型三】反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題

9.（22-23九年級(jí)下?全國(guó)?期末）甲、乙兩地相距60km,則汽車(chē)由甲地行駛到乙地所用時(shí)間y（小時(shí)）與行

駛速度x（千米/時(shí)）之間的函數(shù)圖象大致是（）

D.

10.（22-23九年級(jí)上?江蘇南通?期末）如圖，一塊磚的A、B、C三個(gè)面的面積比是4:2:1,如果B面向下

放在地上，地面所受壓強(qiáng)為aPa,那么A面向下放在地上時(shí),地面所受壓強(qiáng)為—Pa.

A

B

11.（23-24九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）你吃過(guò)拉面嗎？實(shí)際上在做拉面的過(guò)程中就滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)：一定體

積的面團(tuán)做成拉面，面條的總長(zhǎng)度y（m）是面條的粗細(xì)（橫截面積）Mmn?）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所

（1）求當(dāng)面條粗ISnrn?時(shí)，面條的總長(zhǎng)度是多少米？

（2）若面條的總長(zhǎng)度要求不大于50m,那面條的粗細(xì)有什么限制？

【考點(diǎn)題型四】反比例函數(shù)中的直角三角形

Q

12.（23-24九年級(jí)上?廣西賀州?期末）如圖，A是反比例函數(shù)y=2圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ABIx軸于點(diǎn)

x

B,連接。4,則AABO的面積是（）

k

13.（23-24九年級(jí)上?廣東茂名平介段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=—（左NO）的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)

x

點(diǎn)P作PMLx軸，垂足為若APOW的面積等于4,則上的值等于（）

A.8B.-8C.4D.-4

2

14.（20-21九年級(jí)上.北京石景山.期末）如圖，A,B兩點(diǎn)在函數(shù)y=—-（X<0）圖象上，AC垂直y軸于點(diǎn)

x

C,8。垂直x軸于點(diǎn)△AOC,ABOD面積分別記為S2,則跖S2.（填“<”，"="，或

【考點(diǎn)題型五】反比例函數(shù)中的等腰三角形

15.（23-24九年級(jí)上?河南平頂山?期末）如圖，一組等腰三角形的底邊均在x軸的正半軸上，兩腰的交點(diǎn)在

反比例函數(shù)〉（尤>0）的圖象上，且它們的底邊都相等.若記AOABI，AAAB2,△&人員…

X

△繪胸。12練12的面積分別為55，風(fēng)2則小設(shè)的值為（）

16.（23-24九年級(jí)上?湖南婁底?期末）如圖，已知A（-3,2）,3（”,-3）是一次函數(shù)y=依+6的圖象與反比例

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）求AAOB的面積；

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P,使^A。尸是等腰三角形？直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【考點(diǎn)題型六】反比例函數(shù)中的一般三角形

4

17.（23-24九年級(jí)上?河北廊坊?期末）如圖，點(diǎn)尸，。在反比例函數(shù)＞=—的圖象上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在

x

y軸上，下列說(shuō)法正確的是（）

圖1圖2

A.圖1、圖2中陰影部分的面積分別為2,4

B.圖1、圖2中陰影部分的面積分別為1,2

C.圖1、圖2中陰影部分的面積之和為8

D.圖1、圖2中陰影部分的面積之和為3

1k

18.（23-24九年級(jí)上?四川成都?期末）如圖，已知一次函數(shù)＞=彳％+4圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象相交

2尤

于A,B兩點(diǎn)，若AABO的面積等于8,則％的值是.

19.（23-24九年級(jí)上.廣西賀州.期末）如圖，一次函數(shù)＞=7放+〃（m*0,根,〃是常數(shù)）與反比例函數(shù)

y=在第二象限的圖像交于辦3兩點(diǎn)，與x軸、V軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)￡）,且

OC=OD=3.

（1）求反比例函數(shù)解析式；

（2）連接。4,求△AOC的面積.

【考點(diǎn)題型七】反比例函數(shù)中的一般四邊形

20.（21-22九年級(jí)上.吉林?期末）如圖，在四邊形048。中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，?B90?,BC〃x

o）經(jīng)過(guò)C、。兩點(diǎn)，若△5CD的面積是3,則人的值為（）

C.10D.12

21.（23-24九年級(jí)上?山西太原?期末）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)＞（無(wú)＜0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作Mix軸于點(diǎn)

X

2

作人?！ǎポS交函數(shù)y=—-（％＜0）的圖象于點(diǎn)C,連接OC,四邊形ABOC的面積為

x

【考點(diǎn)題型八】反比例函數(shù)中的矩形

k

22.（23-24九年級(jí)上?貴州六盤(pán)水?期末）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在V軸上，反比例函數(shù)y=勺（左＞0）

X

的圖象經(jīng)過(guò)AO邊的中點(diǎn)E和點(diǎn)C,若A3=2,8C=4,則％的值為（）

23.（23-24九年級(jí)上?湖南株洲?期末）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,8在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

4（4,0）,點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)，反比例函數(shù)左*0）在第一象限內(nèi)的圖象與直線％交于點(diǎn)。，交

X4

BC于點(diǎn)、E.

（1）求。點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)X=七的關(guān)系式;

（2）連接OE,若矩形ABCD的面積是27,求出ACDE的面積.

【考點(diǎn)題型九】反比例函數(shù)中的菱形

24.（22-23九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末）如圖，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=?x<0）的圖

象上，菱形。1SC的面積為8,則上的值為（）

A.-4B.4C.-2D.2

25.（22-23九年級(jí)上?黑龍江大慶?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形Q4BC的邊。4在x軸的正半軸

上，反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)對(duì)角線02的中點(diǎn)。和頂點(diǎn)C,則上的值為8,菱形OABC的面積

X

為.